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运算与数系
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从小学或者更早的幼儿园开始，就不断地学习了各种数：自然数、负数、整数、有理数、实数、复数，乃至更复杂奇怪的数。同是，知道了各种运算，从最简单的四则运算，到乘幂、对数，乃至极限、微分、积分等。不过，教材中没有，至少我当时用的教材中没有明确地讲解这些数系和运算的关系，本文就瞎掰一下。非数学专业，水平所限，如有表述不当或错误，高手拍砖。
最早接触的数是自然数，自然数系为{0,1,2,3，…}[注1]，对应的运算为加法与乘法运算。如果认为（一般也是这么认为的）自然数可以任意大有无限多个，则自然数系对加法和乘法运算是封闭的，或者说自然数系可以让加法与乘法运算通行无阻。而对加法的逆运算减法则不然，一个较小的自然数减去一个较大的自然数，在自然数系中找不到结果。为了让减法运算通行无阻，数系必须进行扩充，这时，必须引入负数。
负（整）数和自然数一起构成整数系{0，±1，±2，±3，…}，整数系对加法、减法、乘法是封闭的，但当引入乘法的逆运算除法，同样的问题又出现了，较小的数除以较大的数在整数系中找不到结果。同样，为了让除法运算通行无阻，数系必须进行扩充，必须引入分数。
整数和分数一起构成有理数系，有理数系对四则运算是封闭的，四则运算可以通行无阻。在乘法的基础上，可以定义乘方（幂）运算，进而，定义幂运算的逆运算开根运算。有理数系中，幂运算可以通行无阻，但开根运算不行。最简单的开平方为例，2的平方根不属于有理数系，数系必须再次扩充，引入无理数。历史上，无理数的引入在数学发展史占有极其重要的地位，有着大量的典故，感兴趣的可以查阅第一次数学危机。
有理数和无理数一起构成实数系，实数系对（加、减、乘、除、幂）运算是封闭的。前面由开根运算通行无阻的要求引入无理数，但由此扩充的实数系仍然无法使开根运算通行无阻，负数的偶次方根在实数系中找不到结果。为了开根运算的通行无阻，还必须引入虚数。这样，数系再次扩充，从而有了复数系，复数系对代数运算（加、减、乘、除、幂、开根）是封闭的，特别的，在复数域内[注2]，代数方程必有根。
可以看到，确定一个数系并定义一种运算，数系在该运算下封闭。当考虑该运算的逆运算时，数系往往不再封闭，数系必须进行扩充，以使新的运算通行无阻。即：
1）自然数系对加法、乘法是封闭的，自然数中，加法和乘法可以通行无阻；
2）考虑加法的逆运算减法，自然数系必须扩充至整数系；
3）考虑乘法的逆运算除法，整数系必须扩充至有理数系；
4）有理数系可以使四则运算通行无阻，称为有理数域。但对幂的逆运算开根运算，有理数域不再封闭；
5）为使开根运算通行无阻，必须引入无理数、虚数，从而数系扩充至实数系、复数系。
定义新的运算，已知的数系往往必须进行扩充。前面针对开根运算的要求，引入了实数、复数。实际上，对有理数域，当定义了极限运算时，结果同样会跑出有理数域。实际上，利用开根运算所定义的无理数并不完整，如圆周率π、自然对数e等，不能通过简单的开根运算得到。而通过极限运算，可以得到它们。也即，为了使极限运算通行无阻，有理数系必须扩充至实数系。特别的，实数域的这一特征称为实数域的完备性。[注3]
数系扩充至实数系，进一步，为了使解代数方程通行无阻，数系必须再次扩充，复数域内，代数方程必有根，成为代数封闭域。
从另一个角度，实数可以看做实轴上的一个点，而复数可以看做复平面上的一个矢量。进一步，点（标量）可以看做是一个特殊的矢量，用复数表示，其虚部等于零。对于矢量，当引入一种叫做并矢的运算[注4]，便会得到新的量，即张量。张量是一个复杂的东西，笔者在第一次接触张量时也对其头大不已，广义相对论、量子场论等理论就要大量用到张量运算。不过，正所谓反动派都是纸老虎，张量也是纸老虎，解开其神秘的面纱，张量并没有那么可怕。实际上，矢量、标量（实数）都是张量的特殊情形，分别是一阶、零阶张量，一般所说的并且用的最多的是二阶张量。对三维空间，二阶张量包含9个分量，一阶张量（矢量）包含3个分量，零阶张量（标量）只有一个分量，即仅为一个（实）数。而相对论、量子场论中大量用到的是四维时空中的矢量、张量，分别包含4个、16个分量[注5]。当然，这时所讨论的张量已经不能称其为数系了。
而数系扩充至复数系后，还可以进一步扩充，有所谓的四元数、八元数等，没接触过，略过。
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注1：自然数系是否包含 0 尚没有统一的规定。一般，集合论、逻辑学、计算机科学中，认为自然数包含零，而数论中，把零排除在自然数之外。在我国，从2000年左右，中小学教材中开始将零包含在自然数集之内。
注2：允许四则运算通行无阻并且满足五条运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配率）的系统叫做（数）域。有理数、实数、复数都是数域，可称为有理数域、实数域、复数域。
注3：完备性是数学中的一个重要概念，对实数而言，直观的，完备性可以表述为在实轴上不存在空隙。而对于有理数，在数轴上有理数间存在空隙，其间被无理数占据。
注5：对 n 维空间的 r 阶张量，包含
个分量。
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参考文献：1）《漫话数学》，张景中著；2）维基百科。
https://blog.sciencenet.cn/blog-576779-457023.html
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运算与数系
中小学教材中讲了很多数，但并没有给出数系的概念。数系是指不同的数的集合，并对应着至少一种运算。具体的例子包括：自然数系、整数系、有理数系、实数系、复数系等。而运算有：四则运算、幂、开根、微分、积分等。运算概念中，有个重要的内容是逆运算，每种运算一般都有其对应的逆运算，如减法的是加法的逆运算、积分是微分的逆运算。一般的，逆运算比正运算困难，并且逆运算往往能引出新的结果。后一点对本文的叙述尤其重要。最早接触的数是自然数，自然数系为{0,1,2,3，…}[注1]，对应的运算为加法与乘法运算。如果认为（一般也是这么认为的）自然数可以任意大有无限多个，则自然数系对加法和乘法运算是封闭的，或者说自然数系可以让加法与乘法运算通行无阻。而对加法的逆运算减法则不然，一个较小的自然数减去一个较大的自然数，在自然数系中找不到结果。为了让减法运算通行无阻，数系必须进行扩充，这时，必须引入负数。
负（整）数和自然数一起构成整数系{0，±1，±2，±3，…}，整数系对加法、减法、乘法是封闭的，但当引入乘法的逆运算除法，同样的问题又出现了，较小的数除以较大的数在整数系中找不到结果。同样，为了让除法运算通行无阻，数系必须进行扩充，必须引入分数。
整数和分数一起构成有理数系，有理数系对四则运算是封闭的，四则运算可以通行无阻。在乘法的基础上，可以定义乘方（幂）运算，进而，定义幂运算的逆运算开根运算。有理数系中，幂运算可以通行无阻，但开根运算不行。最简单的开平方为例，2的平方根不属于有理数系，数系必须再次扩充，引入无理数。历史上，无理数的引入在数学发展史占有极其重要的地位，有着大量的典故，感兴趣的可以查阅第一次数学危机。
有理数和无理数一起构成实数系，实数系对（加、减、乘、除、幂）运算是封闭的。前面由开根运算通行无阻的要求引入无理数，但由此扩充的实数系仍然无法使开根运算通行无阻，负数的偶次方根在实数系中找不到结果。为了开根运算的通行无阻，还必须引入虚数。这样，数系再次扩充，从而有了复数系，复数系对代数运算（加、减、乘、除、幂、开根）是封闭的，特别的，在复数域内[注2]，代数方程必有根。
可以看到，确定一个数系并定义一种运算，数系在该运算下封闭。当考虑该运算的逆运算时，数系往往不再封闭，数系必须进行扩充，以使新的运算通行无阻。即：
1）自然数系对加法、乘法是封闭的，自然数中，加法和乘法可以通行无阻；
2）考虑加法的逆运算减法，自然数系必须扩充至整数系；
3）考虑乘法的逆运算除法，整数系必须扩充至有理数系；
4）有理数系可以使四则运算通行无阻，称为有理数域。但对幂的逆运算开根运算，有理数域不再封闭；
5）为使开根运算通行无阻，必须引入无理数、虚数，从而数系扩充至实数系、复数系。
定义新的运算，已知的数系往往必须进行扩充。前面针对开根运算的要求，引入了实数、复数。实际上，对有理数域，当定义了极限运算时，结果同样会跑出有理数域。实际上，利用开根运算所定义的无理数并不完整，如圆周率π、自然对数e等，不能通过简单的开根运算得到。而通过极限运算，可以得到它们。也即，为了使极限运算通行无阻，有理数系必须扩充至实数系。特别的，实数域的这一特征称为实数域的完备性。[注3]
数系扩充至实数系，进一步，为了使解代数方程通行无阻，数系必须再次扩充，复数域内，代数方程必有根，成为代数封闭域。
从另一个角度，实数可以看做实轴上的一个点，而复数可以看做复平面上的一个矢量。进一步，点（标量）可以看做是一个特殊的矢量，用复数表示，其虚部等于零。对于矢量，当引入一种叫做并矢的运算[注4]，便会得到新的量，即张量。张量是一个复杂的东西，笔者在第一次接触张量时也对其头大不已，广义相对论、量子场论等理论就要大量用到张量运算。不过，正所谓反动派都是纸老虎，张量也是纸老虎，解开其神秘的面纱，张量并没有那么可怕。实际上，矢量、标量（实数）都是张量的特殊情形，分别是一阶、零阶张量，一般所说的并且用的最多的是二阶张量。对三维空间，二阶张量包含9个分量，一阶张量（矢量）包含3个分量，零阶张量（标量）只有一个分量，即仅为一个（实）数。而相对论、量子场论中大量用到的是四维时空中的矢量、张量，分别包含4个、16个分量[注5]。当然，这时所讨论的张量已经不能称其为数系了。
而数系扩充至复数系后，还可以进一步扩充，有所谓的四元数、八元数等，没接触过，略过。
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注1：自然数系是否包含 0 尚没有统一的规定。一般，集合论、逻辑学、计算机科学中，认为自然数包含零，而数论中，把零排除在自然数之外。在我国，从2000年左右，中小学教材中开始将零包含在自然数集之内。
注2：允许四则运算通行无阻并且满足五条运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配率）的系统叫做（数）域。有理数、实数、复数都是数域，可称为有理数域、实数域、复数域。
注3：完备性是数学中的一个重要概念，对实数而言，直观的，完备性可以表述为在实轴上不存在空隙。而对于有理数，在数轴上有理数间存在空隙，其间被无理数占据。
注5：对 n 维空间的 r 阶张量，包含
个分量。————————————————————————————
参考文献：1）《漫话数学》，张景中著；2）维基百科。
https://blog.sciencenet.cn/blog-576779-457023.html
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