重正化群（Renormalization Group，简称RG）因解决了量子场中的发散问题而得到公认，后来美国物理学家威尔逊Wilson把重化群方法与相变理论中标度变换图像结合，创造性地将关联长度趋于无穷大的逾渗临界点与重正化变换的不动点联系起来，很好地解释了传统理论无法解释的相变机理，因而获得了1982 年年度诺贝尔物理奖^[1]，从此重正化群理论引起了科学家普遍关注，并发展成较完整的理论。

几何相变常用逾渗模型( Percolation model ) 来表示，在逾渗阈值附近模型会出现一个无限大的聚团，此时我们就认为系统发生了相变。显然，系统在临界点附近的性质与系统发生相变前的性质有很大不同。系统在远离相变点时，内部基本上处于混乱与无序状态，逼近临界时，有利于新相的关联越来越小， 并且系统内部已不存在唯一特征长度，小到晶粒尺度和大到关联长度的各种长度都对涨落起作用，且不同点的涨落也不是相互独立而是相互影响的，在这种情况下，常见的平均场理论在处理临界点附近的现象时计算相当复杂且有时显得无能为力。那么能否先将小尺度上的运动平均掉，而将平均留下的结构体现在大尺度的有效相互作用强度上，这正是重正化群的基本思想——透过个性，抓住共性，揭示系统背后最普遍、最本质的规律。

由于系统在临界点附近关联长度趋于无穷大，意味着此时用任何有限的自然尺度来描述系统的行为都可以得到相同的结果，也就是说系统具有某种标度不变性，即自相似性，因此我们就可用放大的观测尺度来考查系统行为——相当于将一个具有较多自由度的系统“粗视化”为具有较少自由度的系统。这种“粗视化”过程是单方向不可逆的，即一旦变换后就不能恢复其原始状态，这类似于一种映射，从上到下是多对一的，而从下到上却是一对多的, 在数学上把具有这种性质的变换称为半群，因为在物理上把利用这种“粗视化”变换取名为重正化，因此给这种“粗视化”方法取名为重正化半群，现在习惯上称为重正化群。

正是由于相变过程中关联长度趋于无穷大导致局部和整体具有相似性，因此重正化与分形有密切关系，可以说重正化群变换后的不变状态就是分形。事实上，分形和重正化群是在同一时期独立地提出来的，它们的目标都是在改变观察尺度的基础上解析其不变的现象。它们的差别是：分形以几何学形状作为焦点，而重正化群以物理量作为焦点。在最近的研究中，因为分形也包括物理量，而在实空间中重正化也处理几何学对象，所以，两者的差别就不大了。

重正化群理论的一个重要定理是认为不动点存在定理成立，即如果下式

存在，则有( f为某种变换函数)，虽然这个定理至今未被证明，但是物理学家在应用重正化群方法时均承认这个定理。

    在利用实空间重正化群进行具体计算时，一般分为下面三个步骤：

(1)找到恰当的重正化标度变换；

(2)找出与临界点有关的不动点和相应的有关参数；

(3)分析不动点附近变换性质，找出临界指数。

近年来，许多学者将重正化群理论引入岩体工程和地震领域，利用重正化群原理研究岩石临界状态力学特征已取得了一些成果。

如Madden^[2]把岩石宏观导电率和微裂纹群联系起来进行研究；Allegre^[3]等则研究了岩石裂纹的合并问题；

Smalley^[4]等通过对断层的临界滑动进行了一维重正化群和二维重正化群研究，研究中标度因子取为2，采用形状参数m为2的weibull强度分布函数；

陈忠辉^[5]等利用二维重正化群对岩石的峰值强度进行了研究，研究过程中假定岩石强度服从weibull分布，并取不同的形状参数m值进行分析，然而经过作者计算核对，发现该文献计算结果有误，主要原因是由于原文中的公式误写所致。

白超英^[6]在前人研究的基础上，引入重正化群方法进行孕震条带的识别。从理论上给出了识别孕震条带的定量判据，并对32个地震活动条带进行了回溯性预报检验，结果表明，这32个地震活动条带中有29个为孕震条带，其余3个则为非孕震条带，同时将重正化群方法和其他方法所得的判据指标进行了比较，结果表明，重正化群方法除了具有明显的物理意义之外，在识别孕震条带的判据上更趋于严格，更符合地震活动条带的客观分布。但是该文献在重正化过程中未考虑应力转移机制。

杨国栋^[7]对地震逾渗模型进行了一维、二维、三维重正化研究，研究过程中考虑了应力转移机制，且假定孕震块体破裂概率满足的Weibull分布。

综上所述，由于岩石材料形成环境的复杂性和长期的地质作用，岩石材料内部存在大量的微破裂，导致岩土体内部应力状态总是不均匀的，强度低应力大的部分先超过峰值强度破坏，其应力转移嫁给相邻未软化的岩土体，引起这一部分应力增大，如果超过其峰值强度，这部分也随之发生软化。随着应变软化单元破坏的数目增多，系统发展到一定程度时会突然发生破坏，即岩土材料的破坏存在局部破坏逐步扩展到整体破坏的过程。这个过程近似可看作一个长程关联性突然产生的过程，因此岩石破裂过程可以应用逾渗理论进行分析，并借助重正化群理论进行求解。

参考文献

[1]   于渌,郝柏林.相变和临界现象.北京:科学出版社,1984. 132-154.

[2]   Madden T R. Microcrack connectivity in rocks:  a renormalization group approach to the critical phenomena of conduction and failure in crystalline rocks[J]. Journal of Geophysical Research,1985,88(Bl):585-592.

[3]   Allegre C J, Mouel J L Le,Provost A.  Scaling rules in rock fracture and possible implication for earthquake prediction[J]. Nature,1982,297: 47-49.

[4]   Smalley R F,Turcotte D L ,Salla A Solla. A renormalization group approach to the stick slip behavior of faults[J]. Journal of Geophysical Research,1985,90: 1894-1900.

[5]   陈忠辉,谭国焕,杨文柱. 岩石脆性破裂的重正化研究及数值模拟[J]. 岩土工程学报,2002,24(2): 183-187.

[6]   白超英. 孕震条带识别的重正化群方法[J]. 西北地震学报,2002,24(2): 183-187.

[7]   杨国栋,郭大庆,施行觉.震源体破裂行为的重正化群方法研究[J]. 华南地震,1997,17 (2): 1-9.