拟合椭圆更一般就是对圆锥曲线拟合，椭圆、双曲线、抛物线区在方程中区别在于偏心率同“ 1 ”的比较。下文对于椭圆的拟合，可以更一般的推广到其它圆锥曲线的拟合中去。

在二维平面 xy 坐标系中有一离散的点集 ， i =0,1,2,3…n- 1 ，这 n 个点分布在椭圆曲线方程 上，其中 为点与拟合的期望方程 的偏差。

在 xy 坐标系中，椭圆方程的基本形式是： 。

证明如下：

圆锥曲线上的每一点 与曲线外的某点 的距离，与其到某直线 l : 的距离之比为常数 ，偏心率的大小也就决定了圆锥曲线的类型。

;

    ;

所以圆锥曲线满足形式： 。证毕

曲线的拟合方程的原则是： → 。

， ， ， ， 之间线性无关，所以可以使问题转化为最小二乘线性拟合问题，如下：

 = ;

 = ;

 = ;

 

;

为了得到系数矩阵 X ，使得曲线方程 → ，对期望求导，得到最小二乘的矩阵表达式： ，点集的数量 n 大于 5 时，得到矩阵 以 2 范数为距离度量规则的最小解。当 可逆时 。

MATLAB 代码：

function [F]=ellipsefit(X,Y)

X=X';

Y=Y';

M=[X.^2,Y.^2,X.*Y,X,Y];

temp=M'*M;

temp=inv(temp);

n=size(X,1);

F=temp*M'*ones(n,1);

end

Position: (-3.8 ,-1) 、 (-4.5     ,3.27) 、 (0.7701,-0.084) 、 (-1.32,-2.19) 、 (-4,0.05) 、 (1.054,3.32) 、                      (-0.9196,6.8342) 、 (-3.59,6.17);

Return F:  F =[ 0.3008 ,0.1097,0.0154,0.9925,-0.4985];

 

椭圆方程拟合结束后，对于图像处理来说，通常需要把其“扶正”。

可以通过 xy 坐标系旋转来扶正，椭圆方程： ，改写成矩阵形式：   

 

   

 

寻找 使正交阵 P 满足：

而由对称关系得出：

 

                      ;

再而求得 ，这便是坐标轴扶正所需旋转的角度的正切值。

由上文中拟合的的数据可以得到 。

 

   

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