彭翕成     pxc417@126.com  

武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079  

乘法是求几个相同加数的和的简便计算。

对么？有其正确性。在小学学完加减法之后，过渡到乘法，老师就是这样解释的。

有资料也这样定义：乘法，加法的连续运算，同一数的若干次连加，其运算结果称为积。

于是有人根据上述理由，得出结论：凡是乘法都可用加法取代。

这样一引申，就出问题了。因为原来的说法是在小学生刚学乘法时的过渡语言，有其适用范围。就好比未学负数之前，认为$x+1=0$无解一样。

等学的东西一多，就会发现原来那种乘法的定义存在问题。譬如$0.3\times 0.4$，$\pi \times \pi $，$\sqrt{2}\times \sqrt{3}$，$(-1)\times (-1)$，$i\times i$……，用原始的乘法定义就难以解释。

高等数学中，一般就不会这样直接给出乘法的定义，而是拐个弯，说：定义乘法，如果它满足交换律、结合律、有单位元……

这不是耍文字游戏，而是另一种思维方式。就好比定义幂${{n}^{m}}$，是指将$n$自乘$m$次，所以求幂就只要不断作乘法就行了。但定义方根则不一样，拐个弯，说：如果${{b}^{n}}=a$，那么则称$b$是$a$的$n$方根。至于是否存在满足条件的$b$，存在几个，怎样求，定义都不管。

这充分说明数学的大厦是建立在一堆假设的基础上的。

曾有人从乘法的原始定义出发，得出1=2的谬论。

已知${{x}^{2}}=x+x+x+cdots +x$（$x$个），两边求导可得$2x=1+1+1+cdots +1=x$，所以$2=1$。

这问题需要思考，并不像某些问题“以0作除数”那么简单。

首先思考：若$kx=x+x+x+\cdots +x$（$k$个），两边求导可得$k=1+1+1+\cdots +1=k$，那就没问题。而将$k$换成$x$，就出了问题，说明这就是根源所在。将${{x}^{2}}$写成$x+x+x+cdots +x$，千万不要忘了后面的补充：$x$个，这不是可有可无的，而是十分明确地说明：“$x$个”是一个关于$x$的函数，也需要求导，需要使用复合函数的求导法则。

我们可以这样看：设$F(u,v) = uv$，即$u + dots + u$，$v$个，而$x^2 = F(x,x)$，$2x = F_u(x,x) + F_v(x,x)$。

或写成这样：${{x}^{2}}=underbrace{x+cdots +x}_{xtext{ }}$,

。

与此类似地，不能从$({{x}^{n}})'=n{{x}^{n-1}}$推广到$({{x}^{x}})'=x{{x}^{x-1}}={{x}^{x}}$，而应该是$({{x}^{x}})'=({{e}^{ln {{x}^{x}}}})'={{e}^{ln {{x}^{x}}}}cdot (ln {{x}^{x}})'={{x}^{x}}cdot (xln x)'={{x}^{x}}(1+ln x)$。

下面的对话是很有意思的。

A说：如果类比于$({{x}^{n}})'=n{{x}^{n-1}}$，那么 $({{x}^{x}})'=x{{x}^{x-1}}={{x}^{x}}$。

B说：如果类比于$({{a}^{x}})'=ln acdot {{a}^{x}}$，那么 $({{x}^{x}})'=\ln x\cdot {{x}^{x}}$。

C说：你们说的都有道理。干脆把两个式子加起来算了，于是：$({{x}^{x}})'={{x}^{x}}(1+\ln x)$。