一年前作者提出了一类新形式的Silnikov方程

并发现该方程具有一系列重要、有趣的动力系统性质，特别是其存在不同旋转数的空间极限环，它们的倍周期分叉以及演变到混沌的现象。有关结果已分4篇发布在arXiv上，同时在科学网博客做了介绍。作者还应邀到国内几所大学做了介绍。期间对该系统研究有以下新结果：

（1）天津师范大学的李宝毅教授指导其研究生发现该系统的两个参数 $a$ 与 $b$ 不能用规范型（Normal Form）的方法化减成一个。因此改变参数 $a$ 的取值（目前的研究仅限定 $a=1$ ），再变化 $b$ 有可能发现更多不同的分差现象。

（2）李宝毅讨论班的一个研究生，张明堃，发现当 $b=0.3524$ 时，系统存在一个旋转数为7的极限环，而且在该参数进一步减小时有相应的倍周期分叉。

   特别值得一提的是，作者在浙江师大进行学术交流时遇到了华中科技大学的杨晓松教授，他了解到作者报告中提到了 $Nos\acute{e}-Hoover$ 系统存在一个极限环与两个不变环面互锁的趣味结果，立即向我索要了有关文献，并进一步搜索相关的更早工作，结果他和其博士生王磊共同发现一个更早的 $Nos\acute{e}-Hoover$ 系统

在 $\alpha =10$ 时存在扭结为三叶结型的不变环面 （图 1)。

图 1

此结果已发表在：Eur. Phys. J. B (2015) 88: 78。

   杨晓松等的漂亮结果促使作者认真研究Silnikov方程的空间极限环是否也存在扭结。作者发现：

   三维自治系统的空间极限环在分裂成两个稳定极限环或在倍周期分叉的过程中必定伴随生成一种广义莫比乌斯带，并由此发现在倍周期过程中会产生结构越来越复杂的扭结型极限环。

   众所周知，著名的莫比乌斯带可用如下方式生成。即将矩形纸带的一端（B）向右或左扭转半圈（ $180^{0}$ ），然后与另一端（A）接上（图1）。

(a)

(b)

(c)

图 2

   本文将莫比乌斯带的概念一般化，将扭转上述纸带的半圈数1一般化为任一整数 $$ $n$ ，然后将（B）端与另一端（A）接上形成广义莫比乌斯带。规定，如果沿带子的一个任意给定前进方向所作的扭转符合右手定则，该整数取正值；如果扭转符合左手定则该整数取负值。此整数 $$ $n$ 称作广义莫比乌斯带的指数。图 3 的（a）与（b）分别是指数为3与-3的两条广义莫比乌斯带。

（a)

(b)

图 3

   不难看出：当指数 $$ $n$ 为偶数时，带子是可定向曲面，它有两条不相连接的边界（分别由原矩形纸条上下边界变形而来）；当指数 $$ $n$ 为奇数时，带子是不可定向曲面，它只有一条边界，是一条空间闭曲线。

   如果沿广义莫比乌斯带的中线将带子剪开，当指数 $$ $n$ 为偶数时，带子就会分成两条不相连接的带子（但可能相套，形成“Link”）；当指数 $$ $n$ 为奇数时，带子不会分成不相连的两条，而是一条长度为原长2倍的新广义莫比乌斯带。无论指数 $$ $n$ 为奇数还是偶数，剪开后得到的新广义莫比乌斯带一定是定向的。

   这里特别指出：传统的莫比乌斯带在上述制作过程中一般不将纸带打结，但本文允许广义莫比乌斯带在将纸带的两端连接前已打了结。图4是一个打了结的指数 $n=3$ 的广义莫比乌斯带。

图 4

   根据以上事实可将广义莫比乌斯带分为未打结的与已打结的两类。

   由图2与图3不难看出，未打结的广义莫比乌斯带的指数与图中边界线投影的交叉点个数相同，而且当 $|n|>1$ 时，无论怎样连续变换边界曲线，只要不将曲线弄断，其平面投影交叉点的个数不会减少，因此边界线一定是扭结曲线，或是两条封闭边界线的“link”。

   为简单描述扭结或多条封闭曲线“link”的拓扑特征， J. W. Alexander 与 G。Briggs 建立了一种记号，称为Alexander–Briggs notation（参考英文Wikipedia, the free encyclopedia中的KnotTheory）。人们也将一些扭结与link由简单到复杂画出标准扭结图。 下面的结构图 （图 5）是从百度百科的”扭结理论“中拷贝下来的

图 5

        该图也给出了对应的Alexander–Briggs notation, 如 $3_{1}%uFF0C2_{1}^{2}$ ， $2_{1}^{2}$ 等，记号的意义很直观，这里不作更多解释。对于未打结的广义莫比乌斯带的边界，可以总结出以下命题：

命题：如果未打结的广义莫比乌斯带的指数 $n$ 为偶数，其两条边界线的Alexander–Briggs notation为 $|n|_{1}^{2}$ ；如果指数为奇数，则其边界线的Alexander–Briggs notation为 $|n|_{1}$ 。

      本文不拟对此命题作严格、形式上的证明。仅用图 6中 $|n|=2,3,4,5,6,7$ 的不同莫比乌斯带直观验证。图中用广义莫比乌斯带（左边的图)沿中线剪开后得到的新带(右边的图）代表原带的边界。不难看出新带的扭结与原带边界曲线扭结的结构一致。

$n=2$

$n=3$

$n=4$

$n=5$

$n=6$

$n=7$

图 6

   必须指出，创造、发现上述这些概念与规律并不仅是数学家的趣味游戏，它是自然界真实事物与规律的描述。事实上，广义莫比乌斯带，无论是否有结，在Sinlnikov系统的空间极限环的分叉过程都会出现：

（I）当系统参数（这里指系统中的 $b$ ）连续变化时，如果一个旋转数（参考）为1的稳定空间极限环分叉成附近的两个稳定环，在一小段参数范围内，这一过程在三维相空间自然形成一个指数为0的广义莫比乌斯带（拓扑等价于柱面），该面由这一参数范围内分裂前的极限环及分叉后的一对极限环族共同形成。 图 7的柱面型带正是根据上述Silnikov系统单极限环分裂成双环形成的。带的红色中线是分裂前对应于分叉参数始点( $b \approx 0.4892$ )的极限环，边界的两条蓝色曲线是参数终点( $b=0.4$ )对应的一对极限环。（注：分叉（始）点参数的准确值很难精确得到，所以该值用近似值 $b \approx 0.4892$ 表示，而参数的终点值则可在已形成分叉的参数区间内任意选，只要离始点不要太远即可。）

图7

（II）如果稳定空间极限环出现倍周期分叉，在原极限环附近分叉出新极限环，其周期、长度与旋转数都是原极限环的两倍。在一小段参数范围内，这一过程在三维相空间形成一个指数为奇数的广义莫比乌斯带，该面由这一参数范围内的分裂前极限环及倍周期分叉后的极限环族共同形成。

   图 8 显示两个不同视角看到的同一莫比乌斯带，是由Silnikov系统旋转数为1的单极限环及倍周期分叉成旋转数为2的极限环族形成的。该面的红色中线是分裂前对应于分叉参数始点( $b\approx 0.3992$ )的旋转数为1的极限环，边界的蓝色曲线是参数终点( $b=0.385$ )对应的旋转数等于2的极限环。不难看出该面正是传统的莫比乌斯带。

图 8

   此系统旋转数为2的极限环会进一步倍周期分叉，形成旋转数为4的极限环。由相应数据画出的广义莫比乌斯带从两个视角显示在图 9的（a）与 （b）。此时，参数 $b$ 的始点约为0.383，终点值选0.3795。

（a)

(b)

图9

   根据所得莫比乌斯带的立体图，可以细致观察到该带的指数为3。再根据前面给出的命题可知此系统分叉出的旋转数为4的空间极限环是有扭结的，扭结型为，即著名的三叶结。为更严格检验这一结果，用细铁丝模拟上述极限环的拓扑结构制作了一个立体模型，如图 10，

图 10

将此铁丝模型在保证不断开的情况下，展开、变形，使其在平面的投影交叉点数最少，可发现其结构的确是三叶结（见图 11）。

图 11

   由于此系统旋转数为4的极限环是三叶扭结，在其进一步倍周期分叉时形成的广义莫比乌斯带一定是按三叶结打结的，对应分叉出来的极限环的打结情况则更复杂。详细规律将另文讨论。

   本文的研究只是针对Silnikov系统，但基本原理可用于任何三维自治系统空间极限环的倍周期分叉研究。

   本文的具体分析仅针对Silnikov系统的如下旋转数极限环的倍周期分叉序列：

                  $1,2,4,...,2^{n},...$

对已发现的其它序列，如

                  $3,6,...,3\times 2^{n},...$

                  $13,26,...,13\times 2^{n},...$

及

                  $7,14,...,7\times 2^{n},...$

尽管上述原理也基本适用，但还应对它们做更具体的扭结性研究。

   由于极限环是稳定的，如果它出现了复杂的结，收敛到它的其它轨线将会无止境地不断打结。由此可以想象到由倍周期分叉导致的奇异吸引子中轨线结构的复杂性。

   希望此文能引起关心动力系统研究的读者更大兴趣。