最近的两篇博文《研究进展--发现李雅普诺夫指数不是判定吸引子类型的标准 》、《杨正瓴问题征解》以及网友张林在一篇评论中的质疑：“如果3D系统的LE为（—，—，—）必然为稳定点，怎么会是极限环呢？”，这些都说明目前动力系统理论研究中使用的李雅普诺夫指数存在严重问题，其一是不能唯一合理地给出定义，而且按不同的定义算出的指数不同，甚至是实质的不同， 其二就是这些计算都会出现张林的疑问所示的不合理现象。

   出现这些问题的基本原因已在我回答网友王小龙问题时做了介绍，即：

       李雅普诺夫指数的概念来自于自治微分方程在平衡点的稳定性判定。一种方法是计算在平衡点附近展开微分方程得到的线性算子的特征值，李雅普诺夫严格地证明了，当这些特征值的实部都取负值时，其零解是渐近稳定的。后来，人们希望将这种思想用来研究其他解，如极限环、空间闭轨、...，直至奇异吸引子，研究它们的稳定性，甚至用于作为区分不同吸引子的数字特征。而这样做带来的困难是，方程在给定特解附近展开所得的线性算子不再是自治的，而是依赖于时间变量。这就是定义李雅普诺夫指数的困难所在，也正是目前所定义的指数是否真能作为吸引子特征的问题由来。

  以n维自治系统

                                  $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}= F(x)$                                    (1)

为例，研究其相空间的给定轨线 $x_{0}(t)$ 的稳定性。一般是在线附近将系统（1）线性化

                                  $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=J(x^{_{0}}(t))y$                                (2)

其中的线性算子

                                  $J(x)=\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x}$                                    (3)

即所谓的Jaccobi矩阵，当将轨线 $x_{0}(t)$ 代入后就明显地依赖于时间变量 $t$ 。

       目前所有的李雅普诺夫指数算法都是基于计算 $J(x_{0}(t))%u7684%u67D0%u79CD%u5E73%u5747%u7279%u5F81%u503C%u3002$ 的某种平均特征值。在上世纪中期，俄罗斯学派为研究变系数线性齐次系统的零解稳定性时就已经使用与变系数矩阵联系的特征值，提出所谓“缓变系统”的“冻结系数法”。但我的导师秦元勋教授及王联、王暮秋早已指出他们的方法不可靠，举出大量反例，重新严格给出“缓变系数”的定义，并严格证明了“冻结系数法”在一定条件下可用（见秦元勋、王暮秋、王联合著《

运动稳定性理论与应用》，科学出版社，1981）。

    事实上早在1883年，法国数学家 Gaston Floquet 就针对系数为周期的线性齐次系统建立了非常美的Floquet理论和Floquet指数的概念，而且由这些指数实部正负的情况可以准确确定零解的稳定性。但可惜的是这些指数不能由系数矩阵直接计算，通常认为不可能使用初等方法精确求出它们，所以在长时间内，该理论主要用在晶体能级结构等问题的一般描述上，没有用于零解稳定性的判定。

   由于发现李雅普诺夫指数的缺陷，并经讨论杨正瓴问题，思考张林的疑问，作者想到将Floquet指数的思路放宽，给出可以更好研究变系数系统局部稳定性的指数，即广义局部 Floquet 指数。

       局部是指先设定一个局部时间段（闭区间），

                            $[0, T],$     $T > 0$

要求在这一时间段内连续计算相应的微分方程数值解精确度达到足够高，而且尽量使 $T$ 有某种特殊时间尺度含义，例如，当 $x_{0}(t)" style="font-family:宋体, simsun;$ 是周期闭轨时，它是相应周期。广义是指系数矩阵不必是周期的（即 $x_{0}(t)" style="font-family:宋体, simsun;$ 不必是闭轨）。

       用数值方法计算线性系统（2）的标准基础解矩阵， $\Phi (t)$ ，该矩阵满足以下条件：

（i）                   $\frac{\mathrm{d} \Phi (t)}{\mathrm{d} t}=J(x_{0}(t))\Phi (t)$

（ii）                   $\Phi (0)= I$ ,    

其中 $I$ 是单位矩阵。注：以目前计算技术这一矩阵可以极容易、足够精确地计算，即计算该系统的n个线性无关特解，使第 $i$ 个（向量）特解 $y^{^{i}}(t)$ 的n 个分量的初值中只有第 $i$ 个是1，其它全是零，这些特解合并在一起即构成标准基础解矩阵。

       标准基础解矩阵在 $t=T$ 时的值为 $\Phi (T)$ （一定满秩），它的n个特征值分别记作 $l_{1}, l_{2}, ..., l_{n}$ 。 将

                                                                            $\lambda _{i} = \frac{\ln l_{i}}{T}$                                                             （4）

称作广义局部 Floquet 指数。这些指数实部的正负精确地反映了在给定的时间范围内，系统（2）附近的解哪些在靠近零解，哪些在远离零解以及这种变化的程度。当 $x_{0}(t)" style="font-family:宋体, simsun;$ 是闭轨，这些指数即是系统（2）的普通Floquet指数。

       可以严格证明

                            $\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}trace(\Phi (t))dt$

精确反映了在这一时间段，基础解张成的n维体积（初始时为单位体积）的变化。

        当研究的轨线 $x_{0}(t)" style="font-family:宋体, simsun;$ 不是闭轨时，需要考察在大时间区间的稳定性，这时可以将大时间段分成有限的局部区间，分别计算广义局部Floquet指数，然后计算平均值。依此可以判断该轨线的大范围性质。

        最近，作者通过有限次数值实验，发现效果比以前使用不同算法的李雅普诺夫指数好得多，至少基本上没出现张林提出疑问的情况。而且，新的指数似乎能反映出极限闭轨在倍周期分叉时的特征。详细正在写出论文，稍后些天发布。

       这些工作归功于我的导师秦元勋教授，也得益于诸位网友的提问、质疑、讨论。现在头痛的是要解决的问题太多，精力有限。还望诸位网友理解、关注，更望进行实质性的参与。