在论文   <Non-trivial Local Attractors of a Three-dimensional Dynamical System>  (http://arxiv.org/abs/1311.6202v2)  发布后，后续的研究进展确实很快。

      除已指出的冯贝叶关于Hopf分叉的严格证明外，刘洪伟随后做了更一般性的证明并用于极限环的控制，胡彦霞则证明了该系统除了平凡李变换 $t\rightarrow t+c$ 外，不接受任何大范围解析的李群，证实了绝大多数研究者的判断--该系统不可积。他们的工作已写成论文待发表。

      由于发现该系统存在多种形式的空间极限闭轨，作者希望通过动力系统理论中常用的李雅普诺夫指数研究这些闭轨线的稳定性及在倍周期分叉时的表现。（根据想象，在分叉点应出现至少有一个指数为零的情况）。但实际使用这一指数时却发现两方面的问题：

      第一，发现其定义与计算方法不唯一，其中一种是利用微分方程组在所研究的轨线处的雅可比矩阵平均值，具有明显的意义；第二种是英文Wikipedia所介绍，由 Oseledets theorem 保证存在的定义与算法，网上还可搜索出其它不同算法。但对目前所研究的系统的实际计算发现两种算法的结果有实质上的不同，当它们取值不同时，第二种定义已失去其在稳定性判定中的意义。

     第二，用第一种定义，作者计算了几个对称性极强，极限环可以使用初等函数精确表达的例子，精确的结果是当极限环渐近稳定时，极限环的三个指数的符号有以下几种分布：

     （1） $%uFF08-%uFF0C-%uFF0C-%uFF09$ $(-,-,-)$

     （2） $(0,-,-)$

     （3） $(0,0,-)$

     （4） $(0,0,0)" style="line-height:1.2em;$

而且当对所研究的不可积系统的极限闭轨研究时还大量发现了第五种分布，

      （5） $(+,0,0)$

       渐近稳定极限环的李雅谱诺夫指数有上述五种分布与目前理论界的共识相矛盾。例如Wikipedia的算法所依据的基本文献[1]有这样一般性的描述：        

        If the attractor reduces to

(a)   stable fixed point, all the exponents are negative;

(b)   limit cycle, an exponent is zero and the remaining ones are all negative;

(c)   k-dimensional stable torus, the first k LEs vanish and the remainingones arenegative;

(d)   for strange attractor generated by a chaotic dynamics at least one exponent is positive.

       中文百度百科关于“李雅普诺夫指数”条目中有如下列表：

       科学网的博文”混沌研究总结篇------二、Lyapunov指数（1.连续系统）”

    （http://blog.sciencenet.cn/blog-361185-406940.html）

关于在三维情形下，也有类似的符号分布

      (λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( - , , - ) :稳定不动点;

　　(λ1 ,λ2 ,λ3 ) = ( +, 0, - ) :奇怪吸引子。

       我想所列这些一般性判断似乎都有道理，自己也曾相信。但由于三维系统的稳定极限闭轨的实例太少，大多数作者没有经过实际计算检验，仅凭想象，因此会出现与实际不符的情况。

       研究结果已写成论文“Important Noteson Lyapunov Exponents”，即将在arXiv上发布。本博文后面附上英文的pdf原稿，供网友参考、批评指正。

     个人的一点感受：目前动力系统理论由于对三维或更高维系统的研究太偏重抽象的理论推导，缺少对实际例子的深入研究。这使得理论太抽象，将（即使有相当基础的）大众拒之门外，而且其自身的正确性也难保证。这里关于李雅普诺夫指数的问题就是一个值得深思的例子。

Important Notes on Lyapunov Exponents.pdf

参考文献

[1] Cencini M. et al., M. Chaos From Simple models to complex systems. World Scientific, (2010).  ISBN 981-4277-65-7.