几天前（11月1日），美国科罗拉多州立大学物理系教授R.Mark Bradley 在学术交流网站ResearchGate上公开提出如下问题：

How can I solve a^2 y = y^3 – y’’’ –y’?

Can any one suggest an analytical method to solve the ODE a^2 y = y^3 – y’’’ –y’, where a is a positive constant? The solution should have y(0)=0. Also y -> a as y’-> 0 as x -> infinity.

已有一些学者意识到该问题不大可能用分析的方法解决，英国Bristol大学的A.R. Champneys建议使用平衡点的不稳定流形沿自变量逆向通过 shooting 找到该解，但没有给出具体描述，也没有尝试给出结果。我则对该方程，首先利用传统变换，令z(y)=y’ 将方程降为二阶

zz’’ + z^2 z’ + z + a^2 y – y^3 = 0                            （1）

并尝试利用在文献[1]中的方法证明方程（1）除平庸的Lie变换 y -> y + c, z -> z, 外，不再接受其它的大范围的解析李群。这样就可较严格地断定原方程不能用积分法求解（尚未完成）；其次是引进变量替换: x -> t, y -> x, y’ -> y, y’’ -> z, 于是Bradley 的方程化成如下的三阶（自治）动力系统

dx/dt = P(x,y,z) = y

dy/dt = Q(x,y,z) = z                                      (2)

dz/dt = R(x,y,z) = x^3 – a^2 x – y

利用动力系统的基本方法，可以看到该系统存在3个平衡点： p0= (0, 0, 0), p1=(-a, 0, 0), p3 = (a,0,0)。由于Px + Qy +Rz = 0 (这里，Px 表示P(x,y,z)对x的偏导数)，因此自治系统（2）是保守的，即任何一个相空间的初始体积，当它按由（2）定义的流随时间t变化时，形状可以变化，但体积不变。因此，（2）的平衡点中不可能有渐进稳定的。不难通过计算证明，平衡点 p0 具有一个一维稳定流形和一个二维不稳定流形（它对应的特征根是一对有正实部的共轭复数），而p1 与 p2 均有一个一维不稳定流形及一个二维稳定流形（对应的特征根是一对负实部的共轭复数）。用W^s(p2)表示通过p2的稳定流形。几何上，W^s(p2) 的任何局部都相当于一小片二维曲面。在W^s(p2) 上的积分曲线一定会螺旋式地收敛到平衡点p2. 我想英国的A.R. Champneys 很可能是利用这一事实提出他的前述建议，我也正是基于这一图像提出（我具体做这一工作时，没注意到Champneys 的建议）从p2的很小邻域内任选一点当作初始点，沿时间逆向数值地积分系统（2），如果该积分曲线在某时刻t0 (t0 < 0)与平面x=0（即yz坐标平面）的y > 0 部分相交，这就意味得到了Bradley所要求的一个特解。我也提出，如果找到这一特解，这就意味W^s(p2)与xy平面的y>0部分有个交点。这时，W^s(p2)与这部分的交点绝不会仅此一个点，至少形成过此点的一条曲线。而以此曲线上的任何一点当作出发点，系统（2）的积分曲线都会沿着时间的正向，螺旋式地收敛到p2。这些曲线均对应着Bradley所需要的解（因此有无穷多解）。

我在a=1的情况下具体做了一系列数值实验证实了上述想法。图1是以p2的很小邻域内一点作初始点，沿时间逆向数值积分系统（2）得到的，该积分曲线在某时刻t0 (t0 < 0)确与yz平面的y > 0 部分相交。

图1

图2是上述曲线对应的Bradley所要求的解

                    图2

图3显示10条有上述性质的积分曲线，由它们可以近似地张成二维稳定流形W^s(p2)的一部分

图3

图4 显示了上述的部分W^s(p2)与xy平面的交线

图4

由于系统（2）是保守的，没有什么引人注意的复杂吸引子，所以系统（2）显得有些平庸（trivial）。然而，我注意到它的几个平衡点的稳定流行及不稳定流形仍具有令人感兴趣的性质，只要将Bradley的方程稍加改变，就可能形成极有趣味的动力系统。我尝试将他的方程改为

a^2 y = y^3 – y’– b y’’ – y’’’                           (3)

要求其中参数b是个正数。于是对应的自治系统（2）就变为

dx/dt = P(x,y,z) = y

dy/dt = Q(x,y,z) = z                                              (4)

dz/dt = R(x,y,z) = x^3 – a^2 x – y – b z

   对系统（4），由于Px + Qy + Rz = -b  <  0,它不再是保守的了，而是一个有负散度的流，具有吸引性。因此，该系统可能存在有趣的吸引子。p0, p1, p2 都还是平衡点，而且当参数b 不大时，它们的性质变化不大。该系统与著名的Lorenz方程有类似之处，都只有三个平衡点，都对空间坐标反射对称，流的散度都是负值有吸引性。但从下面的初步数值研究可看出两者又有重大的不同。

数值计算表明，当 a=1, b=0.315时，系统（4）有个非平凡的有界吸引子。图5显示了该吸引子在不同视角下的立体图像，我不能严格证明它是否是一条封闭曲线还是具有其它复杂结构的几何体。

                              图5

图6显示其中的积分曲线x(t)部分随时间变化的关系（类似于概周期函数）

                      图6

当a=1, b=1/3时，吸引子似乎变成稍复杂的封闭空间曲线，见图7。

                      图7

当a=1, b=1/2时，吸引子似乎变成简单的空间闭曲线（空间极限环？）。见图8

              图8

当a = 1, b > 1时，p0 成为渐进稳定的，自己就是个孤立的平凡吸引子。显然吸引子的几何性质随参数 b 而变化。这会形成有趣的分叉现象。

以上都是最近一两天的研究结果，已在ResearchGate上做了介绍。

相信系统（4）的吸引子结构问题内容丰富，研究方法将涉及到三维几何与三维动力系统的基本困难问题。这一系统是否能联系到实际问题尚待研究。

特此，将这些初步发现在科学网上公布。迫切希望国内有志学者共同探索。

参考文献

Minghui Liu and Keying Guan，The Lie Group and Integrability of the Fisher Type Travelling Wave Equation, Acta Mathematicae Applicatae Sinica ， 03/2009; 25(2):305-320.