摘要：有必要将数学中的难题分为两大类，一类是可以通过有限步骤证伪的，这类不能用哥德尔方法证明是不可判断的；另一类是不可能通过有限步骤证伪的，后一类又可分为能用哥德尔方法证明是不可判定与不能用哥德尔方法证明是不可判断的两个子类。很可能，数学上的绝大多数难题是不能用哥德尔方法证明是不可判断的。

关于著名的哥德巴赫猜想，时而听说恐怕人类永远无法证明其真，也偶尔听说使用元数学哥德尔的方法已证明它是不可判断的。由于对深奥的元数学一直没下决心读下去，所以对上述说法将信将疑。

近来，我的好友应行仁在《科学网》发表了系列科普文章《哥德尔定理的证明》（1--5)。该文介绍了哥德尔定理的思想与精髓，我从中获益匪浅。尽管并没有（也不可能）由此完全学懂哥德尔定理，但了解到哥德尔定理是在PM公理系统中嵌入了类似于谎言命题的所谓“自指”（self-reference）性的命题“这个公式是不可证明的”，并将之与PM建立一系列关系成为一个元数学的新公理系统。

根据对“不可证明”或“不可判断”命题的理解，它应该是指：在给定的一个公理系统中，不能证其真，也不能证其伪的命题。

由于对使用哥德尔方法是否能证明哥德巴赫等著名数论难题“不可证明”的关心（因为真能证明，这将对苦心研究这些难题的数学家带来极大的启示），所以搜索了一下是否已有相关结果。结果令人失望，发现目前使用哥德尔方法证明不可判定的著名数学命题似乎仅有策莫罗选择公理、康托的连续统假设、帕里斯、哈林顿、弗里德曼相继在有限组合理论中构造的既不能肯定也不能否定的关于自然数的很复杂难于直接叙述的命题。

带着为什么至今没有使用哥德尔方法判断哥德巴赫猜想是否可证的疑问，作者注意到该猜想只要找到一个反例，即可判断猜想为伪，而这个反例是可用有限次初等方法找到的。由此首先想到，如果能用哥德尔方法证明该猜想是不可判断的，就等于证明了猜想是正确的。然而，“证明了猜想是正确的”与“证明了是不可判断的”自相矛盾。

经进一步思考，发现哥德巴赫猜想是一类有特性的命题，即在系统内“可用有限方式证伪”。下面进一步严格定义什么是“可用有限方式证伪”的命题。

定义：在一个公理系统中，如果一个命题是对一个给定可数集合的每个元素都给出结论，而且每个局部结论都可用系统容许的有限方式判别真伪，那么该命题称为是可用有限方式证伪的，或简称可证伪的。

因为如果这类命题不正确，一定可以通过系统容许的有限步骤举出反例，所以上述定义是有道理的。

符合这一定义的实例很多，除哥德巴赫猜想外，数论中的费尔马定理、平庸的命题“大于2的偶数一定可被2整除”以及错误命题“大于2的偶数一定可被3整除”等也都是这类命题。

不符合上述定义的数学命题也很多，例如，数论中的孪生素数猜想，选择公理，康托的连续统假设等均是不能用有限的方式证伪的。逻辑学中的谎言悖论也可算是这样的命题。

因此，数学命题可以分为能用有限方式证伪和不能用有限方式证伪两大类。

对于可证伪的命题，不能使用哥德尔的方式证明为“不可判断的”。这是因为“不可判断”意味着对该命题不可能在系统内通过有限方式“证伪”，也就意味着该命题不存在反例，只能得出结论该命题对所有（可数多个）对象为真, 即命题为真，但这与“不可判断”相矛盾。

上述原因解释了为什么至今，没有使用哥德尔方法判定哥德巴赫猜想是不可判断（或不可证明）的正式结论。可以确信，永远也不会有理论证明哥德巴赫猜想是不可能判断的（既不可证其真，也不可证其伪）  。

可证伪的命题一定可以弱化为“不可证伪”的， 这只要将命题的对象“某给定集合中的所有元素”改为“除有限个例外,集合中其它所有的元素”，并且不给出有限个的范围。这时新的命题，由于容许有个别反例，似乎弱化了，但无疑在逻辑学上本质性地增加了证明难度。

从个人感情上，希望哥德巴赫猜想不要弱化成不可证伪的。保留“可证伪”可以维持大多数人关心并参与研究（至少是找反例）的兴趣。真找到反例，该反例说不定还有更大意义。

由于没有完全学懂哥德尔理论，下面的内容纯属个人猜测。

根据逻辑，一个仅使用公理系统容许的概念与方法不能证明的命题，如果再加入一个与原系统相容的新公理就能被证明，那么该命题一定蕴含新公理的成分，或者说与新公理相关。例如，平面几何中的一个命题的证明必须使用平行线公理，那么该命题一定蕴含平行线公理或与之等价的其它命题（如三角形内角和为2 $\pi$  等）的成分。

由此推想，如果一个命题必须使用哥德尔的公理系统（指该系统嵌入了“自指”性的命题“这个公式是不可证明的”）证明是不可判断或不可证明的，那么该命题也必然含有人们不太习惯的“自指”性。而通常的数学难题，特别是经典的数论难题，人们很难从中看出它们蕴含这种“自指性”。所以，个人觉得，这些不带“自指性”的命题不能用哥德尔的方法证明不可判断。

如果上述推想正确，那么不可证伪的命题就可划分为能用哥德尔方法证明不可判断，与不能用哥德尔方法证明不可判断的两个子类。

现在可以确认，谎言命题肯定属于可用哥德尔方法证明是不可判断的。

选择性公理与康拓的连续统假设据说也已被证明是不可判断的。由于作者感觉这两个命题似乎没有“自指性”，所以希望今后进一步了解其证明过程，看这两个命题是否真含有“自指性”成分。对于作者，这是个有趣的课题。

了解到，帕里斯、哈林顿、弗里德曼相继在有限组合理论中构造的既不能肯定也不能否定的关于自然数的命题是通过递归函数方法构造的，所以怀疑在构造过程中是否混入了“自指性”的成分。这将是作者关心的另一个待研究课题。

由于有上述疑问，这限制了作者对哥德尔定理意义的认识。如果能用哥德尔方法严格证明某个不可证伪，而且不明显含“自指性”的经典数论难题是不可判断的，无疑哥德尔理论的重要性将会被更多人认识、承认。

当然，可以将哥德尔的“不可证明”或“不可判断”的含义中去掉“不能证其伪”，弱化为：不能在系统内用有限的方法证明命题为真。这时情况会发生根本变化，而且，恐怕得对哥德尔嵌入的“自指性”命题及哥德尔理论做实质性修改。