博文[1]所示精确解的意义

 

 最近张靖西先生对博文[1]中精确解的意义提出了质疑， 并用他亲自做的试验说明他的观点。另外也有不少朋友看到动画显示出的流动明显地做周期摆动，质疑该解有无普遍意义。

 

 这些朋友对科学问题的热心关注使我非常感动。 在此较详细地说明文[1]中精确解的真实意义。

 

 观测一瓶看似宁静的水。如果使用显微镜等设备，会发现水中的某些杂质小颗粒在做布朗运动。 如何解释这一运动呢？通常认为宁静水的流速分布应该处处是零，并由此简单地得出判断，认为流体力学方程的解不能描述布朗运动。 也有很多人认为不能用流体方程的解描述宁静水中的扩散效应。

 

 人们常用随机方程描写布朗运动，用扩散方程描写扩散效应，而且也都取得了很好的结果。

 

 那么真的不可能用流体力学基本方程描写这些现象吗？思考一下水中的某些杂质小颗粒的布朗运动。尽管这些颗粒很小，但比起水的构成分子，在尺度上要大许多个数量级，每个小颗粒都被极大数量的水分子所包围。如果这些水分子运动是杂乱的，平均速度几乎处处是零，那么该小颗粒就不可能运动。因此当小颗粒明显运动时，其周围的水分子必须存在与小颗粒一致的有序运动。这有序运动必须是微小局部的，否则水在大范围就存在明显流动，不能看成是平静的。

 

布朗运动的普遍存在性说明平静的水中处处存在微局部的有序运动。 那么数学上应如何描述看似宁静水中处处存在的局部有序运动呢？ 一个理想的方法就是假设水的流速周期分布在水存在的范围内（如小瓶内），比起这一范围，周期的尺度很小，普通肉眼看不到，显微镜下才可观察到。

 

写出一个周期分布的流速场是容易的，但将这种流场作为实际流体方程的解一般不恰当。 因为将任意写的周期分布的流场带入流体运动方程，为使方程平衡，就必须假设有一个对应的外力来维持，即增加一个周期分布的外力。 这是不可取的，宁静的水不存在这种外力。其实一些学者曾在二维的情况下找到了一个周期分布的流速场，称为Taylor-Green 涡流解（vortex solution）。该解的局部相图如下

由相图可看出流体在小涡内旋转运动。 然而此解不能描述布朗运动，因为布朗运动不能只限于小涡内。 后来有些研究海洋与气象的学者给出了几个在Taylor-Green 涡流解基础上增加了随时间周期变化部分的解。 虽然这些解可以描述布朗运动等复杂现象，但都需要复杂非自然的外力维持。

 

我和我的研究生正是通过我们发展出的新方法求出了博文[1]给出的精确解，也可看成是在Taylor-Green 涡流解基础上增加了随时间周期变化的部分。 但是该解不需要外力维持， 外力可以是零。如文[1]动画所示，它可描述布朗运动和扩散等现象。

 

顺便指出，如果将张靖西先生所发照片（见博文[2]）显示的扩散试验理解为二维的，则我们给出的动画应该是在显微镜下才能观测到的相对微观现象。从宏观上流体看似不动，只能看到扩散，通过显微镜才能看到布朗运动。

 

应该指出，文[1]给出的解只是一种二维特解，实际流体的微局部有序运动不是二维的，也不一定是周期的。 寻找三维的类似解，虽然是我们极想做的，却至今毫无办法。 给出非周期的微局部有序运动解更是无处着手。

 

尽管如此，该解还是反映出一些值的注意的普遍现象，即给定部分区域的流体在向相邻部分相互作用相互渗透的过程中，经常是以纤维状的分支流的形式。仔细观察张先生的照片就会察觉到扩散的边缘纤维状支流的存在，文[2]的其它照片这一现象更明显。

 

    细想一下，这种现象也好理解，两部分不可压流体相互扩散时，在开始的交界处两部分谁让谁？

 

    我十几年前有这样的经历， 国庆刚过，长安街傍晚可以步行参观。人们挤满长安街，西城的要走向东城，东城的要走到西城，若两方都不相让，谁也过不去。 实际上是自动形成了纤维状的小支流，相互穿过。

 

另据报道，去年日本大地震引起核事故形成的气相污染物也以羽状向外扩散。我觉得对这种普遍存在的现象应予以关注。

 

回到文[1]的精确解，我认为它只是一个极特殊条件下的特解，但它与自然界普遍存在的现象相关，能解释一些自然现象。

 

再次感谢张先生与其他关心这一研究的朋友。

 

参考文献

[1] 可描述布朗运动和扩散过程的Euler方程精确解

[2] 几张流体杂运动的照片

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