Keying Guan

Department of Mathematics, School of Science, Beijing Jiaotong University

Email：keying.guan@gmail.com

几乎所有物理学或力学的教科书都给出功率 P 与力 F 的基本关系式

   （1）

但事实上，对如何正确解释此公式，特别在解释公式中的速度问题上，学界的主流并没有清楚的共识。具体表现在除了笔者在最近发布的几篇博文中，通过在光压问题上爱因斯坦与主流理论对公式（1）的不同理解外，还具体表现在至今学界对公式 （1）有多种说法，遗留了需要深入探讨的问题。例如，今天，笔者用中文谷歌搜索“功率与力的关系”时，顺序得到以下解释：

1）求功率的公式为功率=功/时间。 功率表示做功快慢程度的物理量。 单位时间内所作的功称为功率,用P表示。 故功率等于作用力与物体受力点速度的标量积 。（来自百度百科）

2）功率与力，速度有什么关系？

Feb 20, 2019 — 功率是力与速度的乘积，公式为：P=FV。功率与力的关系：当速度一定时，功率与力成正比。功率与速度的关系：当力一定时功率与速度成正比。

（来自 baidu.com https://zhidao.baidu.com › question）

3）功率与速度的关系是什么

Oct 3, 2020 —功率与力的关系：当速度一定时，功率与力成正比。当力与物体运动的方向相同时，力做功的功率为P＝Fv。当是平均速度时，P 表示平均功率，当是某时刻的 ... 

（来自 chusan.com http://www.chusan.com › zhongkao）

4）高中物理知识点释义：功和功率的计算_机械能

Jan 7, 2021 — 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用， ... 

（来自 sohu.com http://www.sohu.com › ...）

等等。

用英语的谷歌搜索 “the relationship between power and force” 时，笔者首先看到如下解释：

power = force × distance (in direction of the force)time taken, so power = force × velocity. (However, this only works if the velocity is steady, i.e. the force is not the resultant force on the moving object.)

（来自 

Episode 218: Mechanical power | IOPSpark - Institute of Physics

Institute of Physics

https://spark.iop.org › episode-218-mechanical-power）

该解释的中文是

功率=力×距离（力的方向）除以所用时间，所以功率=力×速度。 （但是，这仅在速度稳定时才有效，即力不是运动物体上的合力。）

无疑以上诸多解释在限定的条件下是正确的，但也暴露了一个值得深思的共同研究课题。下面解释该课题：

公式 （1）中的力 F 显然是推动物体运动的力，更准确地记为 F_push 。当被推物体的速度变得稳定时, 稳定的条件应该是推动力等于被推物体受到的运动阻力。一般情况下，运动阻力与物体的运动速度正相关，即运动速度越大，遇到的运动阻力越大（不必成正比）。因此，在不同环境（例如不同的摩擦系数），同一物体受到到同样大的运动阻力时，物体表现出的速度也必然不同。所以，不同环境下，在给定的推力 F_push 作用下，物体稳定下来的速度也会不同。此时，公式 （1）还正确吗？也就是说，不同环境下，为达到同样的推动力，施力者（人，动物，或发动机）真需要输出（按公式 （1））不同的功率吗？

以一个骑自行车的人为例。假设自行车装配有变速系统，当行驶在一条平坦的路面上，骑车人一般会使用他感到舒适的平均力 F_push 踩动自行车踏板驱使他自己与自行车以他满意的速度 v₁ 前行，此时如果骑者消耗的平均功率 P₁ 按公式 （1）计算，就得到

   (2)

当骑行中遇到强逆风造成的较大空气阻力时，骑者为保持使他感到舒服的力 F_push 踩动自行车，他可通过变速装置，使自己与自行车以较慢的平均速度 v₂ 继续前行。这时，按照公式 （1）计算，骑行者消耗的功率就应变小到

   (3)

但人们的实际感受是，在同样长的时间段，两种情况下骑行者消耗的能量（或平均功率）（表现在骑行者感觉到的疲劳度上）差不多。也就是说按公式 （3）计算出的功率并不是骑行者真正付出的。

这个问题也可按另一种方式说明：

研究行驶在平坦公路上的小轿车。在安全的情况下，为方便，当车行驶速度稳定在某满意的定速 v₁  时，驾驶员会使油门（供油速度）与车的挡位保持固定，汽车消耗的有效功率 P₁ 与对应的推力 F_push 满足等式（1）。而当汽车遇到逆风造成的较大阻力时，如果驾驶员仍然使油门与车的挡位保持原来的状态，有理由相信这时汽车消耗的有效功率 P 与对应的推力 F_push 都基本保持逆风前的原值，但由于阻力变大车速会自动减慢，直到推力 F_push 与新的总阻力平衡时，车速将稳定在一个明显小于 v₁ 的新值 v₂ 。达到新车速后，如果按照公式 （3）计算此时汽车的平均功率 P₂，所得数值必然小 于 P₁ 。这意味着，当遇到更大风阻时，如果驾驶员保持原来的油门（供油速度）与车的挡位，汽车发动机的功率会变小。显然，这与保持供油速度与挡位的实际控制相矛盾。

以上的例子说明了主流种种解释的确遗留了需要深入研究的重要问题。

事实上，虽然力与功率是两个不同的物理概念，但世界上即不存与力无关的功率，也不存在与功率无关的力，它们必然在物质相互作用过程中同时出现。在现实的两种物体相互作用中，经常有一方是相互作用中功率与力的主动产生者，不妨称其为施力者。当施力者在付出稳定功率 P 的同时，必然产生一个对应的稳定推力 F_push ，但是，由于受力物体的阻力环境不同，受力者的稳定速度 v 也会不同。这个事实表明不能简单地用公式 （3）描述功率 P 与推力 F_push 之间的内在关系。特别当受力者在接受到给定的力作用之前处在静止状态，在力开始作用的瞬间，受力者显现的速度必然还是零，这瞬间功率与力的关系根本不能由公式 （3）表示。

当施力者在消耗给定的功率 P 时，由于施力者内部结构的变化（如汽车的挡位变化），他的推力 F_push 也往往会发生变化。

尽管如此，任何情况下功率总是与力一定同时产生的事实说明，施力者产生的功率 P 必然蕴含着这样的一种力 F，该力既不受施力者自身内在结构（如汽车或自行车的挡位）的影响，也不受外界环境（如各种阻力）的影响，而是仅依赖于功率 P 自身。本文将之称为功率的内蕴力，并记为 F_intrinsic 。

事实上，作者根据已有的力学定义、公式和量纲分析，并根据制定单位制的原则，从理论上证实了任何给定的力都有其内力。该功率与其内在力之间的关系力体现在博文 https://blog.sciencenet.cn/blog-553379-1382786.html 或 Different interpretations of the relationship between power 中的公式 （18），用现在的记号，该式可更精确地表为

     (4)

其中 v_unit 为所选单位制下的无方向单位速度，公式中的功率 P 及其内在力 F_intrinsic 均必须按同一选择的单位制测量。如果采用国际单位制（SI），单位速度就是每秒一米，功率 P 必须用瓦特 （Watt，或 W）计量，内蕴力  F_intrinsic  必须按牛顿 （Newton，或 N）计量。公式中的单位速度与受力物显示的速度无关。

不难看到在任何完整的单位制下，除去量纲后 P 和 F_intinsic 的数值相同。因此，这里对 F_intrinsic 的定义是合理、自然的。

另外，笔者曾经在以前的博文讨论了功率 P  和内蕴力 F_intrinsic 涉及的方向问题，感兴趣的读者可参考该文 （Rediscussing on the Force-Power equivalence）。根据该文的讨论，笔者认为公式（4）中的单位速度 v_unit  只是个标量，公式中的乘积不是标量积，而是普通乘积。

值得关注的是：前面已提到："特别当受力者在接受到给定的力作用之前处在静止状态，在力开时作用的瞬间，受力者显现的速度必然为零，..." , 显然，这时的力可以看作是瞬间的静力，而且公式 （4）仍客观地存在。如果受力者受到的静阻力大于给定的推力时，物体会保持不动。如果施力者持续发出同样功率，施加同样的力，物体会因静阻力太强持续不动，于是这个推力成了真正的静力，施力者与受力者都会因推力与反作用力的作用各自发生对应的内在变化，例如发热、结构变化或损伤等，受力者的发热等现象显然是接收到施力者输入能量的表现。正因如此，笔者得到了“静力也做功”的结论。这一结论否定了主流理论认为静力不做功的错误观念。主流的这些误解忽略了举重运动员举起杠铃并保持不动时所消耗的能量，也忽略了拔河运动员在拔河比赛中与对手拉平僵局时所消耗的能量。 此外，主流理论还忽略了物体内部在静力作用下的微观变化和损伤。

自然界存在大量静力作用的现象，因此，研究物质在静力作用下对应的内在变化具有着重大意义。静力也做功的结论和公式 (4) 必然有助于这方面的研究（包括定量研究）。这是主流理论应该重视的。