管克英

北京交通大学理学院，数学系

Email：keying.guan@gmail.com

Abstract: This paper points out that the combination of the law of conservation of energy and the law of conservation of momentum implies an important law that is often ignored because it is not obvious when it comes to "static force" problems, that is, there is no force that does not do work. This law can be precisely expressed as force is equivalent to power, that is, every newton of force acting on material is equivalent to outputting 1 watt of power. This law is reflected not only in the Magdeburg hemisphere experiment, but also in the calories consumed by weightlifters, and also in the plastic deformation, heat generation, fatigue, and fracture degree of the extruded (or streched) material per unit time. Ignoring this rule will result in misjudgment of practical problems. For example, many people mistakenly believe that a person who is standing and carrying a weight is not doing work when he is not pushing the weight higher further, etc., so he consumes the same amount of physical energy as if he were not carrying the weight. Such misjudgments are more seriously reflected in the Maxwell-Bartoli radiation pressure formula (including Krönig's pressure formula for ideal gas) with reflection coefficients in modern physical science theories. This formula erroneously predicts that the radiation pressure on the surface of the strongly reflective material with a small ability to receive radiation is greater than the radiation pressure on the surface of the weakly reflective material with a large ability to receive radiation. This prediction both contradicts the experimental facts of the Crookes radiometer and grossly underestimates Crookes' scientific contributions. Using the above rules, this paper not only gives the mechanical estimation of the calories consumed by weightlifters in a weightlifting activity, but also further, comprehensively uses the methods of thermodynamics and statistical physics and the precise solution of the elastic collision of two particles, gives the electromagnetic radiation beam The formula for light pressure and ideal airflow pressure,

where <S_incident> is the power of the incident flow through a unit area, R_reflection is the reflection coefficient of the illuminated object, s is the unit time (1 second), and m is the unit length (1 meter).

摘要：本文指出能量守恒与动量守恒定律的结合蕴含着一个在涉及“静力”问题时，往往因表现不明显而被忽略，却真实存在的重要规律，即没有不做功的力。此规律可精确表达为，力等价于功率，即这种等价性可以精确地表示为，作用在物质上的每牛顿力相当于输出 1 瓦特的功率。此规律既体现在马德堡半球实验上，也体现在举重运动员消耗的卡路里上，还反应在受挤压（或拉抻）的物质材料在单位时间的塑性变形、发热、疲劳、断裂的程度等诸多方面。忽略了这个规律则造成对实际问题的误判。例如，很多人错误地认为，正在站立负重的人，在没有进一步推动重物向上等动作时，没有做功，因此他消耗的体能与不负重一样。这类误判更严重地反应在现代物理科学理论中含反射系数的Maxwell-Bartoli 辐射压公式 (包括 Krönig 的理想气压公式) 上。此公式错误地预测：接收辐射能力小的强反光物质表面受到的辐射压大于接收辐射能力大的弱反光物质表面受到的辐射压。此预测既与 Crookes 辐射计的实验事实相悖，也严重低估了 Crookes 的科学贡献。本文利用上述规律，既给出了对举重运动员一次举重活动中消耗卡路里的力学估计，还进一步，综合运用热力学与统计物理的方法和两个粒子弹性碰撞的精确解，给出了关于电磁辐射束压强与理想气流束的压强公式，

其中 <S_incident> 是入射流通过单位面积的功率，R_reflection，是被照物体的反射系数系数，s 是单位时间 (1 秒)，m 是单位长度(1 米)。

I  对 Maxwell-Bartoli 辐射压理论与 Crookes 辐射计实验的再思辨

虽然（Crookes) 辐射计的设计很简单，但它的发现导致了物理学家试图充分解释其运动的起源的，史诗般的50年历史。 该设备吸引了当时一些最著名的科学家的兴趣，并引发热烈的科学争论。 事实上，它很好地说明了物理问题的解决方案往往比它们最初看起来更棘手！

(英语原文：Though the radiometer is simple in design, its discovery resulted in an epic 50 year history of physicists attempting to adequately explain the origin of its motion. The device would attract the interest of some of the most famous scientists of its time, and provoke lively scientific arguments. It is, in fact, a good illustration of how the solution of problems in physics can often be trickier than they first appear to be!）

以上摘自博客网站   https://skullsinthestars.com/ 的博文 Crookes and the puzzle of his radiometer

作者从2021年4月开始关注太阳帆的理论到目前讨论 Maxwell-Bartoli 光压公式的研讨过程中，逐渐意识到问题涉及到物理学的基础，涉及到19世纪以来许多我们崇敬的顶级物理学家的研究结果，关系重大必须慎重再慎重。

物理学是以试验事实为第一性的科学，又是以严格逻辑推理为基础的科学。按照这个原则，作者在不断反思已发布的相关博文, 推敲哪些有所偏颇，哪些确有道理需要坚持，哪些需要进一步研究澄清。

作者在以前的数篇相关博文中曾多次介绍了人类对光与光压认识的历史，指出了19世纪中后期的重要进展，即英国物理学家 James Clerk Maxwell 于1865 年建立了电磁场运动方程^[1]，并且推导出电磁辐射的能量密度的表达式等，使得电磁辐射可以被看成实际的物质，特别，他还给出了一种计算光压的理论^[2]。

人类直接观测到阳光可推动物体运动的现象是1873年 Crookes 辐射计的光压实验^[3]。实验的结果是：当阳光落在辐射计时，辐射计的叶片被转动，黑色表面显然较反光面更容易被光推动。最初 James Clerk Maxwell 引用了他的论文，接受了 Crookes 的解释 。Maxwell 起初似乎很高兴看到他的电磁学理论预言了辐射压力的影响。但这个实验结果以及 Crookes 的解释显然与流行的看法或理论相矛盾。流行的看法认为反光镜面受到的压力是不反射光的黑体面受到的压力的二倍。

作者研究了 Crookes 的论文，注意到其系列论文的第三部分中明确指出（见文献[3] 第 350 页）：

Light falls on the black and white surfaces of a radiometer, or other similar instrument. That which falls on the white surface is nearly all reflected back again. Were the surface perfectly white the force which went into the bulb would be reflected out again; the incident ray would contain in itself a certain amount of potential w ork; but as the emergent beam would come out with no loss of intensity, no work could have been done on the reflecting surface.....

But in the case of light falling on the lampblacked surface the result is very different. Here, practically, the whole of the light is quenched by the lampblack. Force is poured into the bulb, but none comes out. W hat, then, becomes of it'? It is changed into motion, and becomes evident in the strong repulsion which is exerted on the black surface.

中文译文为

光落在辐射计或其他类似仪器的黑白表面上。 落在白色表面上的几乎全部再次反射回来。 如果表面完全是白色的，那么进入灯泡的所有力都会再次反射出去； 入射光线本身包含一定数量的潜在功； 但是由于出射光束的强度没有损失，因此无法在反射面上做任何功...... 

但在光落在被油烟熏黑的表面上的情况下，结果就大不相同了。 在这里，实际上，整个光都被油烟熄灭了。 力被注入灯泡，但没有一个出来。 那么，它会变成什么？ 它变成了运动，并在施加在黑色表面上的强烈排斥力中变得明显。

根据最近对弹性碰撞理论的研究，作者认为，Crookes 的上述解释虽然没有经过更深刻的理论论证，但显然是极有道理的，他的解释兼顾了动量守恒与能量守恒原理。他的解释本应被学术界重视并深入研究，但学术界却普遍严重地忽略了他提出的能量守恒约束，片面地仅根据动量守恒认为反射面因受到更大的动量作用从而会受到更大的压强。

为澄清此问题，作者进一步研究了140多年前 Maxwell 对太阳光压的计算过程与依据，研究了以后由 P. Lebedew 给出的更现代的计算公式，即 Maxwell-Bartoli公式^[4]

    （1）

公式右方的 S 表示电磁辐射（或光）束每秒正面通过被照射物每平方米的能量（简称能量通量，等同于通过每平方米的功率)，c 为光速， R 是被照射物对辐射的反射系数。Maxwell 的最初计算没有考虑到反射系数（即设 R = 0） ，所以他给出的计算值为每平方米 0.00000041 公斤重。当将反射系数 R = 1 时，根据该式计算的太阳光压值就是每平米 0.0000008 公斤重。这是学术界普遍认为反射面会受到更大压强并依此以否定Crookes 解释的主要理论依据。

其实使用 (1) 式计算出来的太阳光压非常小，似乎难以推动 Crookes 辐射计的叶片转动。学术界不得不寻找一系列复杂理论用于解释辐射计的叶片转动，例如英文 Wikipedia 关于 Crookes Radiometer 的介绍 https://en.wikipedia.org/wiki/Crookes_radiometer;

又如著名的博客网站 https://skullsinthestars.com/ 中的值得一读的博文 Crookes and the puzzle of his radiometer

这些趣味的文章 (包括 1924年 Albert Einstein 的探索 [5]) 介绍了大量试图用其它物理作用解释 Crookes 辐射计叶片转动的探索。从这两篇文章不难看出，迄今关于 Crookes 辐射计叶片转动机制不是来自光压的解释实在过于复杂，而且这些解释均难以说明为何在激光束照射下辐射计叶片转动的迅速响应（参考作者的博文 

辐射理论上的“光压”不是牛顿力学中的“压强”）。

为什么 Maxwell-Bartoli 公式计算的光压会那么小，该公式到底是如可推导出来的？对此疑问，作者最初查阅到英文 Wikipedia 对该式的一个现代推导（https://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_pressure）方式，基本思路是利用与热力学相同的思路将电磁波看成连续介质，使用了 Poynting 矢量 <S> （电磁场传播的功率密度）作为基本量导出的。 下面是2022年2月9日，作者从该网页直接拷贝下的此公式的推导原文

According to Maxwell's theory of electromagnetism, an electromagnetic wave carries momentum, which will be transferred to an opaque surface it strikes.

The energy flux (irradiance) of a plane wave is calculated using the Poynting vector {\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }, whose magnitude we denote by S. S divided by the speed of light is the density of the linear momentum per unit area (pressure) of the electromagnetic field. So, dimensionally, the Poynting vector is S=power/area=rate of doing work/area=ΔF/ΔtΔx/area, which is the speed of light, c=Δx/Δt, times pressure, ΔF/area. That pressure is experienced as radiation pressure on the surface:

where {\displaystyle P} is pressure (usually in Pascals),  is the incident irradiance (usually in W/m²) and  is the speed of light in vacuum. Here, 

1/c ≈ 3.34 N/GW.

译成中文就是: 

根据麦克斯韦的电磁学理论，电磁波携带动量，该动量将转移到它所撞击的不透明表面。

平面波的能量通量（辐照度）使用坡印廷矢量  ，我们用 S 表示其大小。S 除以光速是电磁场每单位面积（压强）的线性动量密度。 所以，在量纲上，坡印廷向量是

 S = 功率/面积 = 所作做功的(比)率/面积 = ΔF/ΔtΔx/面积，

即光速，c=Δx/Δt，乘以压力，ΔF/面积。该压强表现为表面上的辐射压：

           （2）

其中 P 是压强（通常以帕斯卡为单位），  是入射辐照度（通常以 W/m2 为单位），c 是真空中的光速。这里， 1/c ≈ 3.34 N/GW。

注：以上公式（2）的编号是由本博文作者为进一步引用而加上的。

以上维基百科的推导是作者见到的对辐射压最现代、最清楚的推导，完全符合 Maxwell 给出的计算，也应该是迄今最权威的。

维基百科的推导显然将其中的力 F 视为对已做光速运动物质的一种“作用力”，而不是对普通物质的作用力，因为普通物质的运动速度v = Δx/Δt 绝不可能达到光速。由于光束一定以光速传播，所以这个光束对光自身的“作用力”毫无意义。事实上电磁场理论中坡印廷矢量是用在对电磁场自身传播中的能量与动量的守恒关系的描述，并没有涉及到与其它物质的相互作用力。

了解到维基百科的推导后，作者即意识到这种推导是不合理的，考虑到此时压力作用的对象应该是普通物质，推导中使用的 Δx/△t  应该是被作用物体的速度，绝对不是光速。

经过反复推敲，根据量纲分析，发现如果采用以 米-千克-秒制（MKS ）为基础的国际单位制 (SI)，力的单位为牛顿 （Nˊ），功率的单位为瓦特 （W），那么辐射强度（即功率）<S> 用每平方米的瓦特数度量、辐射对普通物质的作用的压强 p 使用每平方米的牛顿数度量，合理的光压应该是

     （3）

(参考作者的博文（1）：辐射理论上的“光压”不是牛顿力学中的“压强”， 和博文（2）： 地面上标准太阳光压是1310帕--再论"光压" ），并将此压强称为“当量压强”。根据现代测量的太阳常数作者计算出太阳光辐射到地面的功率密度折合成的当量压强为 1310 帕，大约是地面气压的百分之一。

由于其重要性，本文将在第 II 节对以上用到的力与功率的关系作更详细的描述。

作者还从Maxwell^[6] 与 Bartoli^[7] 的原著中发现，其实那个时代人们已经知道如何将太阳光的辐射强度换算成当量压强，而且当时计算出的数值与作者得到的一致。更有趣的是两位学者恰恰使用了该当量压强的值，却将其除以无量纲的光速（叁亿）得到了 （2）式的值。Maxwell在其原著中对此解释为这是光在 “单位体积中的能量密度”。本文将指出这是对力与功率关系的错误理解。

所以， 作者认为 Maxwell-Bartoli 公式将作用力 F 所乘的因子 Δx/△t 错误地解释成光速 c，这就造成公式中出现了光速这个大分母，使得由此计算出的光压很小。

作者还曾在博文中指出，只有当被照射物体吸收了照射到它的阳光的全部能量（相当于没有反射或散射），并将之全部转化为动能，公式（3）才可能是正确的。但是由于实际的被照物体存在反射不可能将阳光全部转化成动能，该式给出的光压只是理论上的，实际上远达不到。

作者还注意到，上述维基百科的同一词条解释中的确考虑到反射作用，下面是有关内容的直接拷贝：

The above treatment for an incident wave accounts for the radiation pressure experienced by a black (totally absorbing) body. If the wave is specularly reflected, then the recoil due to the reflected wave will further contribute to the radiation pressure. In the case of a perfect reflector, this pressure will be identical to the pressure caused by the incident wave:

• {\displaystyle P_{\text{emitted}}={\frac {I_{f}}{c}}}

thus doubling the net radiation pressure on the surface:

• {\displaystyle P_{\text{net}}=P_{\text{incident}}+P_{\text{emitted}}=2{\frac {I_{f}}{c}}}

For a partially reflective surface, the second term must be multiplied by the reflectivity (also known as reflection coefficient of intensity), so that the increase is less than double. For a diffusely reflective surface, the details of the reflection and geometry must be taken into account, again resulting in an increased net radiation pressure of less than double.

其中文的意思是：

上述对入射波的处理说明了黑色（完全吸收）物体所承受的辐射压力。 如果波被镜面反射，那么反射波引起的反冲将进一步增加辐射压力。 在完美反射器的情况下，该压力将与入射波引起的压力相同：

从而使表面上的净辐射压力加倍：

      （4）

对于部分反射的表面，第二项必须乘以反射率（也称为强度反射系数），这样增加的幅度小于两倍。 对于漫反射表面，必须考虑反射和几何形状的细节，再次导致净辐射压力增加不到两倍。

注：公式 （4）的编号也是为了引用，由本博文作者自己加上的。

由此可以看出维基百科的上述结果与 Maxwell-Bartoli 公式 (1) 是完全相符的。(4) 式意味着反射作用对受压物体提供了更大的压强。根据能量守恒此时被压物体不可能收到任何能量。作者认为该式完全违背了压力与受压物体接收的能量、功率间的科学关系。

II.  推动力、静力及力的测量

对上述问题，作者认为必须深入研究力的严格定义与测量问题。众所周知：

经典力学中，作用到物体的力有两种：一种是（推或拉）动力，另一种是"静力"。此处“静力”这个词被画上引号是因为这个概念往往造成它不能做功的错觉。本节先略去这个深层次问题的讨论，暂时按照通常的理解使用此概念以解决力的测量问题。

其实人类很早就对力和能量等概念有了相当的认识，知道力可划分成静力和推 (拉) 动力，知道了力是有强度与方向的矢量，可以进行合成与分解，知道了重力并利用重力的大小发明了天平和杠杆秤用以对力的强度做度量，知道了水和液体的压强和阿基米德浮力定律，知道要用力推动一个物体就需要消耗能量，人们利用杠杆、滑轮、风帆等制作了很多有用、方便、省力的工具与机械。这些形成了人类早期有相当深度的力学知识。

随着历史的发展，从文艺复兴起，人类的认识水平有了质的飞跃，数学上创建了微积分理论，天文学由太阳系的地心说改进到日心说，在精密测量数据基础上，开普勒提出了行星运动的三个定律，为万有引力的研究打下了坚实的基础，伽利略提出了质量的概念并研究了重力下的自由落体运动。特别是牛顿（ Sir Isaac Newton），作为微积分理论的创始人之一，创建了牛顿力学三定律以及万有引力定律。牛顿，利用微分这一数学思想与工具，通过力学第二定律给出了力的精确定义

   (5)

这种力表现在受力作用的物体必须产生运动的变化，是一种推动力。（5）式也将质量、动量的概念以及与力的关系精确化。经牛顿、莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）、拉格朗日 （Joseph-Louis Lagrange）、欧拉（ Leonhard Euler）、直到19世纪的哈密顿（ Sir William Rowan Hamilton）等一系列数学、力学与物理学家的努力，力学已发展到现代分析力学的阶段。

到了20世纪，为解释光速 c 不变的问题，理论物理学家爱因斯坦 (Albert Einstein) 提出了革命性的时空观，发展出狭义相对论与广义相对论，对高速粒子的运动力学及万有引力都给出了新的理论与解释。其中， 狭义相对论将牛顿力 （5）修正为

   （6）

特别，他发现了物质质量 m 与能量 E 的等价关系

    (7)

直接按照（5）或 （6）式测量宏观物体所受到的推动力一般较困难，需要测量受力作用的物体质量、运动速度及加速度等物理量。因此，实际的测量往往要通过使用重力秤或弹簧秤对相应 "静力"的测量。这是由于一般认为推动力与静力可以相互转化，当平衡的物体失去某个支撑静力的支撑，物体就会失衡被另一部分的（原）静力推动，那部分的静力立即变成对物体的推动力。相反，被某个推动力推动的物体也可能在某时间段受到另一个与推动力相反的力作用，当两个力的强度相同时，物体由运动状态变成静止状态，此时两个力形成一对相互平衡的静力。

由于静力与推动力可以相互转换，它们自然地采用同样的度量标准。这也是人们通过静力测量推动力的依据。事实上，著名的万有引力常数即是通过扭秤的平衡静力测量得到的。

必须指出：当测量不是很大的力时，人们经常要建立一个几乎不受该力影响的具有巨大静止质量的刚性稳定平台。通常使用固定在地球坚硬地面上的刚体近似地当作这种稳定平台。利用这种测量平台对通常的测量是有效的。但是仔细追究会发现这种平台对相关的力的测量带来一些更深层次的问题。为不使目前的讨论过分复杂，下面的讨论也先暂时忽略这个重要问题。

在测量光束或气流对物体造成的压力时，一般将感应器（如弹簧秤，水银气压计，或更现代的压力传感器）固定安放在上述的静止不动的测量平台上，感应器的感应面（如弹簧秤面，水银计的与待测气体接触的水银面）始终保持着与射束垂直的方向，而且在没有受到压力时处于静止状态。从开始测试时感应面即被压力推动开始沿压力方向运动，同时感应面随即接受感应器提供的可调整大小的反向支撑力，该支撑力一般是由弹性物质或高度可变化的水银柱自动连续提供的。当反向支撑力调整到感应面成为静止不动的状态，此时支撑力与感应面受到的压力强度相同方向相反。压力感应器设有对支撑力的精确度量标准（如水银柱的高度，或弹簧秤的刻度等）。这样即可测出感应器的支撑力的强度，并由此得知射束压力的大小。

从测量开始，感应面（的物质）一定要经历一段时间的由受压运动到被支撑力平衡的运动过程。如果感应面在开始接受压力时始终不动，测量仪器则不可能测量出压力的大小。

人类感知到气压变化的机制也是如此。当气压一直稳定时，气压的感觉器官相对静止，人们感觉不到气压的存在。

不失一般性，假设传感器的反应面所受的反向弹力是弹簧秤提供的，压力与弹簧提供的弹力强度相等时弹簧必然变形到相应的程度。由此产生的一个趣味而且值得深思的事实是，如果停止光照，或终止气流，使感应面受到的压力突然消失，感应面物质会立即被弹簧反弹。为保持平衡状态，使感应面不被反弹，射束必须维持原有的入射强度，即持续地提供恒定的能量输入强度（即功率），而且如果射束提供的功率小弹簧的变形就会减小，反之，射束提供的功率大弹簧的变形会增大。因此，

这种由射束提供的压强力一定与射束的强度（功率）直接相关!

其实，分析力学早已对力与功（能量）及功率之间的关系给出了确切的描述。根据以“米-千克-秒”制（MKS）为基础的国籍单位制 ( International System of Units 或 SI )，以 1 牛顿 (N) 的力推动物体前进 1 米所做的功 (Work) 等于 1 焦耳 (J)，即

   （8）

而每秒钟恒定的 1 牛顿力所作的功，即功率 (Power)，为 1 瓦特 (W), 即

   （9）

由以上两式可立即得到

   (10)

(10) 表明每 1 牛顿的力作用在物质上，相当于输出 1 瓦特的功率。此式给出了力与其提供功率之间的定量比率关系。重要的是这个关系不依赖力是否在一段时间内保持恒定，它随时存在，不依赖被做用物体的即时运动速度。所以 （10）式表明力与功率的内在普适关系。

其实，历史上著名的马德堡半球实验恰如其分地说明了上述关系。让两组马匹分别拉着被抽真空的对合两个半球每一半，当每组马匹提供的马力 (Horsepower) 刚大于对合的两半球受到的空气压力时，两个半球即会被拉开。这个马力 (即功率) 的临界值恰恰对应于所说的空气压力。这也意味着，如果不把对合的两个半球抽真空，而是要维持两个半球对合得与抽成真空时一样紧的程度，这就需要对每个半球提供与空气压力一样强大的其它力或马力。

趣味的是，日语和汉语中都将英语单词 “horsepower" 翻译为 “马力” 而不是 “马（的）功率”，这的确是个相当智慧的翻译。不知最初的翻译者是否真正意识到了力与功率的上述密不可分的关系。

爱因斯坦给出的密不可分的质能关系 (7) 内在地表明质量与能量两个抽象概念描述的是同一个物理学与力学对象。因此力与功率的密不可分关系 (10) 也内在地表明力与功率两个抽象概念描述的是同一个物理学与力学对象。当然此对象不同于质能关系描述的对象。

简而言之：质量等价于能量，力等价于功率！

(8)、(9) 和 (10) 式也表明，对于固定不变的力，其对物体作功的大小与其作用的时间成正比。此事实往往被人们在研究“静力”时忽视！

III.   “静力”和举重运动员做的功，

早期的力学，人们只是通过物体的宏观运动，利用公式 (9) 显示功的意义。随着认识的深入，特别是本杰明·汤普森（Benjamin Thompson）1779 年在德国慕尼黑的军火库中观察到了将大炮钻孔时产生的摩擦热^[8]，该实验启发了 James Prescott Joule 在 1840 年代的研究，随后， Julius Robert von Mayer 1842 年在德国的主要物理学杂志^[9]， James Prescott Joule 于 1843 年在英国主要的物理学杂志^[10]上相互独立地独立提出热能与功等价的理论。这些研究使学术界认识到功与能量是本质相同的物理量，同样的功既可以表现为宏观物体的动能、弹性位能、引力位能，也可表现为用力推动物体运动克服摩檫力时在相互摩擦物体之间产生的热能，还体现在受“静力”力挤压 (或拉抻) 物质的缓慢塑性形变和物质内部结构微妙变化的相关能量。这些研究也使得现代力学研究几乎深入到物理学的各个方面，除分析力学，还包括热力学、统计力学 (亦称统计物理)、电动力学、结构力学和量子力学等，也深入到量子场理论描述基本粒子间的强相互作用力和弱相互作用力。除此，力学还涉及到描述化学反应中的化学动力学、... 等更广泛的研究邻域，以致学术界出现了“一般力学”的概念。既然力与力的作用那么普遍地存在，物质或物态的变化必然是永恒存在的。

所以，当给定的力作用到同一物体时不一定完全表现在该物体的力学宏观动能，而是在不同条件下会以不同形式体现出来。

以上述的压力与弹簧秤达到平衡的过程为例，在压力与弹性力没有达到平衡时，压力会使被压物体与弹簧表现出明显的宏观运动与形变，但当压力与弹性力平衡时，被压物体与弹簧似乎形成了宏观静止的状态，压力与弹性支撑力都成了“静力”。如果观察“静力”的时间短，测量不细致，静力对被挤压物质（包括弹簧及支撑平台）带来的影响往往被忽略，造成静力不做功的误判。所以，“静力”并不真正的“静”。

因为马德堡半球实验中对合的两半球受到的空气压力也是“静力”，该力形成了对对合的两个半球的挤压力，并且用同样的功率对两个半球做功，对半球带来变化！因此，为长期保存马德堡半球，不可以将两个半球对合并将内部的空气抽净。

其实，爱因斯坦的质能等价公式 （7）已对挤压带来的影响给出了极大的物理解释空间。相对于被静力作用的弹簧及支撑平台的巨大质量，有限时间内挤压力输入的能量 ΔE 对弹簧及支撑平台带来的质量变化 Δm 极其微小, 因为根据 （7）式，

     (11)

这么小的质量变化对弹簧及支撑平台整体性质的影响很小。类似，短时间内气压对抽真空的(铜制的质量大而且坚固的) 对合马德堡半球的影响也很小。

然而，忽略静力所做的功往往会在现实中造成严重的问题。

例如，对举重运动员在举起杠铃保持一段平稳不动的时间内是否在做功的判断上，不少人根据静力学认为，保持平衡的这段时间运动员没有做功，或主观认为做的功很少。这其实大大地委屈了运动员。其实拔河运动也存在类似的问题。

研究如下问题：如果将100公斤重的杠铃，用力使杠铃 在 3 秒时间内离开地面并举到2米高的位置（这里不考虑使用抓举、挺举或其它动作方式)，之后再使其稳定在2米高的位置达到 3 秒钟,  运动员至少要消耗多少卡路里的能量？

作者从未在文献中查到过令人信服的答案或计算方法，而且据悉这是存在争议的问题。

如果仅根据通常的物理知识，杠铃从地面升到 2 米高的位置，杠铃的重力位能相当于提高了 468.6 卡路里 (因为这是简单力学计算，本文略去) 。如果上述问题的答案就是如此，这显然委屈了举重运动员。 

事实上，根据力与功率的关系，仅为了支撑 100公斤重(即9800 牛顿) 的杠铃在6秒时间内不落地，运动员每秒需要消耗 234.3 卡路里（即 980 焦耳）的能量。而且在上述 6 秒钟内必须使杠铃上升到 2 米高的位置，这需要运动员多消耗 468.6 卡路里的能量。因此，

运动员在这 6 秒钟的动作中消耗的能量为 1874.4 (= 6 x 234.3 + 468.6) 卡路里        （12）

这个卡路里数稍大于普通人维持基本生活一天应消耗的卡路里数。

以上的计算完全基于力学的考虑，与是否使用人力无关。但相信该算法有助于运动医学、健康学的研究，也有助于使用人力负重的部门的合理安排。

无疑，使用结构强度高的无生命物体（如石柱、钢柱或木柱等）也可以支撑那个杠铃近似地稳定在离地的给定高度，并保持一定较长的时间。在支撑的过程中，杠铃与支撑物分别会对对方施力，消耗相应的能量，使对方发生相应的变化。由于支撑物（包括地面）与杠铃均有很强的结构，而且由于它们都是无生命的物质，它们短时间内的受挤压的变化是无法及时明显表达，也是无法自身恢复的。但是经过更长的时间，这类变化会明显地显示出来，例如相关物质材料的损毁与塑性变形造成的支撑高度降低，这特别体现在较大的固体表面的星体演化上，即使不存在外界辐射和大气流的腐蚀作用，演化的结果也是星体越来越圆。作者相信，上述的计算方法也有助于材料科学、建筑学的研究。

IV.   基于弹性碰撞的压强公式

根据力与功率的关系，现在可以清楚地看到：

在科学理论上, Maxwell-Bartoli 辐射压公式 (1) 出现根本性错误的原因，恰好就是公式推导者没有正确认识到辐射压力与辐射功率的等价关系。

认识到上述错误的原因，本文将给出合理的辐射压公式

Maxwell-Bartoli 辐射压公式也可用统计物理的方式导出，该方式最早体现在 Krönig 理想气压公式推导上^[11]，该式推导不是使用热力学的方法，而是利用统计力学的思想，将气流束看成是由巨量分子组成，将射束对物体的压强形成归结到气流的分子与被压物体表面物质的弹性碰撞。具体内容将放在本文的附录【I】。

无论使用热力学方法或使用统计力学方法，作者认为这都是合理的，而且体现了上述公式推导者的智慧。因此，在重新推导公式时要充分综合利用这些方法，以使得导出的公式更合理、公式适应的条件更清楚。

假设平行射束是由密度为常数并以常速流动的连续介质构成，当射束垂直地照射到一个原静止的由普通物质构成表面光滑、厚度与密度均匀的薄板时。射束照射到板面时，射束的质点立即与版面的被照射点的物质产生弹性碰撞，而且假设散射角均为 π（即与入射方向相反）。

当反射发生时，被照射面的同一侧同时存在入射流与反射流 （即散射流)，两种流方向相反。另一方面，根据射束是由稀疏的粒子组成，入射流与散射流互不干扰。

进一步假设入射流通过单位面积的功率密度（即能量通量）为 <Sincident>，反射流通过单位面积的功率密度为 <Sreflection>。根据弹性碰撞的性质，被照物体一定吸取入射流的部分能量，入射的功率密度应大于反射流的功率密度。

根据能量守恒定律，可以得到被压物体吸收的功率 <S_absorption> ，即

   （13）

将射束的功率反射系数 R_reflection 定义为 

    （14）

再根据压力与功率的等价关系式 (1),  由 (13) 和 (14) 式可以立即得到较合理的射束的压强公式

    （15）

这里指出 (15) 式既适合辐射束也适合理想气流束。按统计物理的的观点，电磁辐射束的物质由巨量同向运动的光子构成，理想气流束由巨量同向运动的分子构成。

严格地说,   (15) 式在定性方面对压强的描述是正确的。例如该式可以正确解释 Crookes 辐射计在光线照射下叶片转动的方向。但在定量上则存在一系列问题。

存在的问题首先表现在该式中的反射系数的定义与计算。这是因为实际的物质表面由大量相联系的分子体系构成，即使再光滑，没有任何精确的理论能保证对入射粒子的反射角全部是 π。实际上对入射束的反射是不同程度的漫反射(diffuse reflection) (参考作者的博文：“漫反射” 应该用 “自发辐射” 取代)。据悉准确测量入射束的功率已经是相当困难，这种“漫反射”流的功率显然不能准确理论计算，其准确测量更是困难。

尽管如此, 作者相信从两个粒子弹性碰撞的共性仍可对这里的射束对普通物质表面的弹性反射系数的估计提供一些重要依据。

例如，如果射束不是垂直射到物体表面，散射角必定小于 π,  此时的散射系数要大于垂直入射时的散射系数，因此受到的压强要小。如下的普通半杯式风速计与封口的半杯式风速计对比试验可以证实这一估计。因为根据上述的估计，可以断定凸半球面的反射系数最大，封口的半杯平面的反射系数居中，凹半杯的反射系数最小 (读者可思考其原因），所以在同样强度的风作用下，不封口的风速计的转速高于封口的风速计的转速，而且这两者的旋转方向一致。

图 1. 半杯式风速计

图 2. 封口的半杯式风速计

作者的实验视频

https://v.youku.com/v_show/id_XNTg3NTc0MTg0MA==.html?spm=a2hcb.profile.app.5~5!2~5~5!3~5!2~5~5~A

注：由于以上视频带有较长广告，主要部分却难打开，所以再附上放到 youtube 的同一视频

https://www.youtube.com/watch?v=emPPATb1u24

操作帆船者一般都有这样的经验，如果风力太猛了，将被风吹成凹形的帆面拉平就会使船受到的风力适当减小。这个经验的道理与上例相同。

又如，两个粒子弹性碰撞共性指出如果比值 r 或 r_o 越大，入射粒子 1 的能量散 (反) 射系数越小，其中 r = m₁/m₂, m₁ 和 m₂ 分别是入射粒子 1 与原静止的被撞粒子 2 的静止质量，而 r_o = E_1b/(m₂c²)，E_1b 则是当入射粒子 1 为光子时光子的入射能量。此共性可见于作者的以下博文：

• 博文（3)：两质点完全弹性碰撞后的反射系数及相关的动量与能量分配--再论太阳帆不应使用全反光材料 2021-11-27

• 博文 (4)：Relativistic elastic collision of two particles in 2D 2022-02-04

注：博文（4）发布后，因感觉到其重要性，经反复推敲与对照后发现了不少文字的笔误以及将计算机导出的原公式手动化简成博文中的公式时的输入错误。除了在该博文的评论中自己已指出的外，还发现该文的公式（36）式右端存在严重的输入错误，其正确的形式应该为

   （修正的博文（4）的（36）式）

由于该文的数值计算与作图都是利用正确公式进行的，所以这些笔误并不影响该文的主要内容。作者对这些笔误已作了修正。鉴于该博文的重要性，本文将修正稿作为附件[1]，附在文后。）

因此对于气流射束而言，这意味着其分子的质量越大，反射系数 R_reflection 越小， 在相同的入射强度下这种气流的压强也越高。对于光束而言，这意味着入射光子的波长越小，反射系数 R_reflection 越小， 在相同的入射强度下这种光束的压强也越高。这可以通过同样强度不同颜色的激光照射 Crookes 辐射计实验证实这一判断 (希望有条件的读者用实验证实) 。

由于在定量上，(15) 式存在问题，作者不建议使用该式算出的数据当作严格的物理量。由于 Maxwell-Bartoli 公式与 Krönig 的理想气体压强公式存在同样的问题，特别 Lebedew 等的光压实验中不包含对反 (散) 射的能量做过测量，作者严重质疑他们的实验的有效性。Lebedew 的实验只是证明了光压的存在，其实光压的存在早已被 Crookes 的实验证实。

关于 Krönig 的理想气体压强公式的问题，作者指出，现代有关的学者已认识到不能用实验证明该公式。例如本文所附的中南大学的网上 ppt 教材

wKh2D2AC-qmAFe3oADU6ABE思考题LjPg084.ppt

其中第27页有如下的思考题 (2) 与答案 

这个问题与答案反映了该教材编者的严肃科学态度。

这个问题也给作者带来思考：既然该公式无法实验检验，而且在定量与定性都存在问题，那么公式中的相关无法实验观测的微观量是如何得到的？相关的微观物理常数是否是利用压强公式通过压强测量值反推导出来的？若真如此，作者希望物理学界需要认真对待此问题了！

V   弹性碰撞与非弹性碰撞

(15) 式给出的压强公式是在射束与被压物体的相互作用是纯弹性碰撞的假设下导出的，这意味着碰撞后被压物体吸收的能量全部转化为动能。因此，这个压强应该是通过弹性碰撞被压物体所能获得的最大压强。

如果射束与被压物体的相互作用不完全是弹性的，会出现非常复杂的现象。例如，被光子撞击的粒子是容易被激发的原子，被撞击后成为激发态，或产生光电效应。又如入射的普通粒子束撞击到一个普通物体，被撞击时会发声、会分裂成多体、会震动、升温。虽然此时能量守恒与动量守恒定律仍然发挥作用，但具体分析起来就会复杂到难以想象的程度。只要看一看前面提到的博文（4）的求解即可体会到其难度。无论如何，如过碰撞中非弹性碰撞成分起重要作用，（15）式会失效，相关的讨论超出本博文的范围。

至此本博文主要部分已结束，下面是附录。

附录【1】               Maxwell-Bartoli 公式与 Krönig 的理想气体压强公式的关系

出于慎重，反复思考 Maxwell-Bartoli 公式的合理方面，作者注意到“单位体积中的能量” 这个词更早出现在统计物理学中关于理想气体压强的论述中。

著名的奥地利物理学家 Ludwig Eduard Boltzmann 1884 年在 Annalen der Physik und Chemie, Band 22, Heft 2, No. 6 发表的重要著作 Ableitung des Stefan schen Gesetzes betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie^[12] 中的第一页的内容为：

 

其中论述部分的中文为：

麦克斯韦从他的电磁光理论中推导出一束光或辐射热在垂直入射的情况下必须对单位面积施加压力，它等于以太体积单位所包含的能量作为光运动的结果。让绝对空旷的空间被绝对温度 t 的热辐射不可渗透的墙壁包围；如果我们用 ψ(t) 表示以太体积单位中包含的热辐射结果的能量，我们必须考虑并非所有热射线都垂直于受压壁。最容易将空间视为一个立方体，其边平行于三个直角坐标轴，类似于 Krönig ³⁾ 应用于气体理论的观察模式。如果假设三分之一的热辐射平行于三个坐标轴之一传播，则获得最符合平均状态的结果。那么只有总射流的三分之一会对每个侧表面产生挤压作用，壁面单位上的压力将根据麦克斯韦定律：

  （#）；

这个公式也可以通过考虑以下内容找到。如果光线垂直落在受压表面上并被它吸收，则麦克斯韦的结果为真。

----------

1) Stephan，Wien. Ber. 79. p. 391. 1879.

2) Maxwell A. Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford, Clarendon Press vol. II Artkel 792. p. 391. 1873.

3) Krönig，Grundzuge der Theorie der Gase.  Berlin bei A. W. Hain. Pogg. Ann. 99. p. 315. 1856.

 

其中 （#） 式用现代统计物理学较熟悉的符号可表示为

  (16)

u 为单位体积（如每l立方米）中的能量， p 为体积表面（每平方米）受到的压强。如果该体积的能量计中射向体积的特定方向，而不是均匀分布到三维空间的所有方向，那个方向所受到的压强自然是 （1）式的三倍，也就是

    (17)

(17）式正体现了 Maxwell 的思想。

按照 Bolzmann 的介绍，公式 （#）首次出现在1856年 A. Krönig 的论文^[7]。 作者在该论文找到了公式的推导过程

它是用德文叙述，而且使用当时的符号表示的。幸好，该式已是现代热力学与统计物理学中关于理想气体压强的基本公式，普遍使用的推导思路与过程与原文基本相，可以在许多教科书中找到。例如，中文Wikipedia： https://zh.wikipedia.org/wiki/分子运动论  （ 也可参考原英文  Wilipedia：   https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_theory_of_gases）

该词条既介绍了人类研究气压的发展历史，也介绍了公式（6）的推导过程。词条对发展历史的介绍如下：

人类早在公元前5世纪就开始思考物质的结构问题。古希腊时期著名的朴素唯物主义哲学家德谟克利特就提出，物质是由不可分的原子构成的。这种思想在数个世纪都深刻的影响着人们的世界观。17世纪科学革命以来，自然科学得到了突飞猛进的进步，特别是热力学的突破性发展，使人们重新思考物质的结构问题。皮埃尔·伽桑狄、罗伯特·胡克、伯努利等科学家的研究表明，物质的液体、固体、气体三种状态的转变是因为分子之间作用的结果，特别是气体的压力源于气体分子与器壁碰撞，从而导出了玻意耳-马略特定律。

1738年，丹尼尔·伯努利发表著作《流体力学》，为气体动力论的基础。在这一著作中，伯努利提出，气体是由大量向各个方向运动的分子组成的，分子对表面的碰撞就是气压的成因，热就是分子运动的动能。但是，伯努利的观点并没有被立即接受，部分原因是，能量守恒定律当时还没有建立，分子之间为弹性碰撞也不是那么显而易见。1744年罗蒙诺索夫第一次明确提出热现象是分子无规则运动的表现，并把机械能守恒定律应用到了分子运动的热现象中。1856年，奥古斯特·克罗尼格 （即 August Krönig） 提出了一个简单的气体动力论，他只考虑了分子的平动。^[2] 1857年，克劳修斯提出一个更复杂的气体动力论，除了分子的平动，他还考虑了分子的转动和振动。他还引入了平均自由程的概念。^[3]1859年，麦克斯韦在克劳修斯工作的基础上，提出了分子麦克斯韦速度分布率。这是物理学史上第一个统计定律。^[4] 1871年，玻尔兹曼推广了麦克斯韦的工作，提出了麦克斯韦–玻尔兹曼分布。^[5]:36-37

直到20世纪初，很多物理学家仍然认为原子只是假想，并非实在的。直到1905年爱因斯坦^[6]和1906年马利安·斯莫鲁霍夫斯基^[7]关于布朗运动的论文发表之后，物理学家才放弃此想法。他们的论文给出了分子动力论的准确预言。

该词条对公式（6）的推导介绍如下

注：该词条中引用的参考文献并没有在本文的参考文献中对应给出，有兴趣的读者需要自己查找。

该词条对上述的推导的基础明确指出如下基本假设：

·         气体由大量小粒子组成，这些小粒子称之为分子。分子之间的距离远远大于自身的大小。

·         所有分子都具有相同的质量。

·         分子数量巨大，可以进行统计处理。

·         分子做着不息的快速的随机运动。

·         分子不断彼此碰撞，或与容器器壁进行碰撞，这些碰撞都是弹性碰撞。

·         除了碰撞之外，分子之间的相互作用可以忽略。

·         气体分子平均动能只依赖于系统温度。

·         分子与容器器壁的碰撞时间远远小于两次碰撞间隔时间。

·         分子具有质量，会受到万有引力的影响。

作者注意到，热力学与统计力学均对上述的容器器壁有如下要求（参考[13])：

其一，它必须是绝热壁：绝热壁不允许它两边的物体发生任何形式 的热交换。

其二，它必须是刚性壁：刚性壁不允许物体发生位移；用刚性壁包围的固体也不可能发生形变．因此，外界对物体不可能做机械功。

总之，这些要求就是要使气提的压力不能对所作用的容器做功! 从此可看到气压公式推导的荒谬之处。

此事实也说明，现实的物质世界不可能存在”绝热壁“和”刚性壁“。

参考文献:

[1]  James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459–512 (1865).

[2]  J. C. MAXWELL, A Treatise on Electricity and Magnetism (1St ed.), Vol. 2, Oxford, 1873. 

[3] Crookes, William, (1 January 1874).  "On Attraction and Repulsion Resulting from Radiation". Philosophical Transactions of the Royal Society of London.  164 : 501–527. doi:10.1098/rstl.1874.0015. S2CID 110306977 .

[4] P. Lebedew: Untersuchen uber die druckkrafte des Lichtes, Annalen der Physik 46, 432 (1901). 

[5] A. Einstein, “Zur Theorie der Radiometerkräfte,” Z. Phys. 27 (1924), 1–6.

[6] J. C. Maxwell, Lehrbuch der Elektricitiit und des Magnetismus. Deutsch von B. Weinstein, Berlin 1883. 

[7] A. Bartoli, Ezner's Bep. d. Phys. 21. p. 198. 1884, übersetzt aus Nuovo Cimento 16. p. 195. 1883. 

[8] Benjamin Count of Rumford (1798), An inquiry concerning the source of the heat which is excited by friction, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 88 : 80–102.

[9] J. R. von Mayer, Annalen der Chemie und Pharmacie 43, 233 (1842).

[10] James Prescott Joule, On the Calorific Effects of Magneto-Electricity, and on the Mechanical Value of Heat. Philosophical Magazine. 3. 23 (154): 435–443. 1843. 

[11]  Krönig, A. (1856), "Grundzüge einer Theorie der Gas“, ,Annalen der Physik 99 (10): 315–322

[12]  Ludwig Eduard Boltzmann . Ableitung des Stefan schen Gesetzes betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, pp. 291-294 in: Annalen der Physik und Chemie, Band 22, Heft 2, No. 6, 1884

[13]  林宗涵 编著, "热 力 学 与 统 计 物 理 学", 北 京：北 京 大 学 出 版 社， ２００７．１ （北京大学物理学丛书） ＩＳＢＮ ９７８-7-301-10654-9

附件 （1）

Relativistic elastic collision of two particles in 2D .pdf

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自管克英科学网博客。
链接地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-553379-1295413.html

上一篇：Light pressure fog caused by Maxwell-Bartoli formula
下一篇：Relativistic elastic collision of two particles in 2D