设空间维数为n，则此空间中任意两个向量之间的夹角$\theta$符从一定的分布，其概率密度函数如下：

$p(theta)=frac{Gamma(frac{n}{2})}{Gamma(frac{n-1}{2})} frac{sin^{n-2}(theta)}{sqrtpi} $

对二维平面，$n=2, p(theta)=frac{1}{pi}$
对三维空间，$n=3, p(theta)=frac{1}{2}sin theta$

对于我们熟悉的二维平面与三维空间，证明很简单。对于更高维的空间，我们已经很难想象，可借助于n维球体的表面积公式加以证明。

对n维球体，设半径为R，则其体积$V_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}R^n$，相应的n-1维球面的表面积$S_{n-1}=\frac{d{V_n}}{dR}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}R^{n-1}$。设第一个向量处于某一坐标轴上，第二个向量与此坐标轴所成的角度为$\theta$，则当此角度增加$d\theta$时会在球面上切割出的一个带状区域，此带状区域的面积$\Delta S$与球总表面积$S_{n-1}$的比值即为要求的概率密度。即，

$p(theta)dtheta=frac{Delta S}{S_{n-1}}=frac{S_{n-2}(Rsintheta)Rdtheta}{S_{n-1}(R)} $

下面是二至十维和二至一百维空间的$p(\theta)$。

可以看出，任意两向量正交（即互相垂直）的概率最大，而且此概率随空间维数的增大而增大。

对我们熟悉的三维空间，$p(\theta)=\frac{1}{2}\sin \theta $稍有特殊：$\theta$满足此分布时，$\cos\theta$符从均匀分布。对$\cos\theta$的任意函数$f(\cos\theta)$，其平均值
$<f(costheta)>=int_0^pi f(costheta)p(theta)dtheta \ ={1 over 2}int_0^pi f(costheta)sintheta dtheta \ ={1 over 2}int_{-1}^1 f(costheta)dcostheta \ ={1 over 2}int_{-1}^1 f(x)dx$

这样$<cos^mtheta>={_{{1 over {m+1}},  m=2k}^{0,   m=2k+1} $ 知道这一点，在求与$\cos(\theta)$有关的平均值时就简单了许多。如半径为R的球面上任意两点之间距离$r=\sqrt{2}R\sqrt{(1-\cos\theta)}$，其平均值$<r>={4 \over 3}R$。而$<r^2>=R^2$。

2013-03-18 10:25:37

参考：
中文维基，n维球面
百度贴吧，n维空间中两个随机向量夹角的概率密度函数

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