《how to solve it》阅读分享

by Jin Ran

作者乔治 ·波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。波利亚先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读法律、语言、数学、物理和哲学，获布达佩斯大学哲学博士学位，是法国巴黎科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

《howto solve it》是由著名美国数学家和数学教育家波利亚所写的一部经久不衰的畅销书，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。

在《howto solve it》一书的开始就介绍了“怎样解题表”，它是波利亚在分解解题的思维过程得到，而且该表也是该书的精华部分，在该书的后面章节中就是对“怎样解题表”的详细解释。波利亚曾经指出：“学数学是一种乐趣！”，而在书中他提出的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要能够深刻地理解和掌握这四个步骤，并且熟练地使用，那么学生能感受到到学数学是一种乐趣。“怎样解题表”的四个解题步骤总结起来是“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，具体要求如下：

第一.你必须弄清问题。

弄清问题

未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二.找出已知数与求知数之间的联系。

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗？

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三.实行你的计划。

实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四.验算所得到的解。

回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？

你能不能把这结果或方法用于其它的问题？

在上述的“怎样解题表”的四大步骤中的第二步“拟定计划”中，波利亚把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，就好比是将寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于理解和操作。该表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？这就很形象地体现了波利亚一直推崇的探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。

《howto solve it》书中的内容分为四部分，第一章，在教室中；第二章，怎样解题 一段对话；第三章，探索法小词典；第四章，问题，提示，解答。

第一章分为“目的”和“主要部分，主要问题”两部分。教师的目的是要帮助学生解决问题，波利亚：“教室最重要的认为就是帮助学生”，“教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且能提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。”那么教师应该怎样帮助学生？第一，教师要以发展的眼光看待学生之间的差异。有人的地方就有差异，因此我们必须承认差异的存在。对于个体差异，作为老师要能注意到其潜能的一些特点。比如有人以言语见长；有的却以动作技能超凡；有的惯于形象思维；而有的抽象思维占优势。所以对于有差异的个体，既要发现他们潜能的优势，也要考虑如何帮助他们扬长避短，以点带面，最终获得全面发展。第二，帮助学生树立自信心。要乐于给予学生他们需要或渴望的额外的帮助，还要认真检查、监督学生的学习。第三，教学相长，和谐师生关系。教师要树立以学生为本，以学生的发展为本的教育理念。教师教学的最终目的是为了学生的发展。第四，让不同的人在数学上得到不同的发展，特别是使学习困难的学生化被动为主动学习。教师要对每一位学生进行鼓励，鼓励大家认真思考，并鼓励他们积极发言，说出自己的想法，久而久之，逐步学会思考、学会不懂多问、主动探求知识。“主要部分，主要问题”两部分主要讲解了“怎样解题表”，不同的方法与好问题和坏的问题等方面的内容。举个例子，一个作图题。

在给定三角形中作一个正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的另两边上。

“未知的是什么?”

“一个正方形”

“已如数据是什么?”

“一个给定的三角形，其它没有。”

“条件是什么?”

“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一个。”

“是否可能满足条件?”

“我想如此，但不太有把握。”

“看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?”

“你说部分条件是什么意思?”

“你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点?”

“四个。”

“所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去其余部分。什么样的部分条件容易满足?”

“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是容易画出来的!”

“画张图!”  

学生画出图2。

图2

“你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了什么程度?”

“如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。”

“好!画张图。”

学生画出图3。

“正如你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢?”

图3

“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的地方。正如你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样，它怎样变化?”

……

“如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来像是什么?它将怎样变化?  

教师已把学生带到非常接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角的轨迹是一条直线，他就得到这个主意了。

第二章，怎样解题——一段对话。在解题的过程中要做到四个步骤。第一，熟悉问题。暂时先抛开细节，观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明，并把问题的目标牢记在脑海中。第二，深入理解问题。先把问题的主要部分剖析出来。再把问题中的主要部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑，同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。第三，．探索有益的方法。从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它。试着在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释。并从你现有知识中找出与问题有关之处，最终根据自己已有的知识经验探索出有益于解题的方法和思维。第四，实现计划和回顾。详细地进行你以前认为可行的全部代数或几何运算，之后，对解题的每个细节进行回顾反思，总结你解题的方法，尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题。总结所得结果并试着把它用于其他的问题。

第三章"探索法小词典"和第四章"问题，提示，解答"的内容都是用具体的数学例子来讲解类比法，探索法，归纳与数学归纳法，归谬法与间接证明，代公式法等数学方法，并利用一些数学家如卡迪尔等的思想结合数学例子，按照“怎样解题表”的步骤和方法来进行讲解，在其中也提到了教师如何进行教学，如何提问让学生产生兴趣，引导思维。同时，用了大量的例子，运用“怎样解题表”来讲解问题，提示，解答三个步骤如何实现。

《how to solveit》不仅适合教师看，还适合学生看。在书中主要主阐述了教师在数学教学过程中的能用到的一些方法和技巧，就比如说学生的学习过程中老师应该帮助学生解决问题，并且尽可能多的做到让学生独立的完成任务，而教师起到的只是辅助的作用。教师在帮助学生解决问题的时候，要注意知识点与知识点之间的联系，以及问问题的方法。例如，苦学生遇到某种相同的知识点，教师可以应用不同的问法来启发学生思维来达到相同的目的，而且还要注意向学生示范如何从一个刚刚解决的问题引出新问题。另外，学生从中可以学习到如何来解决题，不仅是数学题，也可能是物理、化学等学科的题目，从中来提高自己的解决问题的能力和养成良好的思维习惯。

波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种很好的思维方法,告诉了我们一个寻找解题思路的过程,使我们可以顺藤摸瓜地解答较难的题目。同时，我们也清楚在解决问题的时候，首先要弄清问题，只有清楚求的是什么，才知道寻求怎样的解决方案。不仅是在解决数学上的问题，或是其他学科上的难题的时候需要这样做，在面对我们生活中或是工作上的问题的时候也还是需要有同样的解决方法。因此，无论作为学生，还是教师，或是从事其他行业的人都可以从中受益匪浅，提高自己的思维能力和改善解决问题的思维方式。