如何构造光棍数金字塔

博文“关于光棍数的有趣数学题”在我的博客中贴出之后，有一位网友跟帖说：

“1×9+2=11

     12×9+3=111

     123×9+4=1111

     1234×9+5=11111

     ..............................

     123456789×9+10=11111111111

   能解释这个规律才是真正的光棍。”

数学游戏中的这类趣味题，叫做“数字宝塔”、“算术宝塔”、“自然数宝塔”，或者叫做“数字金字塔”、“自然数金字塔”。整数一层一层呈现规律性地重叠，从底层到高层宽度逐渐缩小，形状如建筑上的宝塔或者埃及金字塔，让人看着很是奇妙，数学上的趣味和美感由此产生。一些数学爱好者构造了很多数字金字塔，作为数论中的娱乐内容（可参见贝勒著、谈祥柏译的《数论妙趣-数学女王的盛情款待》第8章，上海教育出版社1998年版）。

其实，数字金字塔的构造是任意的，它的基本道理就是：总能找到一个整数，通过四则运算后，去整除另外一个整数。其推论就是，某个非光棍数经过有限的四则运算，总能变成光棍数。

例如，在“关于光棍数的有趣数学题”中，第（9）题为证明：总能找到一个光棍数，能被非光棍数123456789（或者这9个数字任意组成的非光棍数）整除。因为整数除以123456789的余数是只能是从0、1、2、...、123456788中的某个数，根据抽屉原理，连续123456789个光棍数中，肯定有一个光棍数能被123456789整除。同理，如光棍数不能被某个整数整除，我们可以减去余数或者补足余数。

因此，只要你愿意，可以构造很多的数字金字塔，构造技巧的优美程度决定了数字金字塔的巧妙程度。光棍数金字塔只不过是数字金字塔中的一个特例而已。整数平方数（形如ab、aab、aaab），数字9，叠数字自然数（类似1...1为叠一数，2...2为叠二数，3...3为叠三数，...，9...9为叠九数）等等，都是构造数字金字塔的好材料。

需要特别注意的是，有一部分数字金字塔只能构造到九层，因为在十进制中，超过了九层往往就会产生进位或者退位，会破坏原有的数字规律。

   下面是一些光棍数金字塔的构造，只需要用到小学和初中的整数四则运算知识。  

 （1）光棍数平方金字塔

  这里未排版成宝塔模式了，下同。

  1×1＝1

  11×11＝121

  111×111＝12321

  1111×1111＝1234321

  11111×11111＝12345321

  111111×111111＝12345654321

  1111111×1111111＝1234567654321

  11111111×11111111＝123456787654321

  111111111×111111111＝12345678987654321

  1111111111×1111111111＝1234567900987654321

  这是“关于光棍数的有趣数学题”第1题的答案。

 （2）用乘方和加法构造偶位光棍数金字塔

  3×3+2＝11

  33×33+22＝1111

  333×333+222＝111111

  3333×3333+2222＝11111111

  33333×33333+22222＝1111111111

  333333×333333+222222＝111111111111

  3333333×3333333+2222222＝11111111111111

  33333333×33333333+22222222＝1111111111111111

  333333333×333333333+222222222＝111111111111111111

 此式可用作“关于光棍数的有趣数学题”第6题偶数位光棍数因式分解的提示。

 （3）用乘方、减法构造偶位光棍数金字塔

 4×4 -5= 11

 34×34-45 = 1111

 334×334 -445= 111111

 3334×3334 -4445=11 111111

 ......

 （4）用乘方、减法和除法构造偶位光棍数金字塔

 （7×7-8）÷4 = 11

 （67×67-48 ）÷4=1111

 （667×667 -448）÷4= 111111

 （6667×6667 -4448）÷4=11 111111

......

 （5）用乘法、加法构造偶位光棍数金字塔与某个数的乘积

 9×9+7=8×11

 98×9+6=8×111

 987×9+5=8×1111

 9876×9+4=8×11111

 98765×9+3=8×111111

 987654×9+2=8×1111111

 9876543×9+1=8×11111111

 98765432×9+0=8×11 1111111

（6）用乘法、减法构造偶位光棍数金字塔与某个数的乘积

  1×37-4 = 3×11

  91×37-34 = 3×1111

  9901×3367-3334 = 3×11111111

  999001×333667-333334 = 3×111111111111

  99990001×33336667 -33333334= 3×1111111111111111

 ......

 （7）用相邻两数平方差构造光棍数金字塔

  6^2-5^2=11

  56^2-55^2=111

  556^2-5555^2=1111

  5556^2-55555^2=11111

  ......

 （8）满足勾股定理的光棍数

60^2+11^2=61^2

   6160^2+111^2=6161^2

   61760^2+1111^2=61761^2

   61727160^2+11111^2=61727161^2

6172827160^2+111111^2=6172827161^2

617283827160^2+1111111^2=617283827161^2

61728393827160^2+11111111^2=61728393827161^2

6172839493827160^2+111111111^2=6172839493827161^2

  （9）构造九位光棍数倍数金字塔

  12345679×9=111111111

  1122334455667789×99=111111111111111111

  111222333444555666777889×999=111111111111111111111111111

  ......

  1..12...23...34...45...56...67...78..89×9...9=111111111...111111111

（式中乘号左边9个1、9个2、.....、8个8、1个9；乘号右边9个9；等号右边81个1）

 此数是“关于光棍数的有趣数学题”第5题的答案。

 （10）偶位光棍数的平方根金字塔

  除了1之外的所有光棍数都不是平方数（此结论可用作“关于光棍数的有趣数学题”第8题的答案提示），因此对这些光棍数进行开平方处理会得到无理数，我们不妨取运算结果的近似值。

  11的平方根约等于3.3167

  1111的平方根约等于33.33167

  111111的平方根约等于333.333167

  11111111的平方根约等于3333.3333167

  1111111111的平方根约等于33333.33333167

  ......

 （11）一道构造练习题

  本文的最后，留下一道题目，供大家参与构造数字金字塔（可进一步转化为光棍数金字塔）。

 7921=

 790321=

 79014321=

 7901254321=

 790123654321=

 79012347654321=

 7901234587654321=

 790123456987654321=