关于光棍数的有趣数学题

中国特有的娱乐性节日—大光棍节正在来临。每年的1月1日、1月11日和11月1日、11月11日分别被年轻人称为小光棍节、中光棍节和大光棍节，各种商业性和娱乐性活动将陆续展开。

作为数学爱好者，在中国我们可以把全部由阿拉伯数字1构成（即形如11...1）的十进位制自然数，定义为“光棍数”（英文叫“repunit number”，可翻译为“叠一数”），除光棍数外的其他非零自然数可定义为“非光棍数”。例如，1、11、11111都是光棍数。1是一位光棍数，11是二位光棍数，1111是四位光棍数。1112是非光棍数。

1是第一个光棍数，是0的后继数，是自然数产生的基础。按照老子的说法，道生一，一生二，二生三，三生万物。1是单位数。1的任何次方都是1。任何必然发生事件的概率都是1。

11是第二个光棍数，是自然数中的第5个质数，它的倒数的循环周期为2。11的平方（121）、三次方（1331）和四次方（14641）与两项代数式的平方、三次方和四次方的系数一致。

111是第三个光棍数。111不是质数，能被3和37整除，所以3、6、...27乘以37都能快速得到结果，分别为111、222、...、999。由1和质数组成的最小幻方（31,73,7；13，37，61；67,1,43）的幻和为111。由自然数1到36组成的六阶幻方中，幻和也是111。

1111是第四个光棍数，是最不像光棍的数，因为它看起来更像两个人使用的两双筷子。1111不是质数，是最小的二位数质数11与最小的三位数质数101的乘积。

所有的光棍数都是回文数。任何光棍数都是可以表示为相邻两个自然数平方之差。除11外的其他偶位光棍数都不是质数。随着光棍数位增加，质数越来越少，万位光棍数以内，只有两位、十九位、二十三位、三百一十七位、一千零三十一位光棍数是质数。

以下是笔者收罗或者改编的一些关于光棍数的数学题，分享给大家，以撩起大家对数学的兴趣。特别地，如有光棍在光棍节里无人作陪，而是通过解答这些光棍数的趣味题打发时光，在不知不觉中度过晚上11点11分，也是一种选择。

   （1）计算：n（n小于等于10）位光棍数的平方后得到的非光棍数。例如，二位光棍数11的平方=121。

（2）计算：求1+11^11+111^111+...+1111111111^1111111111的后两位数字（^表示乘方）。

（3）计算：2014年11月1日是星期六，过111^111天是星期几？2014年11月11日是星期二，过1111^1111天是星期几？

（4）计算：20141111是一个非光棍数。如何将若干个光棍数，只通过加减乘除和括号进行四则运算，变成20141111。当然希望所用的光棍数越少越好。例如，3=1+1+1，用了3个光棍数；121=11×11，用了2个光棍数。

（5）计算：999999999乘上一个最小的非光棍数，可以变成光棍数。求这个最小的非光棍数。

   （6）计算：对从二位光棍数到十位光棍数的9个光棍数进行质因数分解。

   （7）计算：要使形如20142014...2014的非光棍数能被两位光棍数整除，2014的个数最少是多少？

   （8）证明：有n位光棍数盏灯，从左到右排成一横行。我们给电灯编上号码1，2，3，…，（n-1）位光棍数，…，n位光棍数。每一盏灯有一个拉线开关控制着。最初，电灯全是关着的。另外，还有n位光棍数个学生。第一个学生走过来，把凡是号码是1的倍数的电灯开关拉了一下；接着第二个学生走了过来，把编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；第三个人再走过来，把号码凡是3的倍数电灯的开关拉了一下，如此类推，最后那个学生走了过来，把编号能被n位光棍数整除的电灯开关拉了一下。证明在这样做过之后，除编号为1的灯外，没有一盏编号为光棍数的灯是亮着的。

   （9）证明：总能找到一个光棍数，能被非光棍数123456789（或者这9个数字任意组成的非光棍数）整除。

   （10）判定：有光棍数个完全相同的齿轮，齿轮一个挨一个相互啮合，直到第一个齿轮和第光棍数个齿轮啮合，成为闭合的光棍数齿轮系统。请问，这个齿轮系统能否正常工作？

（11）判定：如果已知一位光棍数的线段长度，能否用尺规作图可以做出一条线段，长度等于若干个光棍数的平方根与若干个光棍数进行加减乘除四则运算后的绝对值。如不能，说明理由；如能，举例给出二位光棍数平方根与二位光棍数的比值的一种作图方法。

    （12）判定：能否将1,1,2,2,3,3，...，n位光棍数、n位光棍数这2倍n位光棍数个自然数排成一行，使两个1之间夹一个数，使两个2之间夹两个数，...，使两个n位光棍数之间夹n位光棍数个数？

（13）游戏：有一堆小石子，数量为n位光棍数颗。甲乙两个人轮番从这堆石子中取出石子，要求每人每次取出的石子颗数都少于某个m位光棍数（m小于n），直到取完为止。最后无石子可取者为负。问甲乙两人中，谁有必胜策略，为什么？

   （14）操作：将从1到121的121个自然数依顺序放入11×11的方格中，使得每格恰好一个数。对相邻格的两个数加上或者减去一个相同的数，称为一次操作。请问，能否经过有限次操作，使得每格的数都变成（1）全都是相同的光棍数；（2）可以是不同的光棍数。如不能，说出理由；如能，写出一种操作方法。

（15）猜想：数学家高斯能用尺规作图法，做出正十七边形，但不能做出正十一边形。最聪明的数学家不能用尺规作图法，做出所有边数为光棍数的正多边形。

抱歉，我这里没有抄录现成答案或者给出改编题的答案。前面14道题目属于相对比较简单的初等数学题，只是繁简程度不同，相信各位能解答。最后一道猜想题，我也没有解题思路。