《龙门镖局》中的数学与趣味说数之3

《龙门镖局》中的数学：这一集里，作者更是故弄玄虚了。作者给出了一个角的余切，却没有给出这个角的大小。有人猜测图中有暗示，阳光射到地面的角度为30度，30度角的余切为根号3，再平方之后就是3。

按照三角函数的定义和特殊直角三角形的性质，45度角和30度角的的正弦余弦、正切余切的大小都比较容易得到。

例如，有45度角的直角三角形，两直角边和斜边长度的比例关系为1：1：根号2；有30度角的直角三角形，两直角边和斜边长度的比例关系为1：根号3：2（可有等边三角形和勾股定理得到，这里省略几何图了）。

   下面是我对数字3的趣说：3 是三角数

（一）三是成功的基础

在中国汉语中，“三”通常代表一种成功的必要条件，也就是事物发展的最基本要求。

例如，在《道德经》中有“道生一，一生二，二生三，三生万物”；过了三之后，事物的演变与生物的繁衍会明显加快。

《庄子·齐物论》中有“天地与我并生，而万物与我为一”，天地人构成了整个宇宙运转的基础。

“三思而后行”，说的是一个人至少三次才能保证思考的周全。

“三人行，必有我师焉”，人群中少于三个人就不一定能找到自己的老师。

“吾日三省吾身”，一个人至少早中晚都要自我评价一次自己的言行。

“三足鼎立”，三是稳定支撑结构的最少支点。

三个字组成最短的有完整意义的句子。

《三字经》是字数最少的韵文。

大禹三过家门而不入，竭尽全力治水成功。

孙悟空三打白骨精，完成英雄除妖的壮举。

刘备三顾茅庐，成就一个军师美名。

新官上任三把火，标志着一个全新的开端。

“事不过三”，三次是一个人耐心的极限。

（二）3是三角数

在数学上，经过1、2后的自然数就是3。

3是第一个奇素数，从此之后所有的素数都是奇数。

用最少的直线构成的第一个封闭几何图形是三角形。掌握三角形的性质，必须掌握三角形的3个基本定理：三角形的两边边长之和大于第三边边长；三角形的内角和为180度（如果在球面上画一个三角性或者在马鞍形面上画一个三角形，三角形的内角和就会大于或者小于180度）；周长一定的三角形中以等边三角形的面积最大。

对于直角三角形，中国古老的数学书《周髀算经》最早记载了“勾三股四弦五”的几何事实；据说古印度人也用3、4、5这组数来构造直角，这都不过是直角三角形的一个特列。而发现直角三角形的一般性质“直角三角形的斜边的平方，等于两条直角边的平方和”的，则是古希腊的毕达哥拉斯。

有时候，3会变成一个难题。把1分成3等分，就出现了循环小数；用尺规作图法把一个角3等分被证明为不可能。

3还是一个三角数。三角数把几何和算术紧密联系起来。

所谓三角数，就是从1开始的任意个连续自然数之后，如图所示，数数这个图形中的红点数，第1个三角数是，第2个三角数就是1＋2，第三个三角数是6。

三角数构成三角数列1，3，6，10，15，21，28，……，153，……，666，……5050，……。这里列出的28、153、666、5050等数，今后还会遇到。

三角数列是一个二阶等差数列，因为数列中后一个数与前一个数列的差为一个差为1的自然数列。

（三）更多的几何形数

除三角数列外，还有更多的多边形数，例如正方形数、五边形数、六边形数。

正方形数列1，4，9，16……（第n个正方形数就是n的平方）。

五边形数列1，5，12，22……（第n个五边形数就是第n-1个三角数的3倍再加上n），等等。

那么，六边形数列前5个数和通项该如何表达，留待以后继续探索吧。