☆ 基本理念

注重以知识体系研究为基础，以此驱动教学研究与实践，驱动科学与技术研究。知识体系研究注重澄清知识体系的总体架构与脉络发展，基本的思想与方法。就此，教学研究与实践以知识体系自身及其传播的研究为基础，是独立于一般科学与技术研究的学术形式。

在保证教学成效的基础上，尽量追求课程所授知识体系（思想与方法）的广度与深度可类比国内外具有一流水平的教程或专著，以此追求教学的“一流化水平”。

☆ 数理观点

   数学及其协同于力学等专业数理知识体系为认知自然与非自然世界提供了系统的思想与方法，可成为认知世界的一种方式与方法/世界观。就此，讲授数理课程应该充分地展现其相关思想与方法在认知世界中的作为。让学生清晰地认识到学习这门课程的意义——这门课程为我们认识什么样的事物提供了什么样的思想与方法。按这样的思路开展教学，也有助于学生实现知识至能力的升华。

   按数理观点，在数理课程的教学中，需要深入研究知识体系，尽量选择或构建能充分联系或者揭示自然或事物本质的分析过程以及结论形式。

☆ 体系研究

   知识点与知识要素  以“知识点”分解“知识体系”，知识点为具有一定独立性的知识（思想与方法）的集合。每一知识点再由若干“知识要素”组成，“知识要素”为特定的数学结构或者特定的处理思想与方法。

   数学通识与相似结构  值得指出，隶属同一知识体系甚至不同知识体系的知识点可能包含相同的知识要素，称为“数学通识”。此外，知识体系之间亦可能存在“相似结构”，如一元微分学、高维微分学、一般赋范线性空间上微分学具有高度相似的知识点构成，如点列极限、映照极限、映照可微性、无限小增量公式、有限增量公式、逆映照定理与隐映照定理，主要结论的分析思想与方法具有高度的统一性。

   数学通识与相似结构可为实现“同一知识体系之内的融会贯通”、“不同知识体系之间的触类旁通”提供一种高成效的途径。值得指出，数学通识亦可服务于不同课程之间的衔接。

☆ 讲授方式

   复杂分析过程的要义分解  对于数理方面的课程，学生感到困难以至于“跟不上”的主要原因在于课堂上被一些推导或者结论“卡住”，往往自己还在思考，教师已经涉及后续内容。就此可考虑“将复杂分析过程分解为若干要义”，“要义”包括：①分析的总体思想与方法，②分析涉及的基础性结论，③分析涉及的特定概念与技巧。讲授时，首先澄清各个要义，然后再进行整体性的分析。对于复杂分析过程进行要义分解，亦表现了对复杂事物的认识过程与认知程度，需要尽量做到“正本清源”，揭示事物的本质。

   如此处理，具有如下益处：①可以有效降低学生对于复杂分析过程整体性与局部性理解上的困难，提高听课的流畅性，保持学习兴趣。②有些要义为基础性结论，就此再做澄清可起到“温故而知新”的效用。对于复杂事物，往往第一遍难以理解，但第二、第三遍就能迅速提升理解的程度。课程讲授也需要恰如其分地回顾已有的内容，不仅能“承上启下”，而且需要时再做回顾可以有效地帮助学生提高认识程度，提高学生听课的流畅性。

值得指出，微积分等数理知识体系的基本思想与方法，往往蕴含于分析过程，而非具体的结论；不同的分析过程往往也会导致不尽相同的结果。就此，数理课程需要细致剖析相关复杂分析，基于要义分解提升学生的理解程度。

   面对复旦大学等的本科生，应该注重向其传授基本的思想与方法，培养其具有理论联系实际的能力；而不能停留于“依葫芦画瓢”式的做题，主要为了应付考试。学习一门知识体系，如不能利用其思想与方法以认识世界、应用于生产与实践，那还有什么意义？

   图示化研究  我们对于图形有着与生俱来的亲和性与认同感。由此，非常值得进行知识体系的图示化研究，可以包括：①概念的图示化。如高维微积分中，点列极限、映照极限以及向量值映照可微性的图示化。②分析过程的图示化。我们将复杂分析过程进行要义分解，而对于要义的澄清可充分基于图示化澄清或揭示相关处理的“实质”；当然对于一般的分析过程也可以充分利用图示表现“到底是怎么回事”。看书时往往会迷惑于某句话、某一结构或者某种作法，对此往往可以在教学中通过图示澄清缘由，由此可有效地提升学生对基本思想与方法的学习效率，也让其感受到认真听讲的意义。③知识体系架构的图示化。指基于框图表示知识体系的知识点及其知识要素，就此可清晰呈现整个知识体系的脉络，包括数学通识。学生进行阶段性或者期末总结时可以利用知识体系架构既进行“查漏补缺”，亦建立总体性的认识。

   值得指出，数理课程教学上，可基于板书充分地进行概念与分析过程的图示化阐述，不仅可以使得课程讲授生动、清晰而避免乏味的照本宣科，而且可以深入地揭示事物的本质。

   授课剧本 虽然现在讲授微积分、张量分析、连续介质有限变形理论，已基本可以做到脱稿进行系统性的讲授（包括对细节的阐述），但如果课前能够进行充分的“剧本化备课”，包括精细设计好讲授的次序，图示的安排等，课堂讲授就会显得更为流畅，更另人满意。就此，每次上课都进行“剧本化备课”可以有效地提高课堂讲授效果。

☆ 网络资源

   现今迅速发展的网络技术为教学带来了新的形式，由此也可能将引发原有教学形式的革新。现主要有课程网 站、慕课/MOOC二类形式。相比而言，课程网站可更侧重于知识体系的传播，而慕课则更侧重于线上教学。

   课程网站  相对于传统教学形式，可以建设课程网站甚至课程体系网站，在网站上发布的课程讲稿、教学视频，对此可按知识点或者知识要素为单位进行文件分割，以供学生课前预习与课后复习。

   慕课/MOOC  基于课程网站的基本要素（包括课程讲稿、教学视频）可以基础性地建设慕课。基于慕课的网络技术，可以实时地为教师提供学生使用网络资源的信息，包括学习情况的评估等。另一方面，慕课注重“翻转教学”，主要包括二个环节：①基于合理编排的课程讲稿、教学视频，学生首先进行自我学习。②基于自我学习的基础，在师生见面课上学生间、师生间进行研讨等。这一点区别于传统的教学方式——学生在定时定点的课堂上听取教师讲课，事实上只有少数学生会进行课前预习，就此很大程度上制约了课堂讲授的成效。慕课希望将学生的“被动式学习”转化为“主动式学习”，强调学生自我学习的环节。

   值得指出，尽管不同的课程应该有不尽相同的“翻转程度”，然而促进学生“主动学习”是非常有效且有意义的教学理念与措施。对于微积分等数理课程也值得研究翻转程度及翻转内容，特别对于学时有限的情况。