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2014年8月全国MMM会议——纪念我国理性力学先驱之一的郭仲衡先生

已有 4902 次阅读 2014-8-21 11:08 |系统分类:观点评述

2014年8月17-20日在湖南省张家界召开“第十四届现代数学和力学学术会议”，会议专门组织了纪念郭仲衡先生的专题报告会及纪念座谈。

自己应该在1993年第一次看到郭先生的《张量》，就被此书著所载的高深学问所吸引，爱不释手一直研习至今；93年自己大学二年级，很不幸的是郭先生也在当年离世。后来，也接触到郭先生的另一本专著《非线性弹性力学》，所载有限变形理论的系统阐述。

自己自92年大学入学，05年博士毕业后留校任教，所有的学术都离不开郭先生的张量分析以及有限变形理论知识体系，也包括自己任教近十年一直致力于传播郭先生的学问。出于对郭仲衡先生诚挚的敬意，自己在此次MMM会议纪念郭仲衡先生纪念座谈会上进行了一个发言《研习、继承、发展、传播郭仲衡先生相关学问的现有体会》，附PPT如下。

2014年也将由复旦出版社出版自己的著述《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》。本书共 6 部分 , 各部分含若干章 , 共计 27 章.

第一部分张量定义及其代数性质. 按多重线性函数定义张量; 特别强调了外积运算及其应用. 按现已出版的国内学者论述的张量分析, 似乎仅郭仲衡先生的书较为系统的论述外积 . 就此方面, 在自己多年研习的基础上, 归类了置换算子的基本性质, 非常简单 ( 课上讲述 , 学生当场就懂 ), 但所有相关运算总是万变不离其中. 基于置换算子的基本性质, 自然可得反称化算子的基本性质, 进一步可得外积, 外微分的基本性质, 实质都是置换. 郭先生就外积运算发表有二篇论文, 一篇关于仿射量的行列式, 收录在其《张量》中; 另一篇关于多项式理论中的Newton 公式. 为叙述完整, 为传播郭先生的学问, 相关结论及推导都收录在自己的书中 (Newton 公式就写法上同本书的处理风格一致). 类比于微分几何方面的著述, 郭先生有关外积及其应用的叙述, 自己觉得是最好的; 进一步提取置换算子的基本性质, 确能有效地促进对外积运算的理解和掌握, 本书中就一些重要结论的推导就是直接对张量进行操作而无需引入自变量. 另也收录了陈省身先生书著的相关结论, 以期充分体现外积的作为.

第二部分有限维 Euclid 空间中体积上张量场场论. 基于微积分中微分同胚的概念阐述曲线坐标系 , 郭先生的一篇论文中写道”…曲线坐标系( 微分同胚 ) …” , 当时自己已认识到这点 , 看到郭先生的观点也是这样 , 当时的感觉令人难忘 . 北大张筑生的《数学分析新讲》不仅多元微分学是以向量值映照为基本对象而建立的 , 并且较多地阐述了微分同胚及其应用; 而国内其它微积分教程似乎都不强调微分同胚 , 尽管微分同胚也是建立流形上微积分的最为核心的基础 . 就此部分的阐述, 充分利用了以向量值映照为基本对象的多元微分学, 藉此曲线坐标系, 局部基及其运动方程, 以致张量场整体沿坐标线的偏导数/变化率都能阐述得相当清新且自然. 当然按极限观点定义并澄清张量场整体沿坐标线的偏导数需要引入张量范数的概念, 但这其实并不难以理解及处理. 基于张量场整体沿坐标线的偏导数, 自然可引入形式意义上的nabla算子 , 以此各种微分算子仅需通过nabla 算子形式定义下就可. 本书就张量场梯度的理解是张量场可微性定义中微分的具体表达式; 张量分量的协变导数是张量场整体沿坐标线偏导数的具体计算结果. 就场论恒等式的推导, 自己是学习吴望一先生所著《流体力学》中关于 Cartesian 指标运算而学会的 ,但自己现在按(俄)谢多夫院士《连续介质力学》的特点, 亦即所有的场论恒等式都按一般曲线坐标系下的场论运算获得. 理由是, 张量分析不仅在于推导公式, 而且在于利用曲线坐标系自身诱导的局部基来展开连续介质力学中的各种方程 . 由于这些方程都是参数域中的PDE, 故我们可能通过物理区域与参数区域之间的微分同胚/曲线坐标系而获得几何形态规则的参数区域, 这将有益于理论及数值上的分析, 其实这也是微分流形理论的基本观点, 亦即局部欧氏化; 另一方面基于局部基展开守恒律方程也有益于建立力学与几何之间的关系, 一般而言曲线坐标系已包含运动区域的所有几何信息. 此部分内容也包括一般微分几何中曲线论的基本结果, 而且阐述上注重为力学相关应用提供思想及方法 .

第三部分有限维 Euclid 空间中曲面上张量场场论. 按向量值映照的特点, 微分同胚是自变量与因变量具有相同维数的一种向量值映照, 而曲面是自变量维数比因变量维数低一维的向量值映照. 利用曲面对应的向量值映照的特点, 我们引入局部基, 切空间 / 切向量, 法向量. 同样地, 基于向量值映照的微分学, 按极限观点定义并研究局部基沿曲面坐标系的偏导数(亦即标架运动方程), 曲面上张量场沿曲面坐标系的偏导数, 以此可定义曲面上 nabla 算子, 再定义曲面上各种微分算子. 曲面的上述处理过程同体积形态的处理过程基本一致, 但注重体现曲面的特点, 教学上也体现温故而知新的效果. 在定义曲面第一基本量(对应一个对称正定阵), 第二基本量(对应一个对称阵)后, 按线性代数中同时对角化的结论, 给出 Gauss 曲率及平均曲率. 然后, 通过Gauss映照展现Gauss曲率的几何意义; 然而, 平均曲率的意义则更多地反映在相关力学过程之中, 如薄膜表面张力, 薄膜变形运动时其厚度/面密度的时空演化等(相关内容在第五部分进行细致阐述). 按张量场整体沿曲面坐标系可交换次序的结论(类比于微积分中多元函数的混合偏导数可以交换次序的结论), 引出Riemann-Christoffel 张量及其性质 ,Ricci 定理 , Guass-Codazzi方程等. 另基于同时对角化的实际过程, 理解并澄清切空间中的主方向, 主法截线及其曲率; 澄清曲面局部参数化的相关结果. 这部分基本包括了微分几何中有关曲面论的基本内容, 但我们更突出曲面上张量场场论. 郭先生所著《张量》, 虽未大张旗鼓地引入微分流形(流形上微积分) 的相关思想及方法 , 但很多处理及结果只要改换下门庭就是流形上微积分的基本思想, 方法及结果 , 但郭先生书著的前言中也表明因未能纳入流形上的 Stokes 公式而感到遗憾. 听过黄筑平先生的报告, 如果仅知道应力张量与应变张量之间存在关系而具体形式不知, 就此可归为方程 f(T, E)=0,如果此约束方程是一维的, 则这上述关系就可一般性地理解为 18 维 Euclid 空间中的 (17 维 ) 曲面的隐式表达式. 微积分中学习过 3 维 Euclid 空间 2 维曲面的隐式表达, 而对现问题的理解及处理则需要流形上的微积分. 本书按这样的追求, 阐述了流形上微积分的基本思想, 方法及结论. 可能有别于数学专业对微分流形知识体系的认识要求, 我们更需要侧重相关思想, 方法及结论能有效地处理高维 Euclid 空间中任意维数的微分流形上的微分学及积分学. 值得指出 , 相对于一般微分流形的教程, 郭先生的书就微分学部分的处理仍是最出生的. 本书融合了郭先生的书以及 ( 俄 ) 杜布洛文, 富明柯, 诺维科夫的《现代几何学方法及应用》的相关处理, 框架性给出流形上微积分的基本思想及方法. 《现代几何学方法及应用》按其前言是为莫斯科大学力学专业提供几何学方面的思想及方法, 体现了现代几何学与力学及物理学之间广泛且深刻的关联 , 此书三大卷可谓相关方面的代表性著作或教程, 武际可先生曾经推崇此书. 就微分学中 Lie 导数的定义及分析 , 自己融合了郭与杜布洛文等的处理, 郭给出了力学上适合的张量整体形式的极限定义, 杜布洛文则给出了极限分析, 希望本书的处理能够在概念及数学分析上可以将 Lie 导数理解得足够清晰, 以为实际应用铺垫基础. 积分学方面, 就流形上第二类积分意义的解释, 杜布洛文的书提及了 3 维 Euclid 空间中 2 维曲面上的第二类积分即为微积分中曲面上向量场的通量; 自己给出 m 维 Euclid 空间中 m-1 维曲面上第二类积分的解释, 也是解释为 m-1 阶外形式在此曲面上的通量. 就流形上 Stokes 公式的解释 , 用在 3 维 Euclid 空间中的 2 维曲面上即为微积分的 Stokes 公式 ; 自己推导了一种形式, 当引入 m-2 阶外形式的旋度 , 则 m-2 阶外形式的外微分在 m-1 维曲面上的积分可解释为 m-2 阶外形式的旋度在曲面上的通量. 自己希望这些理解能有益于流形上微积分的实际应用, 特别适合力学研究的需要.

第四部分几何形态为体积的连续介质的有限变形理论. 本书按有限维 Euclid 空间中体积上张量场场论建立几何形态为体积的连续介质的有限变形理论, 但未涉及专门化程度较高的本构理论. 为结合可变形边界流固耦合问题的研究, 我们提出当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论, 基于此类构型, 参照郭先生所著《非线性弹性力学》中有限变形理论的理论框架平行获得了相关结果. 我们的科研主要基于现有理论. 就郭先生提出的二点张量, 自己更愿意称为张量的二点形式 , 并且将书著所述的一点形式的非完整基理论推广到张量的二点形式甚至多点形式. 张量场二点形式的非完整基理论将有益于有限变形 Lagrange 型方程的具体展开.

第五部分几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论. 一般连续介质力学的教程总默认连续介质的几何形态为体积, 亦即 Euclid 流形; 但诸如皂膜 , 细胞膜以及纳米膜等介质, 有理由将此类介质模型化为几何形态为曲面, 同时引入面密度以刻画实际的厚度变化, 但不涉及物理量沿厚度的变化. 本书基于有限维 Euclid 空间中曲面上张量场场论, 借鉴体积形态连续介质有限变形理论的基本理论框架, 建立了几何形态为曲面的连续介质有限变形理论, 包括构型构造, 变形梯度, 变形刻画, 输运方程以及守恒律方程. 按我们现有认识 , 尚未见到类似的系统性阐述, 但局部也有结果. 如本书获得的质量守恒方程 , 表明平均曲率结合曲面 / 膜的法向速度将直接参与至质量守恒, 近日看到鄂维南院士及其合作者先前已发表相同的结果, 但我们还有质量守恒的Lagrange 形式 , 需要联系于变形刻画及输运方程. 西方 Aris 著有《 Vectors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics 》, 62 年就出版 , 现仍有很多文献 ( 特别是膜振动方面的论文 ) 第一篇参考文献就是此书, 可见其影响很大. 此书阐述了曲面论的相关结果 ( 并非基于现代几何学的语言 , 广度与深度也较为一般 ) 并研究了固定曲面上的二维流动 ( 这方面的研究应该是本书的一大重点 ), 但其就连续性方程处理有误, 在场论上有谬误, 本书给出了细致说明. 另就此部分 , 我将流形上的 Levi-Civita联络定义为 Levi-Civita 梯度算子, 在澄清 Levi-Civita 梯度算子与曲面上梯度算子的关系之后, 参照一般涡量动力学的基本理论, 提出固定曲面上二维流动的涡量动力学理论框架, 也收录在本部分 .

第六部分张量映照微分学. 世界上最出色的微积分教程一般都会包含一般赋范线性空间上微分学, 如被 Arnold 誉为当今最好的现代分析学教程的卓里奇著《 Mathematical Analysis 》就系统性包括这方面内容 ; 德国 , 法国以及美国等相关教程也包含. 按自己体会, 有限维 Euclid 空间上微分学知识体系高度类似于一般赋范线性空间上微分学, 本书中相关章节只要将自变量空间及因变量空间改作 Euclid 空间就完全成为有限维Euclid 空间上微分学. 不同层级知识体系的高度相似性在教学上也相当有意义, 因为具有温故而知新的功效 . 无论张量场 ( 亦即自变量为位置刻画 , 即为 Euclid 空间 ), 还是一般张量映照 ( 自变量及因变量都为张量 ), 都可以也需要一般赋范线性空间上微分学提供基本的思想及方法, 因为张量空间可以是赋范线性空间而且是完备的. 按自己认识, 似乎仅郭先生的书明确提及张量空间作为赋范线性空间, 并按相关微分学结果获得张量映照微分学方面的结果. 本书本部分叙述包括相关结果, 并着力阐述了张量映照的隐映照定理及逆映照定理, 微分学的最高成就应该就是隐映照定理及逆映照定理, 希望相关思想及方法具有实际应用的价值. 另本部分包括了一般形式的变分计算.