看一看我们生活的周围曾经熟悉的或曾经看见过的现象，比如天空的积云或者海浪的起伏翻滚，或许见到过的袅袅炊烟，或从香烟头升起的一缕轻烟在空气中扩散开来的奇妙图案，或者宣泄的瀑布激起的浪花和涡旋，千姿百态，在激流中飞逝......这些都和湍流有关，什么是湍流呢？

烟羽

云

近地层的雾

1883年雷诺（O. Reynolds）的圆管水流实验演示了流体随着来流速度的增加由规则的流动转变为紊乱的流动，引起当时科学界的很大兴趣。进而，雷诺对具有粘性的流体的牛顿方程，也就是Navier（1827）-Stokes（1845）方程进行了平均处理（1889），意想不到的是比方程数目多出一个未知函数，出现了闭合问题，显示了求解N-S（Navier-Stokes）方程的极大困难，从而吸引了包括当时的著名力学家在内的许多研究人员的兴趣。当然，真正投身于其中的仍然是很少的几位流体力学大家。

当人们认识到N-S方程的非线性项不能用已知的数学方法求解，平均方法又遇到很难理解的闭合问题，这样，人们便开始寻求其他的途径。在傅里叶变换盛行的时期，统计模式和谱方法就成为研究湍流的主要数学工具，自然也成为解决实际问题的有效方法。不过，数学家们对于这种似乎“零敲碎打”的做法并不热衷。例如，他们想要知道是：如果N-S方程的定解条件是光滑的，那么，其解的光滑性是否永远得以保持，还是在有限时间之后出现奇性？研究湍流的一些科学家，例如雷诺，泰勒（G. I. Taylor），冯.卡门(von Karman)和亨茨（J. O. Hinze）等人论及湍流时，无一例外地认为它是一种不规则的流动，自然也就重视它的统计平均特性。实际上，湍流基本方程（即雷诺方程）的封闭性问题已经耗去了许多力学家的精力和大量时光，各种平均方法陆续提出，包括一些参数化方法在内，可是，取得成就的自然是极少数研究者。

这一百多年来，随着科学技术的进步，探测方法的改进和完善，新的测量仪器的出现，特别是计算机科学的飞速发展，超级计算机的大量涌现，云计算的发展，使得各种数值模式得以实现，湍流研究也取得了可喜的进展。然而，我们对于湍流本质的了解，仍然是凭实验和观测，也就是凭经验的，只有为数不多的几种湍流预测是从理论上推导出来的。流体力学家把湍流定义为一个连续的不规则流动或者一个连续的不稳定状态。例如，在紊乱的空气或河流里，流体任何一点的运动速度和方向，是不断地和不规则地变化着，而流体却沿着固定的方向继续流动，湍流在平稳的层流中的发展演化是一个连续的过程，起初的一个或几个不稳定会激起湍流，它继续增强直到更高程度的不稳定，最后完全发展成湍流 — 发达湍流。也就是说，流体力学家想要知道的是一个平稳流动的失稳如何导致湍流的转捩，湍流完全形成后的动力学特性是什么，工程科学家则希望了解如何控制湍流而降低能耗和阻力。

数学家关注湍流的动因则是另一回事，他们的心愿是直接面对N-S方程，获得完美漂亮的解析解，那种依靠计算机程序求解的问题，例如四色问题，1976年K. I. 阿佩尔和W.哈肯用电子计算机找到了一个由1936个可约构型组成的不可免完备集，在美国数学会通报上宣布证明了四色问题。对于这样的结果，数学家即使认可，也总感到美中不足，对于数学家追求的标准而言，相差太远了。正因为如此，1998年由商人兰顿•克雷(Landon T. Clay，资助者)和哈佛大学数学家亚瑟•杰夫(Arthur Jaffe)创立的克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, 简称CMI)，向世界各国知名的数学家征集著名的数学难题，并在2000年5月24日公布了征集到的千禧年七个经过一个世纪仍未解决的难题（NP问题、霍奇猜想、庞加莱猜想 — 已经由俄罗斯数学家格里高利•佩雷尔曼解决，黎曼假设、杨-米尔斯方程的质量缺口、Navier-Stokes方程的求解和贝赫与斯维纳通-戴尔猜想）。

这七个选题被研究所认为是“对数学的发展有中心意义的重大难题”。解答其中任何一题的第一个人将获得一百万美元奖金，克雷数学研究所的悬赏，参考了1900年希尔伯特的23个问题的做法，希望促进20世纪的数学发展，而N-S方程是其中的第六个问题，以其非线性偏微分方程描述粘性流体的复杂的流动状态而著称。这里，不禁使人想起英国著名物理学家W．汤姆孙（即开尔文男爵），他在19世纪的最后一天的新年祝词里，忧心忡忡地感叹物理学取得辉煌成就的同时，在它的美丽而晴朗的天空中却漂浮着两朵乌云，这就是以太漂移问题和黑体辐射中的“紫外灾难”问题。这两个问题催生了20世纪物理学的伟大革命：量子力学和相对论的诞生。显然，这里的克雷数学研究所征集的包括湍流问题在内的七个世纪难题，并不具备引发科学概念深刻变革的内涵。当然，更不是指望通过计算机的数值计算解决问题，如果是那样，这些被看作是世纪的难题便失去它的光辉和意义。最重要的是，它们构成了对数学家智慧的挑战。特别是N-S方程，对于数学和流体力学的发展具有重要的推动作用，也会深化人们对于确定性与随机性的认识。

从事湍流研究的物理学家认为它是20世纪经典物理留下的世纪难题，未尝不可；但是，赋予它过高的科学荣誉和科学地位，也不见得是一件科学能够从中获益的恰当的做法。正本清源，尽量如实地了解问题的历史渊源和实事求是地看待它本来的科学地位，对于今后湍流的研究是有益的。

在湍流研究的初期，就出现了两位大科学家领导的团队，即以德国的普朗特和英国的泰勒为代表的研究团队，各自在不同的方向上开展了研究。前者注重实际的流体力学问题，提出混合长模式，建立了边界层理论，成绩斐然；而后者则是以理想化的（也就是实际上并不多见的）各向同性湍流作为研究对象，提出了一些重要的概念，发展了新的统计方法，同样也取得了重要的科学成就。两位科学家根据自己的知识背景和兴趣，也根据对问题的理解，确定了他们的研究内容，在研究中体现了他们本人各自的风格。但是，德国当时适应军事工业的需要，更多地是提倡实用科学和应用研究，也许影响了许多研究者的志趣。不过，一个团队一直从事理论研究；另一个团队则一直从事应用研究，并不能由此断定这将形成同一门学科的理论与应用研究之间的鸿沟，科学史上这样的例子很多。

泰勒后期参加了许多与国防有关的任务，改变了研究方向，其实是很自然的事，如果认为泰勒在他原来的研究方向上已经干不下去了，则是不够公正的。在他之后，G. K. Batchelor 继续沿着泰勒的方向开展研究，不仅取得了重要进展，还向国际湍流界介绍苏联学派的研究成果，使得柯尔莫果洛夫和奥布霍夫在均匀各向同性湍流方面活跃的研究工作和取得的成就为世人瞩目，其中不乏涉及实际湍流问题，能说是研究方向不同就能够形成所谓的“鸿沟”吗？从事科学研究的著名学者，如像普朗特和泰勒，当然清楚地知道理论研究最后必须通过预测和实验验证；应用基础研究同样必须得到相应理论的指导和实验检验。只是当时的理论研究尚未获得能够进行预测的结果，不能指导应用研究，也不能对某一具体的流体力学问题提供有效的参考，只能说明理论研究的水平与实际应用的要求之间还有很大的距离；即使现在，就边界层理论而言，仍需要不断研究新问题，发展新方法。

目前，湍流理论研究仍然不能在广泛意义下对具体的流体动力学问题给出实用而有效的指导，不能说这些理论研究的方向错了，必须改变研究方向了。在19世纪末，古典流体力学与实验水力学是分开的，后者受实际工程问题的大量需求，得到深入和广泛的发展。而前者就是将Newton第二定律应用于流体的流动，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力，不过，当时人们认为像水和空气这样的流体，黏性很小，对阻力的贡献可以忽略，于是出现了无粘性理想流体的欧拉方程，理论分析和数学表述方面取得了很大成功；可是，其结论与实际结果往往不符，只是在出现达朗贝尔（d'Alembert）佯谬之后，古典流体力学才真正从理论上受到严峻的挑战，我国已故的著名力学家郭永怀先生指出：Kirchhoff，Helmholtz，Rayleigh等人尝试解决阻力问题的努力也都失败了。

经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。这时压力就没有损失，物体自然也就不受阻力。如果流体是有粘性的，哪怕很小，在物体表面的一层内，流体的动能在流体运动过程中便不断地在消耗；因此，它就不能像理想流体一直沿表面流动，而是中途便与固体表面脱离。由于流体在固体表面上的分离，在尾部便出现了大型涡旋；涡旋演变的结果，就形成了一种新的运动“尾流”。这全部过程是一个动能损耗的过程，也是阻力产生的过程。

由于数学上的困难，粘性流体力学的全面发展受到了一定的限制。但是，在粘性系数小的情况下，粘性对运动的影响主要是在固体表面附近的区域内。从这个概念出发，1904年，Prandtl提出了简化粘性运动方程的理论—边界层理论，部分地解决了阻力计算问题，并运用到空气动力学的研究中，使流体力学的理论与实验结合起来，促进了航空工业的发展；而湍流理论的研究则在人类认识自然界中的湍流、混沌、分形等复杂性现象方面，促使科学概念的深刻变革。虽然边界层理论和湍流理论的共同基础是N-S方程，但是，它们各自已经形成了各自的理论体系，有独立的研究内容、研究框架和研究风格，各自的研究目标自然也不相同，如果用以基础应用研究为特点的边界层理论的模式指责和评价以探讨基础理论研究为目标的湍流理论，即使不问其效果如何，这种做法也是很不恰当的。实际上，这二者是相互促进，并行不悖、相得益彰的，实在没有理由认为它们之间存在“鸿沟”，或者，湍流理论研究没有像边界层理论研究那样与空气动力学，水力学等学科的应用结合，就认定湍流研究的理论与实际应用之间存在“鸿沟”，借此否定湍流研究的重要性，由此观之，这样的评议有失公允，也不客观。也许这种看法会在一段很长的时间内存在并影响湍流研究者的情绪，其实，这类不同看法和质疑在科学发展史上是屡见不鲜的。

让我们借用计算机视觉的奠基人D. 马尔（D. Marr）对理论研究的一段生动的比喻。1970年间，这位30多岁的年轻的视觉科学研究者，应邀从英国伦敦到美国麻省理工学院（MIT）,担任声名卓著的马文. 明斯基(Marvin. Minsky)实验室的指导工作，解决如何制造一台机器人，使它能够具备感知周围环境的能力。D. 马尔指出，使研究和制造机器人的科学家团队屡屡失败和极度失望的原因，是他们跳过了一个必经阶段，模仿鸟的羽毛不可能造出一架会飞的飞机，而空气动力学的原理解释了鸟的飞行，也能使我们制造出飞机。建立视觉科学并进行研究正是解决制造机器人的必由之路。如何建立一门视觉科学，不是指望某位大科学家可以指出一条可行的研究方向，而是世界众多研究团队活跃在这个领域，甚至意见，看法和研究途径各不相同，也没有形成所谓的“鸿沟”现象，其实它是不存在的。

英国著名的分析学家哈代（G. H. Hardy），坚决反对数学与应用挂钩，但是，并没有形成英国分析学派之间的“鸿沟”，这样的例子很多，不再枚举。湍流界的同行们高兴地看到，近几年，由于湍流基础研究和准确有效的计算方法的发展，物理实验水平的提高，使得原先湍流的基础研究和应用需求之间的距离缩小了，可以期待，随着湍流理论研究的深入，理论结果解决实际问题的可能性会进一步提高。

对于经典物理学留下的世纪难题：“湍流问题”的实质是什么? 目前是一个还不能清楚回答的问题。因为这个世纪难题要着力探讨的核心问题也就是“湍流问题”的实质是什么，目前尚未出现重大进展，也未获得重要成果或者在某些方面获得突破，在这种情况下，如何能回答出这样重大的根本性问题？如果针对每一个具体问题，也就是每一个“真实流体”的研究得出反映该流体流动或状态的“本质”，不同流体自然有其不同的特性，将这众多研究结果综合起来，是否能得出反映流体的普适特性呢?看起来是不行的，除了N-S方程本身包含强非线性项这个因素之外，N-S方程概括的是特定流体的流动的本质呢，还是流体的基本特性？也是尚处于探讨之中的问题，因此，即使本世纪不一定能解决N-S方程这个难题，它对科学本身的挑战还可以持续到下一个世纪，来日方长，人类不必急在当下。

世纪难题“湍流问题”的本质到底是什么？在L.Landau的“论湍流”论文发表23年之后，曾有一篇论文的标题就是：“论湍流的本质”，试图回答这个问题，作者是D. Ruelle 和 F. Takens, 算是名家之言吧。本书笔者受限于自身知识和对湍流问题的有限了解，自然没有资格涉及这个问题，只能抱着求教的态度，希望能够获得答案。涉及湍流领域的问题，无疑都蕴含着由速度和自身反馈的非线性造成的复杂性。我们预计，上述问题的任何结果都会遇到多样性造成的各种结果的复杂性。我们体会和理解湍流的复杂性包括：计算的复杂性，尺度的复杂性，状态的复杂性；转捩的复杂性，预测的复杂性，描述的复杂性，测量的复杂性，各种结果解释的复杂性。因此，湍流研究进展十分缓慢。

给湍流下一个既简短又完整的定义，的确比较困难，可能将湍流描述为“一个连续的不稳定状态”，或许是一个可以被许多人接受的定义；当然，从事湍流研究的名家学者更愿意根据自己的理解和研究的侧重，谈论他本人对湍流的理解，这可能是湍流界一道独特的风景吧。本文作者认为，对湍流的概括，可能应当包括如下因素，就是N-S方程，雷诺数，多尺度，多模态以及复杂性。由此或许可以说，湍流就是指由Navier-Stokes方程所描述的粘性流体当超过临界雷诺数Recr后，从规则流动转捩为在时空中紊乱复杂的多尺度涡旋运动的形态。

20世纪70年代分形理论，混沌理论，耗散结构和小波分析方法的出现，曾经使物理学界对湍流的研究产生新的希望，有过一段研究高潮出现，之后直到现在，已经回归到平稳的，扎实的探讨阶段。说到湍流理论的研究，无论题目的大小，都会遇到如下三方面的困难，即：湍流脉动量方程是不封闭的，非线性难于处理，流态的多样性和复杂性。如何面对这类困难，湍流研究中的结构学派看重数学演绎的严谨；而统计学派侧重于动力系统演化的信息提取。而我们则认为，湍流研究者，特别是中青年，应根据自己以往研究工作的积累和有限的专业知识背景，在力所能及的情况下，选择一个经过努力可以完成的或能够取得进展的课题。当然，所选课题应当具有一定的学术意义和可能有的实用价值。研究思路不必拘泥于已有的程式，需要方法上的创新，在内容上要有新颖之点。那些仍然不清楚的，并没有深入研究过的问题，正是值得我们去探讨的。

本文由安静摘编自赵松年、于允贤著《湍流问题十讲——理解和研究湍流的基础》之第一讲，内容有删减。

978-7-03-046833-8

《湍流问题十讲——理解和研究湍流的基础》就如何看待和理解湍流问题简明扼要地论述了湍流问题的主要内容，共有十讲，包括：湍流—世纪难题；流态：N-S方程； Reynolds方程——平均场和脉动场；方程的闭合问题—模式理论； 动力学途径——Karmen-Howarth方程；谱方法—Kolmogorov的理论；实验发现——间歇性和拟序结构；标度律——层次结构模型；能量耗散——同步级串模型；自然界的风洞——大气湍流。书中图文并茂，叙述简练，物理解释详细，数学表述的难度适中，各讲之间既紧密联系，又相对独立，便于随时阅读，具有很好的可读性，是一本了解和探究湍流问题的有价值的参考书。此外，书中对与湍流有关的主要著作进行了注释，分析了每一本书的特点，建议如何安排阅读顺序，提高阅读效果。

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