定光桂教授，广西桂林人，1961年毕业于南开大学。1979年被送往瑞典皇家科学学院 Mittag-Laffler 数学所进修并破格获得博士学位，是新中国派往西方学者中第一个获数学博士者。主要研究巴拿赫空间上的算子（特别是“等距”算子）与泛函（特别是“拟次加”泛函）理论。1981年回国后（除在美作访问教授和访问学者几年外）一直指导硕、博士生，并在本科及研究生教学第一线工作。

三年前，徐宗本院士和彭济根院长邀请我到西安交通大学工作，使我得以亲身参加到教育部为推进我国研究型大学水平的提升而首创的有关数学拔尖创新人才的试验教学工作。三年来的工作实践，我深切感受到：作为所有高等数学各分支基础和核心的“极限理论”以及应用广泛的“微分学理论”的确有不少值得改进的空间。

众所周知，“微积分学”的创建至今已有二三百年的历史。几百年来，在一些数学大师和许多杰出数学先辈们的辛勤劳动下，“微积分学”已经被塑造成一个相当完美的经典数学成品。因此要想做任何一点的改动都是十分不易的。然而，时代在进步，科学技术在飞速发展，从21世纪的今天来看，“微积分学”则又有不少应该和可以改进的空间，尤其是其极限和微分学理论部分。我想，其实许多数学工作者肯定也看到了这一点，但是由于他们“无暇”去做或者“不屑”去做，致使几百年后“微积分学”理论基本变化不大，至少在近半个多世纪以来，内容和论述变化不大。

要培养创新人才，就应该有创新的思维。在这三年的再学习、讲授、讨论和研究中，对作为现代分析强有力的工具及基础并对后续学科有深刻影响的极限和微积分学理论，应该并且也能够作一个重新的探索和改革。正是基于此，我撰写出了这本探索性的《极限论与微分学新探》。

在本书的写作中，我有下面的几点思索：

(一)要将现代分析的观点渗透其中。这里，我们既不是将现代分析的某些内容“下移”，也不去专门介绍某些新专题，而是在继存下来的极限论和微分学的内容中，对可以引申的部分，在尽可能简单的原有框架下，让读者了解现代分析中某些方法技巧以及它们的应用。例如，对于极限的定义及其某些基本性质，由于它们在一维实数空间、n维欧氏空间以至于任意“赋范空间”和抽象的“距离空间”中表达和处理手法的“一致性”，我们最后则将它们转为在距离空间或者赋范空间来讨论。又如，连续函数在“闭区间”上的整体性质，其证明与距离空间上的连续函数在“紧集”或“自列紧集”上之整体性质是完全相同的，因此我们就直接用后者来代替前者。这样一来，不但没有增加篇幅和难度，反而有助于读者深刻和完整地了解相关特性的内涵、实质以及后续学科的学习。再如，对于现今书本中常爱选用的有关n维欧氏空间中凸函数的连续性专题，我们则顺势推广到任意n维“赋范空间”来讨论。此外，在有关多元函数(泛函)和映像(算子)的微分之论述中，我们则很自然地将(连续)“线性泛函”和(连续)“线性算子”以及“弗雷歇导数”等近代泛函分析的概念和初等内容引领出来。

(二)注重数学的特点——严谨且简练，并引导读者善于抓住问题的核心和实质。仅以实数的完备性为例，我们知道，既然极限论是从实数域中开始讨论的，那么，我们首先就要论证实数的“完备性”，即除了有理数和无理数之外，实数轴上没有“空隙”。因此，关系到从有理数域出发，如何构造(产生)出所谓的“无理数”。值得一提的是：如果仅仅将无理数直接就“简单地”定义为有理数列(例如“十进位小数”)的“极限”，这是不对的。因为，这与极限定义之开首约定“如果存在一个数”的前提相矛盾。在本书引入实数完备性相互等价的五个命题中，我们不采用“戴德金分割原理”“康托尔确界原理”或“康托尔单调有界收敛原理”为出发点，因为此三个原理中均涉及一个“序”(大小比较之)的结构。但从本质剖析，这种“序”的特性与“完备性”(实数的)是毫不相干的！由于此“附加物”的羁绊，使得这三个原理均不可能推广到任意的抽象距离空间，而作为该空间实施完备化的工具。这里，我们也不用“柯西基本列收敛原理”(虽然在后续的学科“泛函分析”等均是用它来做距离空间完备化之工具的)，因为对一个初学高等数学的读者而言，我们认为，用此原理来定义实数似乎显得过于抽象了一些。因此，最终我们采用有理数组成(长度趋向零)的“闭区间套”来作为定义实数的公理，如同玩具“俄罗斯套娃”。从而给极限论研讨之基石——实数理论——一个直观、清晰、新颖和严格地诠释。这种对内容的深入剖析，并引导读者抓住内容的核心和实质之论述方法，其始终贯穿于本书之中，最后关于隐函数定理的重新处理，则亦是这种探索的一个范例。

(三)注意激活读者的创造性思维，逐步培养他们的独立思考和学习研究的能力。一些著名的教育家认为：真正好的教育，就是系统地培养和给予学生自己发现新事物的能力和机会。因此，在本书中，我们将通过一些基本内容的延伸，让读者学会联想，善于逻辑推理，并逐步培养独立研讨的能力。例如，在介绍数列与其子列之间极限的传递关系时，我们将其反问题一直引申到数列与其“无穷”多个“分割子数列”的情况。又如，对于施笃兹定理之逆不成立时我们构造的几种反例，以及加“*”号介绍由此引来之“泛函分析”的一个著名命题。再如，“数列的上、下极限”一节中一些启迪思维的例子，等等。为了加强作为基础的数列极限部分之学习与掌握，我们将“数项级数”的内容“陪绑式”地紧随其后。这样的安排不但让读者重新复习了数列极限几乎全部的基本定理，也使他们看到由级数本身而产生出的许多新的结果。特别地，在“重排级数”部分，我们又向读者展示了一些新的论证方法和创新性的结论。为了引导读者得出有关“有限维赋范空间上凸函数必连续”的漂亮结果，我们则先引出一个十分容易验证的命题：在任意赋范空间的线性泛函，其在任一点“局部有上界”则必连续。并由此来启发和联想而得出上述的所需结论。此外，由于我们“直接”用函数的导数与二次导数来分别判断函数的升降(单调性)与凸凹状态(而不沿袭几百年来用“中值公式”作为“中介”的模式)，因此让读者又看到了一条新径。而在后继的中值公式一节中，我们则详细地从逻辑思维的联想、推断，着力于引导读者从一个结论去推导出下一个结论，充分地体验科研的创新逻辑思维。并且，这种启发读者“举一反三”的联想始终贯彻于本书之中。

(四)请读者要重视本书中的(正)例、反例和“注”，千万不要忽略。这些均将使读者加深对相应内容的深入、全面地理解。特别是一些注记，那都是我们重新学习这些内容的一些心得和体会，也即“以注解意”也，它们均是本书重要的组成部分。如果仔细阅读、体会，必将会受益匪浅的。这样既方便于读者对自己学习实践的检验，也有利于读者的自学。

既然这是一本探索而写出的书，必然会有许多不足或不当之处，亦敬请专家和读者们指正。

最后，我想再附录几句至理名言，与青年读者们共勉。一是中国的古训：“学成于思，毁于随”。二是法国的名言：“成功的必然之路，就是不断地重来一次”。

本文摘编自定光桂著《极限论与微分学新探》一书。这是一本探索性的书。作者试图将实数、极限和微分学这些数学分析的基础理论用现代分析的观点来处理。这是一本“雅俗共赏”的书。“通俗”是因为阅读此书的预备知识仅仅需要初等数学知识（中学内容）；而“雅”则是因为其观点新、技巧性强且创新内容多。这是一本培养创造性思维的书。讲述由浅而深，从形象到抽象；并特别注意引导读者去“举一反三”，从各种“（正）例”“反例”以及“注”的学习中学会联想，并发现且引导出新的结果。

一起阅读科学!

敬请关注科学出版社，搜索微信ID：sciencepress-cspm  或“科学出版社”公众号