鱼群集群行为

蚁群的集群行为

萤火虫同步闪动

人作为特殊的个体也依据不同属性组成了诸如家庭、家族、民族、党派、社团组织、俱乐部、军队、学校、工厂、公司、联盟乃至国家等各种不同群体，进而产生出大量的社会群体行为。由人及其所使用的各种设施如交通、通信工具等形成的都市则如同一个放大了的生命体，在其中可以找到供应全身血液的心脏、呼吸的肺等，大到乃至整个地球，我们都可以感受到其作为有机复杂系统的脉搏和呼吸。

即使在我们肉眼和通常感官无法直接感知的世界里，也在发生着大量的故事。当我们通过显微镜去观察一个极小尺度的生物体时，可以看到那里也是一片忙忙碌碌如繁华都市的景象，基因们在忙着制造合成蛋白质、有效组织调控生命体的各种生理活动，分子马达则在忙着输送营养物质、转化和提供能量，心肌细胞在忙着协调心脏舒缩泵出血液，各种神经元有的在忙着感知外部各种信息，有的则忙着传送信息，处于脑部的神经元则忙着处理信息并发送各种指令，生物体内的各种细胞、组织和器官都24 小时不休息地辛勤工作，通过它们在不同层面的生理活动让生物体处于生命活性的状态。即使是遥远的天体、星系和宇宙也表现出复杂的演化行为，尽管我们可以通过天文望远镜乃至FAST (500m 口径球面射电望远镜，Five-hundred-meter ApertureSpherical Radio Telescope) 这样的巨型仪器设备进行大量观测，取得海量数据与信息，人类对宇宙及其命运的认识也还处于婴儿时代。

我们对复杂系统的涌现动力学的了解只是冰山之一角

我们可以将上述所涉及的各种系统称为复杂系统。什么是复杂系统呢？要完全准确地给其下一个定义是不容易的，就不同学科来说，对于什么是复杂性的理解有所不同。实际上，系统复杂性的来源是多方面的，有的结构复杂，有的动力学复杂等，并且复杂并不简单取决于组成系统单元的数目多寡、相互作用是否具有复杂的形式等。当然，人们对于复杂性有一些比较直观的感受，例如，对一个系统知道开头但不知道结果，了解部分却无法知道整体，知道规则却无法预知结果，等等，这些往往都是系统复杂性的直接表现。

题西林壁

苏轼（宋）

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

此诗生动地阐述了作为研究者或观察者的我们对于复杂系统的涌现动力学的理解。前两句反映了复杂系统的复杂性不仅仅在于1+1>2，还在于其整体表现具有多样性。第一句说明了从不同角度可以看到复杂系统不同的现象，第二句则说明在不同尺度下系统都会有不同层次的涌现。后两句反映了从微观角度来理解复杂系统是很困难的，身在山中看到的只是一个个山峰山谷的细节，无法形成整体印象。只有跳出微观，建立宏观图像，才能对复杂系统的整体涌现有准确的认识。

物理学家往往具有探索未知、大胆提出问题和假设的勇气。我们知道，物理学的研究对象是宇宙万物。何为宇宙？古人曰，四方上下谓之宇，古往今来谓之宙。"宇即代表空间，宙即代表时间，而物理学是研究时间与空间基本规律的科学。由此可知，从极小到极大的各种尺度都是物理学家的研究对象，当然包括自然科学与人文社会科学的各种研究对象。于是我们可以看到，物理学家的足迹遍布物理学及其他各个学科领域。近些年很多交叉学科的发展大都与物理学家的介入和勇敢探索息息相关。物理学一方面在不同时空尺度探索积累了大量的结果，为探索各种复杂信息发明了各种各样的实验工具和平台，还提出了一系列物理思想和方法。例如，统计物理学最早发端于对热力学的微观诠释，而如今统计物理方法已在物理学其他方向、化学、生物学、经济学和社会科学等诸多领域和不同层次发挥着重要作用。

系统是自然界和人类社会中一切事物存在的基本方式，各种各样的系统组成了我们所处的世界。一个系统由相互关联和相互作用的多个元素(或子系统) 所组成，具有特定功能。现代科学在从基本粒子到宇宙的不同时空尺度上研究各类具体系统的结构与功能关系，逐渐形成了自然科学与社会科学的各门具体科学。尽管如此，不同时空尺度之间的关系和过渡更体现了我们这个世界的复杂性。鉴于此，复杂系统的研究业已成为21 世纪科学研究的中心。正如著名物理学家史蒂芬·霍金在世纪之交时所预言的：“21 世纪将是复杂性的世纪。”21 世纪开始的若干年来，世界科学的发展越来越证实了这个预言。

复杂系统不是简单的组合和拼接

尽管物理学家是最早、最彻底进入复杂系统研究的一群人，但显然他们对复杂系统研究有着更高、更广泛的诉求。诸多学科及其理解大尺度跨越的需要直接催生了一门目前看起来最交叉的学科——系统科学。

过去几百年间，各门不同学科针对客观世界不同时空尺度范围的具体对象进行了大量关于结构与功能关系的研究，用各自学科的基本概念和专门术语积累了丰富知识，使得不同系统之间相互借鉴甚至从中提取共性的系统规律成为可能，也促进了一般系统论、协同学、耗散结构论、突变理论、超循环论、混沌理论、控制论、复杂适应系统、复杂巨系统的综合集成方法等理论体系的发展。

系统科学的研究对象是“系统”自身，其目的是探索各类系统的结构、环境与功能的普适关系以及演化与调控的一般规律。因为系统具有多层次性，所以如何阐述在每一个层次的一般规律及其层次之间的过渡规律是系统科学作为一门学科的重要使命，而后者是系统科学最重要的任务。在每一个层次当中，人们都会或已经建立起相应的学科来做非常详尽具体的阐述，而层次之间的过渡作为一个极其重要的课题则是这些学科的软肋。从这一点来看，系统科学既不同于物理学、生物学等具体的自然科学学科，又不同于数学这样可以完全抽象的纯粹方法论，而是具有鲜活的自然科学学科背景和诠释方法论生动图景的、介于这些层次之间的科学与方法论学科。

系统科学的核心是系统论。在历史上，物理学传统的还原论思想尽管已经做出了重要贡献，但复杂系统问题的分析与理解不能只停留在还原论层面上。与还原论相对应的是整体论，即需要将复杂系统作为一个整体来加以研究。但是，整体论的使用应以还原论的结果为基础才不至于空洞。因此我们需要注意的是，整体论绝不意味着还原论的无用。一个典型的案例就是近年来复杂网络理论的发展。按照复杂网络的观点，任何一个复杂系统都可以看成是大量个体通过相互作用组成的一个整体，进一步的抽象可以将相互作用简化为拓扑连边，一个系统就可以由个体抽象成的点和由相互作用抽象成的边组成。这正是还原论的威力，它将一个原本纠缠不清的系统以网络的形式清晰展示出来，而还原论还进一步揭示了网络中点元素的基本结构，例如，原子、分子乃至基本粒子结构、神经元结构、基因、蛋白质结构等，单元间相互作用如原子、分子之间的相互作用形式也是靠还原论来给出。因此，还原论是整体论的基础，没有还原论的整体论就是空中楼阁、无本之木。还原论仍将继续是推动人类文明进步的基石。

鉴于此，对复杂世界正确的认识应当是整体与还原的有机结合，系统论由此应运而生，它“是还原论与整体论的辩证统一”(钱学森语)。正是这种统一，使系统论超越还原论成为可能。这就需要一方面整体指导下的还原与还原基础上的综合相结合，具体体现为“自上而下”与“自下而上”相结合；另一方面机制分析与功能模拟相结合，系统认知与系统调控相结合。

系统的结构与环境共同决定了系统的功能，在系统环境和物理、信息等系统结构的作用下，系统会出现时间与空间的演化，不同时空尺度和层次结构一般对应不同的模式和功能。系统的功能一般不能还原为其不同组分自身功能的简单相加，这种1+1 不等于2 的结果称为涌现(emergence)。简言之，系统功能是系统结构与动力学相结合的涌现。功能的一种直接表现就是集体动力学，它是复杂系统的简单呈现形式。

 网络结构的涌现

生命金字塔的涌现

《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》的主题是复杂系统的动力学行为。复杂系统在不同层次上的集体行为无处不在，从一个到另一个层面的过渡就是以群体行为为表现形式的涌现。复杂系统的行为特别是集体行为实际上是一个老问题，人们对复杂系统的研究已经有很长历史。

复杂系统涌现会表现出一些典型的时间与空间行为，它包括整体简单且平庸的如随时间不变的行为和在空间均匀或简单分布的结构、整体简单且非平庸的如随时间周期变化的行为、在空间周期往复的结构或整体复杂的如随时间变化混乱或随机的行为，空间分布呈现混乱的结构等。在诸多的这些涌现行为中，时间的整体非平衡动态行为在很多情况下是非平庸且可分析的系统行为，其中最简单的动态就是周期振荡，而最简单的协同行为就是同步。《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》的原则是复杂系统行为的可分析性与可操作性。因而，振荡与同步正是《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》的重点。

复杂系统集体行为的出现意味着有序的涌现，在状态空间意味着系统自由度和维度的降低，而对于状态变量而言则意味着可以用更少的状态变量来对集体行为加以描述。例如，在物理上，一个哈密顿力学系统从不可积到可积性的转变意味着越来越多运动积分或守恒量的产生，以此作为约束将运动限制在越来越低维的空间中。再比如，热力学系统相变的发生往往意味着对称破缺的产生和序参量的出现。《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》重点研究耦合振子系统的同步行为，我们会看到类似的涌现行为，即耦合的振荡系统会发生从部分同步到完全同步的转变。这些有序行为的出现都意味着高维复杂系统动态行为的低维化，因而从理论上来说通过各种方法和手段对原有的高维(大自由度) 系统进行有效降维(投影、约化) 是研究复杂系统最重要的任务之一。

复杂系统可降维性或近似可降维性常见的有以下几种情形：

01

系统的对称性。例如，哈密顿系统的对称性带来了不变积分(守恒量)，与此同时，系统出现低维动力学。在流体力学中存在的碰撞不变量如能量、动量、角动量、粒子数等导致了以Navier-Stokes 方程为代表的流体力学方程。再比如，我们在《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》将讨论的耦合相振子系统对称性将会带来以数学上的Möbius 变换为原型的Watanabe-Strogatz (WS) 变换，可以将原有的N 振子方程精确约化到三维方程。

02

时间/空间尺度的分离以及快慢变量的出现。例如，守恒量或不变量的存在(或近似守恒) 导致慢变量的出现；当我们改变系统的参量使得系统到达某个即将发生转变的临界点时，系统中的少数模式会处于临界稳定到不稳定的转变点，这些模式会成长为慢模，相比于均为快模的其他模式，这些慢模将会对系统的转变起着主导和支配的作用，这就是著名物理学家Haken 提出的支配原理。再比如，在布朗运动中，由于布朗粒子的运动弛豫时间远长于周围热源粒子的碰撞弛豫时间，因此物理学家Langevin 写下了集确定性运动(慢模) 和随机噪声(快模) 于一身的随机微分方程(后人称为Langevin 方程)，为布朗运动及其相关的物理、化学、生物等大量具有随机特征的现象研究提供了重要理论出发点。

数学家和物理学家发明了一整套的方法和工具来处理上述的可降维问题。例如，对称性就导致了变换不变性，科学家们建立了不变变换理论、不变群、不变流形和子空间理论。由于对称性多种多样，因而寻找系统的各种对称性和不变流形就成为很重要的任务。物理学家很早就利用数学变换即采用不同坐标系来处理多体问题。以简谐链的集体振动问题为例，从每一个原子来看，它都与其他原子具有相互作用，单独了解其运动似乎并不简单。但如果引入集体坐标，则从集体模式空间来看，系统的运动由一个个相对独立的集体模(称为简正模式) 所组成，每一个简正模式都是所有原子参与集体运动的结果，而一般运动由这些集体模式叠加而成。物理上经常把这些集体模式称为准粒子。量子力学中的表象理论就是为处理多体和复杂问题而生的方法。

另外一个典型的例子就是同步问题。对于具有大量耦合振子的系统来说，每一个振子与其他振子都有相互作用，在耦合强度较大的时候，单个振子的动力学是无法直接剥离出来的。但如果采用另一套集体坐标，即引入各阶序参量，则可以发现在序参量空间中存在一个低维不变子空间即同步流形空间，WS 变换是一种对某些系统找到该空间的精确方法，而Ott-Antonsen (OA) 拟设则是一种对更多系统来说实用而近似很好的方法，通过这个方法可以将问题从原来N 个振子的高维空间降维到二维序参量空间。因此，《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》所涉及的同步和部分同步、OA 流形理论、序参量理论、中心流形定理、支配原理及其作为具体应用的绝热消去和时间平均法都是处理复杂系统集体行为有力的方法和工具。约化是统计物理的重要组成部分，它可将感兴趣的系统从整体中剥离出来，投影算符理论经过多年的发展已成为重要的约化手段。

《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》所讨论的内容集中于与复杂系统特别是耦合非线性系统涌现行为有关的最近几十年来的进展。相比于早期非线性动力学聚焦于少自由度系统的解剖麻雀式的分析，对大自由度非线性系统的动力学研究是非线性科学发展到一定阶段的必然要求。20 世纪70 年代以来，人们对于少自由度非线性系统的混沌动力学和复杂行为研究已经很深入，在大多数方面已经较为清楚，因而对大自由度系统的研究就显得尤为必要。计算机技术近年来飞速发展，超级计算机的计算和交互速度为高维复杂系统的行为研究提供了客观条件。人们关于复杂系统的集体和涌现行为研究取得了突破性进展，揭示了一系列与直观印象看似矛盾的现象。《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》将介绍复杂系统一些典型的集体涌现行为，包括同步、集体振荡、时空随机共振、时空斑图与非线性波、集体定向输运和低维热导等。

《复杂系统的涌现动力学 : 从同步到集体输运》分为七个章节，并根据内容分为上、下两册。上册为第1-4 章。集中讨论复杂系统的同步动力学，下册包括第5-7 章，将集中研究在噪声作用下复杂系统的涌现动力学。