延迟是指事物相对原状态时间上的滞后，存在于诸多实际系统中，如控制系统中反馈信号的传输延迟、网络传输数据包的延迟、管道传输流体的延迟等。动态系统中，状态延迟反馈会对系统的动态行为产生复杂的影响。混沌是指确定性系统表现出的对初值极度敏感的有界非周期运动状态。混沌普遍存在于自然界，如天体力学中的三体混沌现象，天气预报、化学反应等系统中出现的混沌现象。混沌现象是传统线性系统认识论中无法解释的现象，因此，普遍存在的混沌现象的研究对人们认识和理解自然界的很多现象具有重要意义。延迟与混沌相联系的典型系统是M-G系统。已经证明，在常微分方程描述的动态系统中产生混沌的条件是系统阶次大于2，而对于具有延迟的系统，一阶延迟微分方程中也能产生混沌。值得关注的是，在常微分方程描述的混沌系统中引入状态的线性延迟反馈可以消除混沌。因此，延迟与混沌的相互作用成为一个有趣的研究课题。本书侧重于研究线性延迟反馈系统中混沌产生机理的分析和产生混沌的应用，其基础是线性延迟反馈控制系统的动力学分析，其中部分研究结果，尤其是对于参数分岔的研究，对利用线性延迟反馈抑制混沌（即混沌控制）具有指导意义。

人们对混沌的研究已有近60年的历史，混沌的研究重点已从解释其产生机理向控制混沌和利用混沌现象转变。过去的20多年中，混沌控制得到了广泛的研究。混沌控制，即消除混沌对动力学系统的消极影响。相反地，混沌反控制是指在需要利用混沌的场合，加强混沌或产生混沌。混沌特性能够反映系统的重要动力学特点，如分岔、宽频谱等，因此混沌反控制使系统更具灵活性。传统的方法以丧失灵活性为代价消除混沌，事实上，在有些情况下这样做是没有必要的。例如，在空间探测器导航中，利用混沌对初值的高度敏感性，可以用较小的控制量达到期望的控制目标；通过推迟混沌系统的分岔点，可以提高机床和喷气发动机的安全运行能力；混沌能够提高人工神经网络的性能，提高信号和图像传输中的编码效率；在液体混合过程中，利用混沌水平对流能够获得更高效的热交换；混沌压路机和混沌研磨机可以提高工程效率；混沌弱信号检测可用于故障信息诊断；混沌可降低开关变换器的电磁干扰，掩盖潜艇的噪声，构造Hash函数进行信息完整性检测和数字签名，提高雷达图像的分辨率等；混沌同步可以提高压实效率；混沌广泛应用于生物医学和保密通信中等。混沌现象的广泛应用激发了学者对混沌反控制研究的兴趣，人们深信，对混沌控制和混沌反控制的深入研究将对未来的科学技术产生深远影响。

通过线性延迟反馈方法可以实现混沌控制，一般通过试凑参数将混沌控制到能够稳定若干周期轨道。这种方法可以实现混沌控制的机理，仍然是需要研究的问题。对于利用线性延迟反馈方法，实现混沌反控制的研究，以作者所知，文献发表之前未见报道。线性延迟反馈控制的非线性系统中能够产生混沌现象，这使得人们关注线性延迟反馈系统动力学特性的研究。在什么情况下线性延迟反馈控制系统能够产生混沌现象？产生混沌现象的内在机理是什么？产生的混沌现象复杂程度如何？应用前景如何？从理论上解决这些问题对于混沌研究及其应用具有十分重要的意义。

本书研究的线性延迟反馈控制不同于非线性延迟反馈控制：

第一，线性延迟反馈控制无须进行正弦函数变换，控制形式实现更为简单。

第二，非线性延迟反馈控制必须进行反馈线性化，需要找到合适的输出函数来满足反馈线性化条件，如果这个条件无法满足，则控制无法实现，其计算过程和控制形式变得复杂。具有正弦形式的非线性延迟反馈控制方法，理论上控制器的输出是具有很小幅值的正弦信号，控制能量小。但是这个结论也是基于反馈线性化基础上的，实际的控制器中需要将实际系统中的所有非线性项产生的影响，通过在控制器中设计同样的机制将其作用抵消，这个过程中，控制器内部的能量可能已经超出允许范围。如果对实际系统设计的控制器比系统自身还要复杂，显然这种设计是不理想的。而本书中的线性延迟反馈控制只需将系统的当前状态和延迟后的状态之差进行放大就可以实现控制，前期的研究结果已经表明，这种控制的能量与吸引子内部的能量相近，控制的能量取决于吸引子本身的能量。当设置反馈增益很小时，适当调节延迟时间，在保持系统运动高度复杂性的同时，控制的能量也很小。

第三，经过线性化后的系统，在理论分析过程中，可近似成等价的离散系统，采用正弦形式的延迟反馈控制，此时非线性仅由正弦和延迟决定，等效的离散系统具有周期有界函数的形式，才可以证明能产生Li-Yorke意义下的混沌。这样似乎可以得到一个具有普适性的结论和方法，巧妙之处在于利用反馈线性化回避了实际系统中纷繁芜杂的非线性，对于线性系统得到了结论。而线性延迟反馈由于不具有正弦反馈形式，不能采用相同的理论方法，必须利用延迟微分方程的理论和方法来进行稳定性和分岔分析。由于实际系统中非线性的多样性，很难对任意非线性系统得到通用的结论。

第四，一旦采用线性延迟反馈方法实现混沌的反控制，就可以达到上述所提到的理想状态，即产生混沌或消除混沌均可通过改变控制参数随意调节，而上述的正弦反馈形式的延迟反馈不具有这种功能。

由此可见，本书研究的方法从形式、易实现性、理论证明方法和控制效果等方面都和具有正弦反馈形式的间接延迟反馈方法有很大差别。通过线性延迟反馈控制，可以产生具有真正意义的无穷维超混沌，与采用复杂的时空耦合关系得到的复杂网络和时空混沌相比，应用简单的方法，在相对简单的系统中产生具有无穷维的超混沌研究，具有理论意义和更好的应用前景。将这样的混沌应用于保密通信等场合，被加密信号将更加难以破译；在具有混沌运动的振动应用压实工程中，能得到更好的研磨和压实效果。

本文摘编自任海鹏著《线性延迟反馈控制系统分析及应用》一书文前及第一章部分，内容有删节。标题为编者所加。

《线性延迟反馈控制系统分析及应用》

任海鹏 著

北京：科学出版社，2019.3

ISBN 978-7-03-060026-4

责任编辑：宋无汗  赵微微

《线性延迟反馈控制系统分析及应用》对线性延迟反馈控制系统进行动力学分析，阐明产生分岔和混沌的机理。用电路实现Chen系统，在电路实验中观察到分岔和混沌行为。将系统中产生的超混沌应用于保密通信和Hash函数构建中，同时，应用于智能家居系统的信息传递和用户认证。将混沌系统应用于振动压实，设计振动装置，并进行实验研究。

本书可作为信息与通信系统、动力学系统分析与应用、控制理论与控制工程等领域科研人员和工程技术人员的参考书。

(本期编辑：王芳)

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