抽象的美与对称性紧密相关，而物理的普适是与不变性分不开的。对称性和不变性的刻画离不了群的概念，从而群论成为数学和物理的重要工具。然而现代物理告诉我们，世界是量子化的。因此经典的群概念只是量子对称性和不变性一个很好的逼近。怎样刻画量子世界的对称性和不变性及其更丰富多彩的现象成为一个重要而有趣的问题。近年来各种各样的量子群也涌现出来。量子群的一个应用出现在拓扑物质形态和拓扑量子计算的研究中。我们知道在拓扑物质形态分类时，仅仅使用Landau的对称群破缺是不够的。模范畴 (modular tensor category) 和有限群在模范畴上的作用扮演着重要角色^[1]。模范畴在物理里也被称为任意子模型 (anyon model) 。

2018年5月，《中国科学》杂志社在遵义成功举办了物质的拓扑态论坛，我应邀作了报告。在报告中，我讲到把模范畴当作阿贝尔有限群的量子推广的想法。这个类比已经催生了几个好定理，包括有限群论中Cauchy和 Landau定理的量子版本^[2]。《中国科学：数学》英文版2019年第3期刚刚发表了我们的最新研究论文"On generalized symmetries and structure of modular categories" ^[3], 崔星山，Modjtaba Shokrian Zini和我进一步系统地发展了这个思路。

量子群从Drinfeld 1986年国际数学家大会报告兴起。他把量子群定义为Hopf代数所对应的“李群”。但现在数学家提到量子群基本上是指某种Hopf代数。我个人喜欢把Hopf代数的表示范畴当作量子群，这其实更接近Drinfeld的原意。按我的想法，融合范畴 (fusion category) 是量子有限群，而模范畴是量子阿贝尔有限群。至少在这里，我将使用这两个名词。

有限单群的分类是数学史上的一个里程碑，那按我的类比，我们应该做量子有限单群的分类。目前并没有量子有限单群的定义。在我们的文章里，我们给了量子阿贝尔有限单群的一个定义。基于这个定义，我们给出了量子阿贝尔有限群结构的一个可能框架。

我们的量子阿贝尔有限单群的定义源于对拓扑物质形态对称性的研究。拓扑物质形态是包括拓扑绝缘体和量子霍尔效应电子液体的新的量子物质形态。这是近年来物理中的一个重要发展方向。一个直接应用是作为拓扑量子计算机的硬件（见下图）。经典晶体的分类是它们对称群的分类，拓扑物质形态本质上属于一种量子动态晶体（见下图），所以不难相信拓扑物质形态的分类根本上是这种动态量子对称群的分类。

（物理，2013年，第42卷，第8期，558—566）

在二维空间拓扑物质形态系统里，模范畴可以看成量子动态对称群的一个数学模型。因此模范畴的分类基本就是二维内蕴（有长程纠缠）拓扑物质形态的分类。近来物理学家又发现，有限群可以作用到内蕴拓扑物质形态上成为它们的对称性，从而引起很多可以观察到的新现象：比如电荷分数化，拓扑缺陷和把整体对称规范化成局部对称。这套理论基础是我和微软的同事发展的^[1]。我们的另一个目标是要把这套理论推广到量子群在拓扑物质形态的作用上。

我们用到的中心概念是已知的Linear Hopf Monad。我们把它作为模范畴上的对称，从而同时推广了有限群和范畴Hopf代数对称。除了和量子对称性的密切联系外，我们的另一个目的是想通过Linear Hopf Monad来构造一些在算子代数中猜想会出现的奇异模范畴，比如著名的Doubled Haagerup.

我们的文章仅仅是个开始，几乎所有重要的想法还都是猜想。人类现在对量子世界的感知几乎为零，描述量子对称性的数学才刚刚起步。

[1] Barkeshli M, Bonderson P, Cheng M and Wang Z. Symmetry, defects, and gauging of topological phases. ArXiv: 1410.4540, 2014.

[2] Bruillard P, Ng S H, Rowell E and Wang Z. Rank-finiteness formodular categories. J Amer Math Soc, 2016, 29(3): 857--881.

[3] Cui S X, Zini M S, Wang Z. On generalized symmetries and structure of modular categories. Sci China Math, 2019, 62: 417—446.

王正汉

University of California at Santa Barbara 教授、美国微软研究院Station Q首席研究员。2010-2013年任KITP (Kavli Institute for Theoretical Physics)-China顾问委员。2013年起在Perimeter Institute for Theoretical Physics任Distinguished Visiting Research Chair。1992—1993年获Alfred P. Sloan论文研究奖。2018年当选为美国数学会会士。主要研究领域是量子拓扑/代数、拓扑量子计算以及物质的拓扑态模型等。