• 杨志华
  

黎曼猜想（也称黎曼假设、黎曼猜测）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。具体表述为，函数ζ(s)的所有非显然零点均落在复平面的竖直线R(s)=1/2上。

1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

波恩哈德·黎曼 

黎曼猜想自提出以来，吸引无数数学家投身其中，引起数学界广泛关注。

1900年，德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中包括黎曼猜想。据说有人曾经问他：如果他能在500年后重返人间，他最想问的问题是什么?他回答说是：是否已经有人解决了黎曼猜想?

戴维·希尔伯特

2000年，美国克莱数学研究所将黎曼猜想列为千禧年七大数学难题之一，成功解决其中任何一个难题都将获得100万美元奖金。

2005年，Science杂志发布“全世界最前沿的125个科学问题”，黎曼猜想赫然在列。

2016至2018年，《科学通报》全方位解读“Science 125个科学前沿问题”，中国数学家葛力明撰文回顾黎曼猜想的历史和发展现状，认为“黎曼假设就是数学王国的半壁江山”。

葛力明在《科学通报》上回顾黎曼猜想历史和发展现状的文章首页

2018年9月，海德堡获奖者论坛上，89岁高龄的英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士宣称用“简单”而“全新”的方法证明了黎曼猜想，让这一重大数学猜想再度进入公众视野。

迈克尔·阿蒂亚

黎曼猜想自1859年提出至今已有160年。毫无疑问，黎曼猜想是艰深的，对黎曼猜想的验证是极其困难的，证明黎曼猜想注定是天才的游戏。

160年来，数学家们主要从两个方向来验证黎曼猜想。

第一个方向是计算黎曼ζ函数的非平凡零点。1903年，丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值，这些零点的实部全部都是1/2。1925年，Littlewood和Hardy改进了计算方法，算出前138个零点。随后，Hardy的学生利用Siegel于1932年得到的Siegel公式将非平凡零点算到1041个；人工智能之父图灵将非平凡零点推进到 1104 个。1966年，借助计算机，非平凡零点验证到350万个。1981年，荷兰数学家检验了最初的2亿个非平凡零点，证明黎曼猜想是对的。1985年，计算机已经能够算出前15亿个非平凡零点。2004年，这一纪录达到8500亿个。法国团队用改进算法，将黎曼ζ函数的非平凡零点计算到10万亿个，仍然没有发现反例。

第二个方向是证明临界线上零点个数的比例。英国数学家Hardy首先证明黎曼ζ函数的零点有无穷多个都位于实部是1/2的直线（临界线）上，但人们并不知道临界线以外是否存在零点。随后，挪威的Selberg证明了临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零，这意味着临界线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。进一步，美国的Levison引入独特算法，证明临界线上的零点占全部零点的比例达到34.74%。基于Levison的技巧，美国的Conrey在1989年把比例推进到40%，这也是迄今为止得到的最好结果。

人们普遍相信黎曼猜想的结论是正确的，但对它的验证依然是极度困难的。正如中国数学家王元所言：“黎曼猜想不像费马大定理和哥德巴赫猜想那样，只要有中小学数学知识的人，就知道其题意。”“研究它们的目的主要在于发展数学中的新思想与新方法。”“一旦黎曼猜想解决了，人类就站在不知比现在高多少的数学平台上，看到远得多的风景。”

王元

前路漫漫，对黎曼猜想的研究仍是进行时。