18 世纪的数学过于重视在自然科学中的应用，是近代以来西方数学背离古希腊数学的理性传统最远的时期。从19 世纪开始，西方数学界这种重应用、轻理性的风气终于逐渐发生了改变。首先，极限定义问题引发了数学家们越来越大的忧虑，贝克莱引发的第二次数学危机已经到了必须予以解决的地步。1821 年，法国数学家柯西（Augustin-LouisCauchy，1789—1857）开始在极限概念的定义上取得突破，1841 年之后，德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl T.W. Weierstraß，1815—1897）为极限提出了更完善的ε-δ 定义，一直应用至今。在柯西的努力下，微积分中一些重要的概念如连续、可导性、微分、积分、无穷级数的和等概念也都有了较为坚实的理论基础。这种分析数学方法，实际上就是在向古希腊数学精神回归。

但是在柯西之后，魏尔斯特拉斯等人发现为极限提出明确定义并没有完全解决第二次数学危机，因为极限的定义会牵涉到实数，而实数仍然是一个未定义概念。他们通过各自的研究，独立为实数提出了定义，这样到19 世纪90年代，实数理论也得到了充分的建立，微积分终于有了较为牢固的基础，第二次数学危机得到了彻底解决。

柯西虽然在分析数学领域做出了这样重大的贡献，但他却因另外两件事而备受后人指责，这就是他对挪威青年数学家阿贝尔（Niels H. Abel，1802—1829）和法国青年数学家伽罗瓦（éveriste Galois，1811—1832）的轻视。阿贝尔和伽罗瓦都把自己有关群论（group theory）的划时代的数学论文送给柯西，结果却被柯西弄丢了，导致他们的成果没有立即得到重视。柯西的这种作风，反映了当时数学界的眼界多少有些狭隘。当然，平心而论，这两位青年数学家的悲剧和他们的短命也有很大关系——阿贝尔因病去世，伽罗瓦则死于决斗。在他们英年早逝之后，他们在群论方面的研究成果很快就得到了学界承认，作为最古老的数学分支之一的代数学由此进入了一个更为抽象、更为高等的新时代，数学也因此开拓了全新的研究领域。

另一位和柯西一样对数学做出重大贡献、却背负了不爱惜人才恶名的数学家是德国的高斯（Karl Gauß，1777—1855）。高斯多才多艺，在数学和其他很多学科都取得了出色成果，其中最值得一提的是他为初等数论所做的奠基性贡献，这为数学开拓了另一个被后人称为“数学皇冠上的明珠”的领域——数论。但他不愿与人交往，更懒于提携后进。阿贝尔在拜访柯西之前，曾经把自己的论文给高斯看过，据说高斯只看了几行就丢到了一边。更令人心寒的是，高斯很早就怀疑欧氏几何中的第五公设（过已知直线外一点，能且只能作一条直线与已知直线不相交）不可能由其他4 条公设证明，更换这条公设可以建立非欧几何体系，但是他自己担心受人指责，生前一直没有公布这方面的研究。俄国数学家罗巴切夫斯基（Н.И.Лобачевский，1792—1856）在1826 年公开建立了非欧几何中的罗氏几何（其第五公设更换为“过已知直线外一点，至少可以作两条直线与已知直线不相交”），但在他饱受学界攻击的时候，高斯也未能站出来对这位数学后辈表示支持。当时的数学界之所以不能接受非欧几何，根本原因仍在于囿于数学须有应用性的成见，而无法接受逻辑谨严、但在现实中找不到对应物的几何体系。直到罗巴切夫斯基去世之后，非欧几何才逐渐为世人所接受。

无论是柯西、魏尔斯特拉斯等人对分析数学的贡献，还是高斯、阿贝尔、伽罗瓦、罗巴切夫斯基等人对数学新领域的开拓，都说明数学在19 世纪获得了长足进步，逐渐摆脱应用性的限制，而走在重新回到古希腊数学的道路之上。古希腊数学精神的巅峰，是欧氏几何的公理化体系。在19 世纪末，数学研究的一大潮流，就是在各分支建立公理化体系，然后彼此再整合成更大的公理化的、统一的数学体系。这当中，德国数学家康托尔（Georg F. L. P. Cantor，1845—1918）建立的集合论最为著名，它不仅成为比实数理论更基本的公理体系，而且为20 世纪的数学研究开放了更多的门径。然而，康托尔也因为其理论遭到许多攻击，甚至一度为此精神崩溃。不过最终，数学界吸取了从阿贝尔到康托尔的一系列教训，明确了数学的纯理性本质，从而在20 世纪基本避免重蹈覆辙，把无谓的指责施加于新数学思想的先行者。今天，数学界在回答“数学有什么用”的问题时，普遍还是愿意先指出数学首先追求的是理性之美，而不是有用。这和古希腊哲人对“无用”的科学的追求已经基本合辙同拍。

当然，也不可否认，到了20 世纪，数学的发展在相当程度上仍然要受到物理学等自然科学的影响。统计学的发展在很大程度上就是因为生物学的需求。虽然在一些现代科学哲学学派看来，数学（及逻辑学）因为不涉及实证问题（简单地说，就是理论是否能解释和预测现象的问题）而不能归入科学之列，但是从历史主义角度来说，数学和自然科学的关系是非常紧密的，很多数学家同时也是自然科学家。这就是几乎所有科学通史著作中都要把数学史包括进来的原因。

本文摘编自刘夙著《万年的竞争：新著世界科学技术文化简史 》（北京：科学出版社，2017.4）。

ISBN 978-7-03-052332-7

责任编辑：侯俊琳 牛玲

今天，人类再次走到历史的十字路口，对世界科技文化史本质的揭示，或许可以为解决当下的危及提供有益启示。

《万年的竞争：新著世界科学技术文化简史 》创新地从演化论心理学入手，重新审视世界科技文化史。作者明确提出：自1.2万年前的农业革命以来，人类仍然始终处在族群竞争之中；竞争所用的手段是各种自然技术和社会技术，以及作为一类特殊技术的科学。一部世界科技文化史，其实就是一部以族群关系为中心的世界史，相信不同领域读者都可从中获得丰富的启示。

（本期编辑：王芳）

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