数学如一束玫瑰,棘手,但很迷人.

数学的美是迷人的. 然而很多漂亮有趣的数学题,开始常常叫人产生无从下手之感,所以数学又常常是棘手的. 其中组合数学的问题更是五花八门,几乎每个题目都要有独特的思路,使你在解题的思考过程中得以充分享受“从山重水复走向柳暗花明”的乐趣,体验在百思不解后豁然开朗的快乐.

擅长组合数学的柳柏濂先生,从他多年研究成果和数学教学的思考中撷取精华,写成十几篇数学小品与读者共同分享,其书名取为«数学,棘手但很迷人»,是非常贴切的.

这本书是本丛书的第一册,丛书其他分册内容形式多有不同而各具特色. 编者用“棘手又迷人的数学”作为丛书的书名,想来主要是希望读者从多个角度领略数学的迷人和棘手之处.

柳先生的这些短文,引领我们走进一个颇有深度的数学世界. 他不满足于浮光掠影或眼前一亮,而是与读者一同思考和探索. 在脍炙人口的“阿凡提传奇”中,他选取了一个巧拆金环的故事,让我们在惊叹中,欣赏数论的完备分拆和有关的新结果.接着,作者带领我们从动物园的栅栏前和每天上下往返的楼梯中,走向组合数学的前沿观光;又从法国著名数学家傅里叶的经典提问,谈到中国古代的数学泰斗祖暅的数学原理;从生命科学“克隆羊”的伟大成就谈起,把现代图论的知识和思维奉献给读者. 其他如从有机化合物谈到红楼梦的族谱,再引出信息科学技术中的密码、树结构和有相当难度的机器证明;从宋代词人的名句将我们引向他的研究专题“组合矩阵论”中寻寻觅觅;又在绞肉机旁,把函数的迭代引向 “混沌”的动力系统理论;在眼花缭乱的应用中,我们领会了数学模型的真谛,尝到了数学的美味……“棘手但很迷人”,也就成为作者与读者的共同体验了.作者用几乎是文学而不是数学的笔触,给我们娓娓道出现代数学的“故事”. 这不是东采西摘的材料堆砌,而是一个二十多年来承担国家自然科学基金任务的教授在研究之余的思想札记.

“棘手但很迷人”，这是数学学习甘苦的内心独白，也是数学探索“无限风光在险峰”的壮志豪言.柳柏濂教授为本丛书奉献的另一本作品，《剖分和组合: 从七巧板到水立方》用古典组合几何到现代数学的发展，充分演绎了这一主题.作者从七巧板的拼装开始,浏览了中外的拼图游戏,智力难题,叙述了组合证明的前世今生,成败得失.从问题引出理论,由探索展现历史,这里有“引无数英雄竞折腰”的勾股定理,又有“化圆为方”的历史悬案,有正方形巧思苦想的优美组合,更有一球变两球的“ 惑众妖言”.铺砌地板,从规则到不规则,只能靠数学说话:镶嵌空间,从建筑到有机物,更依赖创造性思维.数学大师的问题,引导出主流数学的发展,人脑电脑的竞争,迸发出数学思想碰撞的火花.如果说,《数学棘手但很迷人》是一簇斗艳的鲜花的话,那么《剖分和组合:从七巧板到水立方》便是一轴秀丽的长卷，让人寻踪探究，欲罢不能.

古老的幻方,是棘手但却迷人的数学主题之一. 吴鹤龄先生为“好玩的数学”丛书写了一本«幻方及其他———娱乐数学经典名题»(第二版),引得许多读者对幻方入迷而且跃跃欲试,詹森先生就是其中之一. 詹先生玩幻方玩得熟能生巧,玩出了创新,把“棘手”玩成了顺手. 于是他为本丛书写了一本«你亦可以造幻方»,与读者分享成功的快乐. 书中提供了构造奇数阶的幻方、 完美幻方、 对称幻方、 对称完美幻方、 奇偶数分开的对称幻方等多种构造幻方的方法. 构造一个这样的幻方,只需两步或三步,这两三步小学生都可以做到. 即使你还没有完全理解其中的道理,也能造出许多个有各种特色的幻方.

具有不确定性的事件叫随机事件. 随机事件的数学问题常常是迷人而棘手的. 在“好玩的数学”丛书中«趣味随机问题»一书的作者孙荣恒教授,这次又为我们带来了一串新的故事. 他的新作«概率统计拾遗»,从平凡中发掘惊奇,给读者一个又一个意外. 比如打麻将要掷骰子定庄的问题. 有人认为自己掷骰子对自己坐庄有利,想自己坐庄者常抢着掷;有的人认为谁掷都一样,4家坐庄机会均等,都是 1/４. 两种看法哪一种正确? 意外的答案是都错了. 由此引出的纸上作业法,有各种各样的应用. 又如由鞋子配对引出的 Ｓ 矩阵给出四同、五同等问题的简单计算法. 孙先生通过简单、严谨的分析计算,得出的结论令人口服心服,其方法平凡而又有启发性. 像这样来自生活的看似平凡其实暗藏玄机的问题书中不少,有的例子涉及考生的成绩,有的例子涉及法官的判决,要想真正想明白,真是要有不怕棘手的精神.

如果在棘手的辛劳之余想轻松一下,就翻翻本丛书中的另一本«邮票王国中的迷人数学»吧. 作者之一是大家熟悉的易南轩老师,他的«数学美拾趣»(第二版)深受读者欢迎,也是“好玩的数学”丛书中的一册. 另一位作者王芝平老师也是作品颇丰的数学教育专家. 两位老师花费了三年多的光阴和心血,收集整理了 1 多枚与数学有关的邮票,按图索骥,向我们一一道来.邮票的轮廓联系着各种几何形体,邮票的主题或涉及数学史上的事件,或纪念数学家的丰功伟绩,或展示数学的应用,琳琅满目,美不胜收. 联系着这上千余枚邮票,作者纵横畅叙,笔墨酣畅,谈古论今,说天看海,大至卫星飞船,小至象棋游戏,都和数学的美妙关联起来. 不论是数学爱好者、集邮爱好者或一般的读者,都能在阅读此书时享受人类文明之雅趣. 不过这并不棘手,棘手的工作作者已经代我们辛劳了.

易南轩老师对邮票上的数学意犹未尽,又推出了新著«邮票苍穹中最亮的108 颗数学之星»让我们通过邮品结识了许多在历史长河中有重要影响的数学家. 数学爱好者会对这些精美的邮品兴味盎然;集邮爱好者则可从中了解到许多数学家的故事及相关的数学知识,可增进对数学的兴趣. 数学教师在介绍数学家和一些数学知识时,可从中挑选出与之相关的几枚邮票,穿插、融汇于教学之中,会把数学讲授得更加形象生动、更加有趣诱人!

易南轩老师奉献给读者的又一作品,书名叫做«当数学遇上诗歌».最冷静的科学与最热情的艺术相遇,会是怎样的奇景呢? 描述分析这奇景的来龙去脉,是棘手的任务,又是迷人的向往. 易老师带着数学的冷静和诗人的热情,娓娓道来,告诉我们一个又一个数学遇上诗歌的故事. 我们看到:用数学的思维和方法去认识诗歌,就会发现诗歌的别样美丽;从诗歌的角度来欣赏数学,就会发现数学的别样精彩. 文学修养与数学思维都是现代人不可或缺的文化素质,当今社会正迫切呼唤人文素养和理性精神兼备的人才出现. 读这本书,当利于文理素养的比翼双飞,相互促进.

《棘手又迷人的数学》的读者可能有男女老少,可能术业各有专攻,对数学的理解和鉴赏的角度与能力各不相同. 有人认为棘手的问题,也有人能够驾轻就熟地手到擒来.但编者希望并且相信,每位翻阅过丛书的朋友都能从中看到几点迷人的星光;果真如此,那将是作者和编者最大的快乐.

中国科学院院士

计算机科学家、数学家

2011年 11 月 9 日初稿

2016 年 10月 6日补正

本文摘编自张景中院士为《棘手又迷人的数学》丛书写的总序（ 责编：李 敏）。

（本期编辑：安 静）

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