晶格振动

在原子相互作用势做简谐近似和最近邻近似下，给出一维单原子的运动方程，给出通解得到色散关系。

1、波数的唯一性

由于晶格的离散性，相同的原子运动位型可以对于不同的波长。为了让波长和原子运动位型是唯一对应的把波数取值限定在第一布里渊区。

2、玻恩-卡门边界条件

给出波矢q的数目为N，其中N原子链中原胞的数目。

一维原子链的格波为纵波，是简谐波。对于一维单原子链，只有一支声学支格波，每一组（q,ω）确定一列简谐格波，共有N列不同的简谐格波，对应于N种不同能量的声子。每种声子的个数n_i取决于系统的温度，由波色-爱因斯坦分布给出。

对于一维双原子链，每个原胞中含有两个原子，有一支声学支格波和一支光学支格波，每一q对应两个不同ω。共有2N个不同的简谐格波，对应2N种不同的声子，每种声子的个数n_i取决于系统的温度，按照波色-爱因斯坦分布给出。对于一维三原子链，每个原胞中含有三个原子，有一支声学支格波和两支光学支格波，每一q对应三个不同ω。共有3N个不同的简谐格波，对应3N中不同的声子，每种声子的个数n_i取决于系统的温度。

对于三维晶格，有N个原胞每个原胞中有n个原子。由于每个原子有3个自由度，这时对于每个q声学波有三种：一列纵波和两列横波，共有3N列声学波。其余的(3n-3)N列为光学支格波。简谐格波的总数为3nN等于晶格中原子的自由度数，系统与电子、中子交换的不同种类的声子数3nN。声子是晶格系统能量改变的基本单元，是描述晶格热容、热输运性质的准粒子。同样，可以描述晶格与电子、中子、电磁波的相互作用。