拓扑向量空间
可以赋范当且仅当它的原点具有有界凸邻域。
必要性:
拓扑向量空间
可以赋范,则有与拓扑空间相容的范数
,此时考虑单位球,
,
是凸邻域是显然的。
证毕。
注意对于一般的度量空间的球未必是凸的,在度量空间里面完全存在半径为3的球,包含在半径为2的球里面,这与我们的直觉有很大的差异。
充分性:若
是
的有界凸邻域,则存在有界均衡凸邻域
,
,在
定义半范数:
,其中为Minkowski泛函,易知Minkowski泛函是半范。仅需验证分离性即可,即
易知
构成了
的局部基,如果
,则根据Minkowski泛函性质可知,
,显然可以知道Minkowski泛函定义了一个范数
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球形极大函数中的插值定理