T：今天讲讲非欧几何。

       S：这是什么东东？

T：几何你懂吧?

       S：似懂非懂……

T：那好，就说你懂的。这是一个三角形，你懂吧？

       S：这个我懂。

T：那么什么是三角形呢？你能否给下个定义？

       S：由三条线段，两两端点相连，围成的一个区域。

T：正确。那么什么是线段呢？

       S：就是直线上两个点之间的部分。

T：你能不能不借助直线的概念给线段下个定义，否则你必须回答什么是直线？

       S：我先试试回答什么是直线吧……好像没学过直线的定义……

T：嘿嘿……

       S：对了，两点之间直线最短。

T：绕了一圈又回到线段了。

       S：好吧，按你的思路，抛开直线。线段就是两点之间最短的路径，包括端点。

T：恩。三角形有个内角和定理。

       S：三个内角和为180°。

T：什么是180°？

       S：180°就是平角的角度。

T：什么是平角？

       S：将线段中间某点看做角的顶点，将该点所分得的线段的两部分看做两条边，这个角就是平角。

T：简单地讲，平角的两条边可以构成一条线段或直线。

       S：内角和定理就是，三个内角相加得到一个平角。

T：没错！不过这只在欧氏几何中成立。今天要讲的非欧几何就是内角和定理不再成立的几何。

       S：可是内角和定理显然成立啊？

T：哪里显然了？

       S：过A作PQ//BC。∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠PAB+∠QAC=∠PAQ,PAQ三点共线，所以内角和是平角。

T：你用到了内错角相等定理。这个定理你能证明吗？

       S：由同旁内角互补，可以推导出内错角相等。你是不是还要让我证明“同旁内角互补”？

T：试试看。

       S：反证法。如果同旁内角之和小于平角，根据第五公设两条直线会相交，与平行的前提矛盾。

T：没错。同旁内角之和大于平角的情况，证明方法基本相同。

       S：还可从内错角相等推出第五公设。看来第五公设、内错角相等、同旁内角互补是等价的。

T：对。再一个同位角相等，四个命题等价，任何一个都可作为第五公设。

       S：恩，那又怎么样，难道这些不是显然成立吗？

T：不要总是显然显然的，好像别人都是傻瓜一样！

       S：你不也总是说“显然”吗……

T：数学家说的显然是逻辑上的必然，你说的显然是经验上的必然。可“经验上的必然”本身就是自相矛盾。

       S：那你说难道还能不是这样吗？

T：现在给你举个反例。比如地球上0°经线、90°经线、赤道所围成三角形内角和就是三个直角270°。

       S：你说的根本不是三角形，是个曲边三角形。不要对我说“白马也是马”，否则我会鄙视你……

T：我才不玩那种文字游戏。你认为是曲边三角形那是从三维空间看。讨论二维图形，试着从二维空间看看。

       S：难道从二维空间看它就是三角形了？

T：怎么不是呢？三角形的定义是什么？线段围成的区域。线段是什么？两点间的最短路径。

       S：球面上两点间的最短路径是大圆的弧……这么说来确实可以算是三角形。

T：在球面上，不存在平行的两条直线。

       S：我觉得你即使不是故弄玄虚也是把简单问题复杂化了。跳出二维，用欧式几何不一样能解释吗？

T：没错欧式立体几何也能处理这个问题。在欧式几何中，图形不再是三角形，而是三条曲线围成的图形。这样就与三角形内角和定理井水不犯河水了。

       S：那你举这个例子想说明什么？

T：我举这个例子，只是想阐明非欧几何产生的逻辑。在我们刚才的讨论中，仅从三角形的定义，或者进一步说，是从线段和直线的定义出发，就得到了球面上第五公设不再成立的结论。这说明了什么？

       S：什么？

T：说明第五公设不是经验上的唯一选择。

       S：数学又不是自然科学，不需要实证，自圆其说就可以。

T：是的。但是如果将数学视为认识世界的工具，就必须有经验的介入。

       S：你是把第五公设看成了一条物理规律。

T：不错。数学之所以有那么大用处就是因为很多公理都与经验相符，连逻辑推理法则都与经验相符。况且几何研究的是空间的问题，说它是物理学也不过分。比如物理学中的运动学，其实不就是考虑了时间的几何吗？

       S：运动学我不懂。即便第五公设不是唯一选择，至少也是最佳选择。从例子来看欧氏几何更直接。

T：从球面三角的例子引出二维非欧几何，是因为可以使其性质在三维欧式空间中直观地展现出来，便于你观察和理解。所以你最好不要迫不及待地贬低非欧几何，这不是学习的态度。如果我一上来就讲三维非欧几何，难道你还能跳到四维欧式空间中观察吗？

       S：原来如此。

T：例子中的二维非欧问题可以呈现为三维欧氏问题，是因为二维空间的弯曲由三维空间决定，形式上表现为曲面形状只依赖于三维欧氏空间坐标，是几何变换。这是一个纯几何问题。

       S：那么还有不是纯几何问题的情况吗？

T：当然，比如物理规律引起的空间弯曲。广义相对论就认为引力能够引起三维空间的弯曲。这种空间弯曲就可以在三维欧氏空间中呈现。

       S：我们生活在弯曲的空间中？怎么测量空间是否弯曲呢？

T：首先必须明确什么是直，然后与直比较，不一样的就是弯。

       S：那么什么是直呢？

T：用物质的运动来规定，比如真空中（不存在各种场）的光直线传播。

       S：几何本身不能定义直吗？最短路径不就是纯几何的定义吗？

T：恩，这个问题下次课再回答你。时间到了，下课。