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关于非欧几何的对话

已有 8189 次阅读 2015-2-28 10:36 |系统分类:科普集锦

T:今天讲讲非欧几何。

       S:这是什么东东?

T:几何你懂吧?

       S:似懂非懂……

T:那好,就说你懂的。这是一个三角形,你懂吧?

       S:这个我懂。

T:那么什么是三角形呢?你能否给下个定义?

       S:由三条线段,两两端点相连,围成的一个区域。

T:正确。那么什么是线段呢?

       S:就是直线上两个点之间的部分。

T:你能不能不借助直线的概念给线段下个定义,否则你必须回答什么是直线?

       S:我先试试回答什么是直线吧……好像没学过直线的定义……

T:嘿嘿……

       S:对了,两点之间直线最短。

T:绕了一圈又回到线段了。

       S:好吧,按你的思路,抛开直线。线段就是两点之间最短的路径,包括端点。

T:恩。三角形有个内角和定理。

       S:三个内角和为180°。

T:什么是180°?

       S:180°就是平角的角度。

T:什么是平角?

       S:将线段中间某点看做角的顶点,将该点所分得的线段的两部分看做两条边,这个角就是平角。

T:简单地讲,平角的两条边可以构成一条线段或直线。

       S:内角和定理就是,三个内角相加得到一个平角。

T:没错!不过这只在欧氏几何中成立。今天要讲的非欧几何就是内角和定理不再成立的几何。

       S:可是内角和定理显然成立啊?

T:哪里显然了?

       

     

       S:过A作PQ//BC。∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠PAB+∠QAC=∠PAQ,PAQ三点共线,所以内角和是平角。

T:你用到了内错角相等定理。这个定理你能证明吗?

       S:由同旁内角互补,可以推导出内错角相等。你是不是还要让我证明“同旁内角互补”?

T:试试看。

       S:反证法。如果同旁内角之和小于平角,根据第五公设两条直线会相交,与平行的前提矛盾。

T:没错。同旁内角之和大于平角的情况,证明方法基本相同。

       S:还可从内错角相等推出第五公设。看来第五公设、内错角相等、同旁内角互补是等价的。

T:对。再一个同位角相等,四个命题等价,任何一个都可作为第五公设。

       S:恩,那又怎么样,难道这些不是显然成立吗?

T:不要总是显然显然的,好像别人都是傻瓜一样!

       S:你不也总是说“显然”吗……

T:数学家说的显然是逻辑上的必然,你说的显然是经验上的必然。可“经验上的必然”本身就是自相矛盾。

       S:那你说难道还能不是这样吗?

T:现在给你举个反例。比如地球上0°经线、90°经线、赤道所围成三角形内角和就是三个直角270°。

       S:你说的根本不是三角形,是个曲边三角形。不要对我说“白马也是马”,否则我会鄙视你……

T:我才不玩那种文字游戏。你认为是曲边三角形那是从三维空间看。讨论二维图形,试着从二维空间看看。

       S:难道从二维空间看它就是三角形了?

T:怎么不是呢?三角形的定义是什么?线段围成的区域。线段是什么?两点间的最短路径。

       S:球面上两点间的最短路径是大圆的弧……这么说来确实可以算是三角形。

T:在球面上,不存在平行的两条直线。

       S:我觉得你即使不是故弄玄虚也是把简单问题复杂化了。跳出二维,用欧式几何不一样能解释吗?

T:没错欧式立体几何也能处理这个问题。在欧式几何中,图形不再是三角形,而是三条曲线围成的图形。这样就与三角形内角和定理井水不犯河水了。

       S:那你举这个例子想说明什么?

T:我举这个例子,只是想阐明非欧几何产生的逻辑。在我们刚才的讨论中,仅从三角形的定义,或者进一步说,是从线段和直线的定义出发,就得到了球面上第五公设不再成立的结论。这说明了什么?

       S:什么?

T:说明第五公设不是经验上的唯一选择。

       S:数学又不是自然科学,不需要实证,自圆其说就可以。

T:是的。但是如果将数学视为认识世界的工具,就必须有经验的介入。

       S:你是把第五公设看成了一条物理规律。

T:不错。数学之所以有那么大用处就是因为很多公理都与经验相符,连逻辑推理法则都与经验相符。况且几何研究的是空间的问题,说它是物理学也不过分。比如物理学中的运动学,其实不就是考虑了时间的几何吗?

       S:运动学我不懂。即便第五公设不是唯一选择,至少也是最佳选择。从例子来看欧氏几何更直接。

T:从球面三角的例子引出二维非欧几何,是因为可以使其性质在三维欧式空间中直观地展现出来,便于你观察和理解。所以你最好不要迫不及待地贬低非欧几何,这不是学习的态度。如果我一上来就讲三维非欧几何,难道你还能跳到四维欧式空间中观察吗?

       S:原来如此。

T:例子中的二维非欧问题可以呈现为三维欧氏问题,是因为二维空间的弯曲由三维空间决定,形式上表现为曲面形状只依赖于三维欧氏空间坐标,是几何变换。这是一个纯几何问题。

       S:那么还有不是纯几何问题的情况吗?

T:当然,比如物理规律引起的空间弯曲。广义相对论就认为引力能够引起三维空间的弯曲。这种空间弯曲就可以在三维欧氏空间中呈现。

       S:我们生活在弯曲的空间中?怎么测量空间是否弯曲呢?

T:首先必须明确什么是直,然后与直比较,不一样的就是弯。

       S:那么什么是直呢?

T:用物质的运动来规定,比如真空中(不存在各种场)的光直线传播。

       S:几何本身不能定义直吗?最短路径不就是纯几何的定义吗?

T:恩,这个问题下次课再回答你。时间到了,下课。





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