学者们研究曲线、曲面、联络和场等对象，这些对象是表示几何量（如能量和体积）的函数的临界点。例如，极小曲面是面积的临界点，而调和映射是 Dirichlet 能量的临界点。 --- (http://www.abelprize.no/binfil/download.php?tid=74096)

http://math0.bnu.edu.cn/~jgbao/rencaipeiyang/beautiful%20soap.pdf (<---美丽肥皂泡背后的数学)

"伍伦贝克荣获2019阿贝尔奖，是因为她在几何分析和规範场论的扎实研究，显著地改变了数学领域。。。。。她的理论让我们对像是肥皂泡组成的极小曲面(这是“肥皂膜如何将自己排列成能量最小化形状”的数学理论)，和更高维度裏广泛的极小化问题的理解，产生革命性影响。" 她的理论彻底改变了我们对于极小曲面（minimal surface）的理解，例如肥皂泡的曲面，以及更为广泛、更高维度的最小化问题。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/59765355:

在布兰迪斯大学，她完成了以变分法为主要内容的博士论文，取得了数学博士学位。变分法研究的是，一个量的微小变化能如何帮助我们找到另一个量的最大或最小值，例如如何找到两点之间的最短距离。你或许会认为这应该是一条直线，但答案并不总是这么简单。比如你要开车穿过一个繁忙的城市，那么最快的路线不一定是最短的那条。当然，乌伦贝克对这个领域的贡献要比这复杂得多。

乌伦贝克最具影响力、也是她最引以为豪的成果之一，是发现了一种被称为“泡泡”的现象，这是她与合作者乔纳森·萨克斯（Jonathan Sacks）共同完成的一项开创性工作的一部分。萨克斯和乌伦贝克研究的是“极小曲面”，它背后的数学理论涉及到肥皂膜是如何让自己形成能将能量最小化的形状。但这一理论总是会因为出现那些能无限集中能量的点而遭到破坏。乌伦贝克的洞见是，将这些点进行“放大”，她发现，实际上发生的是从曲面上会分离出一个新的泡泡。

(https://www.impan.pl/konferencje/bcc/2018/18-lorentzian9/talks_contributed/pelegrin_talk.pdf)

是受肥皂泡启发提出的“极小曲面”，其背后的数学理论涉及到肥皂泡用什么形状包裹自己的能量才能达到最小面积。

受肥皂泡启发。肥皂泡表面薄膜被视为由最小面积而获「极小曲面」，她针对研究薄膜的行为模式，为预测数学带来重大突破，且能够应用至不同的科学层面，包括有助研究人员模拟电场等多个物理现象。

https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-03-20-12:

在乌伦贝克的早期研究中，她在高维弯曲空间里形容了肥皂泡的形状。

「肥皂泡」是数学家称之为优化问题的一个例子，这些问题通常非常困难且不知道有多少个解。「你可以提出这样一个问题，你在 n 维空间中有一个肥皂泡，」乌伦贝克介绍道，「事先你不知道肥皂泡的最小形状会是什么。」

宇宙经常是懒惰的，总会寻求能耗最少的解决方案。在平面中，我们可以简单地说明优化问题：两点之间的最短距离是直线。即使在像地球这样的曲面上，问题也有一个简单的答案——一个被称为大圆的弧。但在肥皂泡中——三维空间中的二维表面——问题就会变得复杂。为了使表面张力最小化，气泡会形成具有最小面积的形状——球体。当两个或多个气泡彼此接触，或在扭曲的金属环内部形成肥皂膜时，气泡的形状会变得更复杂，但仍遵循最小面积的规律。

在更高维度上，理论会变得更加困难，标准技术完全无法使用。对此，乌伦贝克构建了一些革命性的技术。粗略地说，她找到了近似问题的解决方案，然后试图限制这些近似解以获得实际解。

https://www.zhihu.com/question/316761536/answer/628129543 (作者：孙志强, 来源：知乎):

1. 1981年的Sacks-Uhlenbeck 里研究了二维的调和映射，我觉得最有意思的两个可以说是现象级的技术，方法就是 后来被人称之为 "小能量正则性" 的 trick以及Bubbling也就是我们在考虑某些特殊的能量泛函和其对应的 Euler-Lagrange 方程的时候， 如果在局部，其能量足够小，我们可以得到解的正则性，奇点，爆破解在这里面不会发生，反之我们可以用Blow UP吹出Bubble 来研究。这成为几何变分问题，几何流的常用方法，为无数人提供了饭碗。高维的推广就是 Schoen-Uhlenbeck 的工作。应用层面，Gromov受到此工作的启发研究 Pseudo-holomorphic curves 序列的收敛问题，提出了Cusp-Curves 的概念，成为伪全纯曲线模空间紧化的重要工具。今天被称为 Gromov-Compactness, 因为到辛流形的非常值伪全纯曲线也必是极小曲面，Cusp curves也是在奇点附近吹Bubble得到的。这部分不太了解，欢迎做辛几何的大佬补充。

2. 1982年发表在CMP的两篇奠定 Yang-Mills 理论分析基础的论文。Yang-Mills 方程对比一般的椭圆PDE的难点在于他根本不是椭圆方程，多了个规范变换的自由度，这个时候选取合适的Gauge以得到正则性就成为了这项工作的真正难点。可以粗略地认为这也是一种类似调和映射的小能量正则性，只不过我们要求曲率的LP范数有界，其中P足够大，这个时候经过适当的规范变换我们可以得到YM方程解序列的强收敛性，详细论证可以参考Uhlenbeck Compactness. 应用层面，启发了Donaldson早年关于ASD模空间的研究。

3. 1986年和Yau证明了最一般情形的Hitchin-Kobayashi对应，也就是紧的一般维数的K&auml;hler流形。多年前为了水一篇小文章仔细读过这篇论文，被最后一部分够找Sub-sheaf那里二位先生强大的偏微分方程和多复分析能力深深震撼到了，这部分的简化证明直到2003年才由Demailly的一个博士生完成: A simple proof of a theorem by Uhlenbeck and Yau

https://en.wikipedia.org/wiki/Karen_Uhlenbeck :

Selected publications[edit]

Books[edit]

Research articles[edit]

CLP.	Uhlenbeck, Karen K. (1982). "Connections with Lp{\displaystyle L^{p}} bounds on curvature". Communications in Mathematical Physics. 83 (1): 31–42. doi:10.1007/bf01947069. MR 0648356.