关于Wiener-Хинчин定理的注释
                                                                            邹谋炎
     为春季研究生课程准备讲稿中翻了几本参考书，发现有国内较流行的信号处理书上关于Wiener-Хинчин定理的介绍很不准确，在某些国外资料上也有类似问题，不得不写此注释，供教师们和学习者判读。
      Wiener-Хинчин 定理通常被简单化说成：信号自相关的傅里叶变换等于信号的功率谱。在应用中可以接受这种说法，因为工程应用中总是处理有限长连续信号或序列，对这样的连续信号或序列可以进行傅里叶变换或离散时间傅里叶变换。这是Wiener 早期工作的结果，不过这个结果的证明比较简单。因为对有限时间信号或序列，为了证明信号自相关的傅里叶变换等于信号的功率谱，直接利用关于傅里叶变换或离散时间傅里叶变换的卷积定理就够了（当然，也可以通过z变换）。
      然而，如果处理的是一般的随机信号或序列，它在时间上是无限长的，信号可能不是绝对可积或平方可积，因而不一定能够实施傅里叶变换。这种随机信号的自相关也是如此。关于“信号自相关的傅里叶变换等于信号的功率谱”的说法就可能缺乏根本。Хинчин 的工作解决了这个有深度的问题，其中还借用了其他研究者的结果。
         Wiener-Хинчин 定理包括以下两方面内容。
（1）证明广义平稳过程的自相关有一个谱分解表达式：
                 R(τ) = ∫_-∞^+∞exp(jωτ)dF(ω),    （1）
其中F(ω)是一个有界非降函数，称为平稳过程x(t)的(积分)谱函数。如果F(ω)是绝对连续的，可令F‘(ω)= f(ω), f(ω)称为x(t)的谱密度。这时（1）式可以写成
                 R(τ) = ∫_-∞^+∞exp(jωτ)f(ω)dω.       （2）
以上式（1）是一个Stieltjes积分，这种形式的积分在概率论和随机过程的数学书中普遍使用。原因是Stieltjes积分能够逐点定义，才能够描述离散随机变量或离散-连续混合随机变量的分布函数（容许谱密度中包含线谱）。重要的是，式（1）和（2）都不要理解成傅里叶变换，虽然形式上如此。这里，式（1）或（2）能够理解成随机变量x(t)的一种特征函数，也就是期望值E[exp(jωτ)]。
      关于式（1）表达事实的证明比较长，此处只能列出步骤。首先证明，平稳随机过程x(t)的自相关函数R(τ)在（-∞，+∞）上有界连续，且正定。这里函数的正定是指,对任何n个复数a₁,a₂,…a_n和任何n个实数τ₁，τ₂，…,τ_n,皆有不等式
                    Σ_i,_j=1ⁿ R(τ_i-τ_j)a_ia_j* ≥0。
在此条件下，再证明R(τ)是一个特征函数，它能够唯一地决定一个分布函数F(ω)。
      以上事实是Wiener-Хинчин 定理的第一部分。归纳起来就是：平稳随机信号的自相关是该信号谱(分布)函数的特征函数。注意以上只涉及“系综统计”（Ensemble Statistics），没有涉及时间过程统计，也就没有“功率”的概念。甚至，直到这里，所谓“谱函数”“谱密度”和频率域的“谱”还没有扯上关系。
      (2)  Wiener-Хинчин 定理的第二部分是说，如果平稳随机信号在任意增大的有限时段上计算的功率谱存在，那么这种功率谱的期望值等于信号按（2）式定义的谱密度。公式表达就是，如果傅里叶变换
             X_T(ω)= ∫_-T^+Texp(-jωt)x(t)dt             （3）
对任何有限的T存在，那么
              S_T(ω)：= E[lim_T→∞(1/2T) |X_T(ω)|²]= f(ω)。  (4)
上式的简单说法就是功率谱等于（分布）谱密度。
      Wiener-Хинчин 定理的第二部分证明比较容易，在许多资料上都能够找到。不过许多资料将定理中有难度的第一部分略去了，直接将式（2）解读为傅里叶变换，并认为式（3）理所当然，再证明式（4），这是不严谨的。
      归纳起来Wiener-Хинчин 定理可以解说为，广义平稳随机信号x(t) 按时间统计计算的功率谱如果存在，其期望值等于信号按系综统计的谱密度；而信号自相关是该谱密度对应的特征函数。
       附注：
     （1）本注释只针对连续的平稳随机信号作了解说，对平稳离散随机序列，Wiener-Хинчин 定理可以类似地解说。
      （2）某些中文书籍上将有限序列自相关的z变换性质
                      R(z)=X(z)X*(1/z*)             （5）
称为“谱分解定理”，这与平稳随机信号理论中的谱分解定理没有关系。事实上。（5）只是一个性质，似无必要称为定理。