反问题、最优化和陷阱

                                                                              邹谋炎
      最优化方法对于处理数学物理反问题已经变得流行。在研究论文中，这是增加“颜值”的有效捷径。以图像处理问题为例，“IEEE Trans. On Image Proc.”这个杂志，几乎每期都成了“巨无霸”，说明热度非凡。凡和“反问题”相关联的问题，如成像、复原、超分辨重建、稀疏重建、去噪，等等，处理办法变得很八股：定义一个价格函数由两项组成：最小化第一项表达原本问题对解的限制，最小化第二项是为克服病态引入的对解的附加限制。反问题的病态表现为第一项的最小化不足以限定解的唯一性，需要第二项来帮忙。这个方法称为“Regularization”，有人译为“正则化”，译为“规整化”似更合理，因为它和汉义“正则”完全是不同的含义。问题在于，实现Regularization对第二项的选择会因人而异、因观点而异。对第二项的许多种选择都可以定解，但不同第二项选择导致的解是实实在在不同的！那么，对第二项的哪一种选择能导致物理上希望的真解？恰恰这个基本问题数学家们并没有找到答案。事实上，许多文章从数学看很漂亮，但结果并不理想。这样的文章在当前的许多种刊物，包括国内外顶级学术刊物处处可见，不单是本文提到的那个杂志。
         图像超分辨和稀疏重建是典型例子。论文延绵不断，有的作者报道的仿真例子看起来还不错，但明显没有达到希望的目标。有人以为构造一个凸的价格函数能够解决问题，事实并非如此。原因不难理解：数学上的定解并没有证明所定的解就是物理上希望的真解。职业研究者（例如教授们）应该有敏感性，或者问一问，这条路子继续走下去会如何？而本文主要是希望给年轻研究者一个提醒，对数学漂亮的论文和方向要学会审视。追热研究道路上的陷阱非常多，如果陷下去，有可能只得到熬白头这个结果。
       笔者绝非对最优化方法处理反问题持完全否定的态度，只是说这种方法的能力很有限。有进取精神的研究者不应该受限于一种套路。
       笔者不反对博士生们仍然使用这个套路出论文，那仅仅是因为多数博士生创造能力和时间受限，而又希望按时毕业，并且SCI对此常常也青睐。
        怎么办？笔者认为发掘物理途径是职业研究者解决问题的可能方法。回归到原来的物理问题，重新认识现象和过程，看看能不能找到提升技术、添加辅助观测、发掘物理约束的办法。如果你的原问题来源于实际而不是来源于书本杂志，你可能会找到许多出路并有所发现。
（在基金评审中感觉此问题似有普遍性，故提出供研究者参考）。