研学小记：卷积不卷（4）

―― 相位恢复中的支持域估计

                                                                                                                                邹谋炎

所谓相位恢复，是依据傅立叶变换幅度，得出原图像的问题。X 射线衍射分析技术是分析材料分子结构的基本技术。可观测到的衍射（Bragg衍射）图样是一个二维函数傅里叶变换的幅度，测不到相位。这个幅度函数称为材料分子的结构因数，如果找到了它，通过富氏反变换就可能得到分子的电子密度函数，就是常说的分子结构。X射线分析技术的大量工作是搞（猜、估、推、试）一个方法来弥补相位。相位恢复是用数字图像处理方法，从傅立叶变换幅度，估计相位，得出原图像。虽然实际问题绝非描述的那样简单，由于此方法有可能给X 射线衍射分析技术带来革命性进步，研究人员仍然正在不懈努力中。

相位恢复问题还来源于天文图像处理。例如地基天文观测会受到大气层不均匀扰动的影响，犹如隔着紊乱皱褶玻璃看图像，并且还是时变的。有些观测处理方法能够较准确地估计目标图像傅里叶变换幅度，但得不到相位。

从70年代起，图像相位恢复成为图像处理领域中“最有兴趣和最富挑战性的问题之一”。一种迭代富氏变换方法被实践证明在许多情况下可行，但不总是可行。实践证明，如果对图像的支持域（图像象元值不为0的全体坐标点集合）有一个紧的估计，相位恢复的迭代算法会快速收敛到正确解。

支持域估计，是通过目标自相关支持域，估计目标支持域。因为傅里叶变换幅度已知，就能得到自相关。搞清自相关支持域和目标支持域的关系，就变得重要。自相关是原图像和它的（两个坐标的）翻转版本的卷积。对复杂图形，实施翻转、卷积操作会给研究者带来空间想像上的困难。利用“不卷”的卷积计算方法不仅计算上直观，而且很容易了解自相关支持域和目标支持域的关系，使支持域估计更容易把握。注意，x(m,n) 的自相关是 x(m,n)*x(-m,-n), 而不是别的。