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研学小记: 卷积不“卷” 精选

已有 18243 次阅读 2011-3-26 11:49 |个人分类:研学小记|系统分类:科研笔记

研学小记:   卷积不“卷”

                                                                           邹谋炎

 

卷积是由两个函数h(t)f(t) 产生出第三个函数g(t) 的一种运算,按以下公式实施:

           ∫-∞ ∞h(t-τ )f(τ)dτ = g(t)

对卷积运算的历史源头缺乏考证。至少从1903年起,德国数学文献中就有Faltungconvolution这些称呼,其中含有“卷摺”的含义。也许从那个时候起,老师们就这样教导学生做卷积运算:为了计算每个时间点 的卷积结果,需将h(τ)翻转为h(-τ),再平移为h(t-τ),与f(τ)乘积的结果,求面积。这个解说是没错的,并且因为h(τ)要被翻转,成为“卷积”这个称呼的来源。但问题是,当卷积用于工程时(例如信号处理)这个解释符合物理事实吗?例如,一个线性系统的脉冲响应是h(t), 输入信号是 f(t), 在获得系统输出的过程中,必须要求h(t) f(t) 在时间上(或空间上)必须被翻转吗?这显然不是事实!现在的问题出在哪里?

问题出在刚才的解说仅仅是一个数学解说。另一种解说就没有这样的困难:将h(t)平移一个时间量τ成为h(t-τ),乘在τ处的函数值f(τ),取遍所有τ,将乘积累积起来,就得到卷积的结果。后一种解释其实是最老的解释:叠加原理。按这种解释,卷积不必“卷”。

不“卷”的理解给卷积计算上带来直观性的方便。以两个有限长序列的有限卷积为例,卷积计算可以和多位数乘法的做法完全类似。

 

例:h(n) = { 2  5  3};  f(n) = { 3  0  12  4 } 计算格式可以如下:

      

       h(n):           2    5     3   

       f(n):           3    0     12     4    

    -----------------------------------------------------------------------------

                      6    15    9

                             0     0      0

                                   24     60     36

        +                                  8      20     12

    ---------------------------------------------------------------------------------

       g(n):           6    15    33     68     56     12   

 

   事实上,不“卷”的计算方法已被用来构造数字化的卷积器。

   不“卷”给多维卷积计算和分析带来更多直观的好处。作为例子,下面随便构造了两个几何图形,假定这是两个定义在二维平面上的函数,图形内是1,图形外是0。现在希望计算这两个有限支持上的二维函数的卷积,只要给出卷积结果的支持域就好(这是分配函数论中关心的问题)。这留作问题,有兴趣者,不妨练习一下,把结果放到网上。这个问题保留一个星期。  

 

     

     结论:学习理论时不要受传统和思维定势的束缚。



大话卷积
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