Ising model是一个最简单的连续相变模型。

对应的实际问题是铁磁性物体的相变性质。

Ising 模型的这种处理方法被归为{统计物理}中，大概就是从微观出发，得到系统的宏观量的性质。使用的工具主要是概率论。

实验上铁磁物体有居里温度，自发的！

一维没有相变，可以这样考虑：

10000个格点体系，全部朝上，然后某一个朝下，最后一直到一半朝下，都在一侧。整个过程能量几乎没怎么变。即，可以找出一种方式，可以连续的将系统从全部朝上解放出来，不需要花费多少能量代价。

二维情况：

100x100个格点体系，则从全部朝上到高温相的某个状态至少要反转100个，那么需要克服的能量足够大，足以保证全部向上成为一个稳定的相了，也就可以产生相变了。

其完整形式：

i,j为相邻的格点。

对于最简单的情况，没有外场，且均匀体系来说：

其居里温度为：

【历史】

The Ising model was invented by 德国慕尼黑大学物理学家 Wilhelm Lenz in 1920, who gave it as a problem to his student Ernst Ising. The one-dimensional Ising model has no phase transition and was solved by Ising in 1925. The two-dimensional square lattice Ising model is much harder, and was given an analytic description much later, by Lars Onsager in 1944.

 期间的一些八卦历史，杨振宁做出了重要贡献：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_535cdfad01014emf.html

 【铁磁性】

 铁磁性，是指物质中相邻原子的磁矩由于它们的相互作用而在某些区域（磁畴）中大致按同一方向排列，当所施加的磁场强度增大时，这些区域的合磁矩定向排列程度会随之增加到某一极限值的现象。

 到目前为止，仅有四种金属元素在室温以上是铁磁性的，即铁，钴，镍和钆。极低低温下还有五种元素是铁磁性的，即铽、镝、钬、铒和铥。

 （磁铁吸引铁末，本来铁末是没有磁性的，但在外加磁场下，磁畴就有了定向排列，于是导致铁末有了磁性，磁磁相互作用就有了。）

 铁磁性物质一个明显的特征是磁滞回线：

当外加磁场去掉后，材料仍会剩余一些磁场，或者说材料"记忆"了它们被磁化的历史。这种现象叫作剩磁。这就是磁铁制作的原理。因此可以说，磁铁是由磁铁制作的，大磁铁可以制造小磁铁。

【微观解释】

首先，是由外斯的分子场假说进行解释的。外斯的假说取得了很大成功，实验证明了它的正确性，并在此基础上发展了现代的铁磁性理论。

1907年法国科学家外斯系统地提出了铁磁性假说，其主要内容有：铁磁物质内部存在很强的“分子场”，在“分子场”的作用下，原子磁矩趋于同向平行排列，即自发磁化至饱和，称为自发磁化；铁磁体自发磁化分成若干个小区域(这种自发磁化至饱和的小区域称为磁畴)，由于各个区域(磁畴)的磁化方向各不相同，其磁性彼此相互抵消，所以大块铁磁体对外不显示磁性。

根据共价键理论可知，原子相互接近形成分子时，电子云要相互重叠，电子要相互交换。对于过渡族金属，原子的3d的状态与s态能量相差不大，因此它们的电子云也将重叠，引起s、d状态电子的再分配。这种交换便产生一种交换能E_ex(与交换积分有关)，此交换能有可能使相邻原子内d层未抵消的自旋磁矩同向排列起来。量子力学计算表明，当磁性物质内部相邻原子的电子交换积分为正时(A>0)，相邻原子磁矩将同向平行排列，从而实现自发磁化。这就是铁磁性产生的原因。而电子交换积分为负时（A<0），则对应于反铁磁。

【应用】

除了可以解释铁磁相变，扩展到巨正则系综，可以解释合金生长问题。

http://blog.sciencenet.cn/blog-915-5524.html

【连续相变】

首先，相变点可以两相共存，则两相的化学势应该相同，也就是化学势是连续的。

一级相变，指的是化学势的一阶导数不连续。

化学势的n阶导数开始不连续，则为n级相变。

https://wenku.baidu.com/view/00c0662cbd64783e09122b62.html

可以参考，但不完全对。

化学势的变化关系见下图：

很形象。

这也是为什么Ising model中的极值点就是临界点的原因。

Potts model临界点的求解也是用的此思路。