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Ising model是一个最简单的连续相变模型。
对应的实际问题是铁磁性物体的相变性质。
Ising 模型的这种处理方法被归为{统计物理}中,大概就是从微观出发,得到系统的宏观量的性质。使用的工具主要是概率论。
实验上铁磁物体有居里温度,自发的!
一维没有相变,可以这样考虑:
10000个格点体系,全部朝上,然后某一个朝下,最后一直到一半朝下,都在一侧。整个过程能量几乎没怎么变。即,可以找出一种方式,可以连续的将系统从全部朝上解放出来,不需要花费多少能量代价。
二维情况:
100x100个格点体系,则从全部朝上到高温相的某个状态至少要反转100个,那么需要克服的能量足够大,足以保证全部向上成为一个稳定的相了,也就可以产生相变了。
其完整形式:
i,j为相邻的格点。
对于最简单的情况,没有外场,且均匀体系来说:
其居里温度为:
【历史】
The Ising model was invented by 德国慕尼黑大学物理学家 Wilhelm Lenz in 1920, who gave it as a problem to his student Ernst Ising. The one-dimensional Ising model has no phase transition and was solved by Ising in 1925. The two-dimensional square lattice Ising model is much harder, and was given an analytic description much later, by Lars Onsager in 1944.
期间的一些八卦历史,杨振宁做出了重要贡献:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_535cdfad01014emf.html
【铁磁性】
铁磁性,是指物质中相邻原子的磁矩由于它们的相互作用而在某些区域(磁畴)中大致按同一方向排列,当所施加的磁场强度增大时,这些区域的合磁矩定向排列程度会随之增加到某一极限值的现象。
到目前为止,仅有四种金属元素在室温以上是铁磁性的,即铁,钴,镍和钆。极低低温下还有五种元素是铁磁性的,即铽、镝、钬、铒和铥。
(磁铁吸引铁末,本来铁末是没有磁性的,但在外加磁场下,磁畴就有了定向排列,于是导致铁末有了磁性,磁磁相互作用就有了。)
铁磁性物质一个明显的特征是磁滞回线:
当外加磁场去掉后,材料仍会剩余一些磁场,或者说材料"记忆"了它们被磁化的历史。这种现象叫作剩磁。这就是磁铁制作的原理。因此可以说,磁铁是由磁铁制作的,大磁铁可以制造小磁铁。
【微观解释】
首先,是由外斯的分子场假说进行解释的。外斯的假说取得了很大成功,实验证明了它的正确性,并在此基础上发展了现代的铁磁性理论。
1907年法国科学家外斯系统地提出了铁磁性假说,其主要内容有:铁磁物质内部存在很强的“分子场”,在“分子场”的作用下,原子磁矩趋于同向平行排列,即自发磁化至饱和,称为自发磁化;铁磁体自发磁化分成若干个小区域(这种自发磁化至饱和的小区域称为磁畴),由于各个区域(磁畴)的磁化方向各不相同,其磁性彼此相互抵消,所以大块铁磁体对外不显示磁性。
根据共价键理论可知,原子相互接近形成分子时,电子云要相互重叠,电子要相互交换。对于过渡族金属,原子的3d的状态与s态能量相差不大,因此它们的电子云也将重叠,引起s、d状态电子的再分配。这种交换便产生一种交换能Eex(与交换积分有关),此交换能有可能使相邻原子内d层未抵消的自旋磁矩同向排列起来。量子力学计算表明,当磁性物质内部相邻原子的电子交换积分为正时(A>0),相邻原子磁矩将同向平行排列,从而实现自发磁化。这就是铁磁性产生的原因。而电子交换积分为负时(A<0),则对应于反铁磁。
【应用】
除了可以解释铁磁相变,扩展到巨正则系综,可以解释合金生长问题。
http://blog.sciencenet.cn/blog-915-5524.html
【连续相变】
首先,相变点可以两相共存,则两相的化学势应该相同,也就是化学势是连续的。
一级相变,指的是化学势的一阶导数不连续。
化学势的n阶导数开始不连续,则为n级相变。
https://wenku.baidu.com/view/00c0662cbd64783e09122b62.html
可以参考,但不完全对。
化学势的变化关系见下图:
很形象。
这也是为什么Ising model中的极值点就是临界点的原因。
Potts model临界点的求解也是用的此思路。
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