交换环论的早期历史研究

【作 者】王淑红

【学位授予单位】西北大学

【学位名称】博士

【导师姓名】姚远

【学位年度】2015

【摘 要】抽象代数是数学的重要分支,主要研究群、环、域、模、格等数学结构。环论是抽象代数中较为深刻的一部分,按照乘法是否满足交换律,环可以划分为交换环和非交换环两大类。交换环论和非交换环论虽皆源于19世纪早期,但其起源和发展路径并不相同。交换环理论起源于代数数论、代数几何和不变量理论,其中代数数论这一起源最为重要,反过来,亦主要应用于这些领域。交换环论经由高斯、戴德金、克罗内克、希尔伯特、弗兰克尔、爱米·诺特等数学家的共同努力,在20世纪二、三十年代发展成熟,并渐生诸多应用。本文在大量掌握19、20世纪的原始文献和研究文献的基础上,运用概念分析法剖析交换环论从19世纪到20世纪二、三十年代的起源、发展、完善和传播的具体科学实践过程和理论背景,总结其发展脉络和演化规律；运用比较研究法,分析交换环论的特点和规律,分析其中关键人物对交换环的概念和理论的不同研究方法和结果；综合运用史料的实证方法和编年史方法,理清交换环论的整体历史面貌,并给出合乎史实的恰当评价。最终形成以交换环论的发展演化为经,以交换环论和其他数学分支的关系,以及诸学者间的思想传承为纬的全景图,这对于理解和认识交换环论及其环论和相关学科具有重要理论价值和现实意义。研究结果和结论为：(1)从经典数论中的高次互反律、二元二次型和费马大定理等核心问题出发,重点围绕其中关键的唯一因子分解问题,研究了交换环论在代数数论中的起源,表明高斯、库默尔、戴德金、克罗内克、希尔伯特等数学家在这一进程中发挥了巨大作用,使得复整数环、理想数、理想、序环、环等概念逐步清晰,不但奠定了一维交换代数的基础,而且建立和发展起代数数论这一学科。(2)揭示了交换环论在代数几何和不变量理论中产生的历史过程,特别是希尔伯特所证明的基定理和零点定理、拉斯克尔和麦考莱的准素理想及其准素分解理论。(3)再次确认了第一个提出抽象环概念的数学家弗兰克尔,分析了弗兰克尔是如何在洛伊、亨泽尔、希尔伯特、斯坦尼兹和策梅洛这些学术大家的指引和帮助下走上数学创新的正确道路,并用公理化思想来研究交换环论。认为弗兰克尔以环等数学实例研究实践了公理化思想,用公理化思想把新兴的数学推上了更高的理论层次,为其进一步发展做出了铺垫,公理化、抽象化是他从事数学研究核心思想,也是他在集合论的公理化研究能够集就大成的一个重要因素。(4)分析了爱米·诺特为何从不变式论转到交换环论的研究,并且揭示了爱米·诺特通过对升链条件的重视与应用,完成对抽象环,特别是诺特环的公理刻画,从而建立起抽象交换环论,并促使抽象代数学这门学科正式建立起来。(5)在非交换环论的起源和发展方面,阐述了其起源于复数扩张到各种不同的超复数系的研究,这对理解交换环论在整个环论中的地位有重要作用。(6)论述了环论与群论、域论、代数几何、模范畴、物理学以及格论的关系等,认为交换环论从其产生伊始,就和应用相伴在一起,在环论发展相对完善之后,其逐渐提高的理论层次使得它的应用范围更加广阔,深入到数学的各个分支,并且与这些分支的关系密切而自然,彼此间的相互渗透和交互影响将是未来发展的一大趋势。(7)交换环论的历史波澜壮阔,涉及到费马大定理、高次互反律等历史名题,与代数数论、代数几何和不变式论等多个学科关系密切,同时是从19世纪到20世纪二三十年代数学观念从数、集合到结构思想变迁的一个缩影,其中公理化和结构化占据着主导地位。(8)交换环论中相关数学家的思想传承,既深邃精彩,又代代相承,凝聚了高斯、狄利克雷、库默尔、戴德金、克罗内克、拉斯克尔、麦考莱、希尔伯特、弗兰克尔、爱米·诺特、阿廷、范德瓦尔登、曾炯等一批数学大师思想精粹,是近现代数学史上光彩夺目的篇章,不但大大推动了近现代数学的演进,而且也在人文思想领域播撒了惠及整个人类的精神给养。(9)鉴于曾炯与爱米·诺特及阿廷的师承关系及其曾炯所处的地域和历史时期,对与其相关的内容进行了研究(见附录)。  隐藏更多