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定义在一个可测集合A上的命题p(x),若命题在A上除去一个0测度集合之外,命题p(x)依然成立,则称p(x)是几乎处处成立。记住p(x) a.e.A.一般说来,一个命题都是定义在一个集合之上,即命题成立是有条件,换句话说,任给一个命题,如果其还不成立,一定是因为推出它的条件不够,即条件不够苛刻。
一般可测集合上的连续函数,其是可测的,但肯定也存在一类,不连续的函数也是可测函数。同时对于可测函数的代数运算,则其结果依然可测,则有基本代数生成的复合运算剔除个测度为0的函数集后还是依然可测。若函数是定义在一集合上可测函数列的极限,则此极限函数依然可测,即可测的特性对于极限运算是封闭的。一般任给一命题,则此命题都可以延拓到更广的范围上,也可说任一命题都是可由某个命题的限制生成的。
定义在集合A上的函数,在此规定在属于此集合元素上函数值取1,在不属于此集合内的元素上取0,则就可以生成定义在集合A的特征函数。如果A是开集,则任一开集都可以拆分为至多可列个开集的并,则定义在A上的一个函数,就可以用特征函数的和去表述,表述出来的函数就是简单的阶梯函数。一般说来任何函数或者命题都可以用一系列的其他命题加以逼近。这可推广到主体为社会因子的情况下。
对于一集合外测度的定义是,对于所有覆盖此集合的开集族的测度的下确界,但对于这样的定义与我们的预设,即将要研究的对象,还不是太符合,即其不满足部分之和等于整体,就引入内测度,把不等的部分剔除掉。一般说来命题是预设构造的,与预设不符的命题,要果敢的加以修正,但这并非不是科学的态度。
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