对线性运算的封闭的空间，即满足加法和数乘的空间，称为线性空间，则此空间具有的代数结构，在线性空间上赋予范数，在根据范数可以定义出距离，则此空间就具有了几何结构，并称此空间为赋范线性空间，对于具有代数和几何结构的空间可以解决很多物理上的问题，而完备的赋范线性空间就是巴拿赫空间，啥是完备的，想象实数就明白了，假如在赋范线性空间在引入欧式空间中的角度和正交等内积性质，则就生成内积空间，则完备的内积空间就是希尔伯特空间。

    如果一集合上任意两个元素都对应一个实数，并且此实数满足非负、对称以及三角不等式，则集合就是以这个实数为距离的距离空间，一般来说空间包括连续的和离散的，并且熟悉的有欧式空间Rn，Lp[a,b],lp以及C[a,b]等，同时空间也有许多性质，如可分性、完备性、列紧和紧性等，以及自爱空间之间定义的压缩映射定理，其是很酷的一种思想，把求解微分方程。积分以及其他代数方程转化为求一个函数的不动点，一般比距离空间广泛的就数拓扑空间了。

    如果一集合是不空并且此集合中子集定义为开集，并且满足集合和空集皆为开集，任意多个开集的并仍为开集，有限个开集的交也仍为开集的条件，这些开集就是集合上的拓扑结构，这个集合就是拓扑空间，其是一种比距离空间广泛的空间，其补充了距离空间的残缺的内容，并用开集定义了古典分析中核心的概念极限，同时记住任何一个非空集合都可以定义拓扑结构。