-----------兼论物理世界的确定性与不确定性

冥冥有手写天书，彩笔无情挥不已；

流尽人间泪几千，不能洗去半行字。

——奥玛伽音^[1]

这是波斯大诗人奥玛伽音（Omar Khayyam，1048—1122）的一首诗，说的是历史前定，人类活动无力改变它的进程。而处于另一极端的英雄史观，则强调自由意志的作用，从而赋予历史发展以依赖于个人特色的随机性。前定和随机、必然和偶然，向来是人文科学中长期争论不休的命题。另一方面，自然科学理论始终要接受实验和观测的检验，而它的每个重大发展又都会反馈到文化层次，对人的哲学和历史观有所启示。近三十年来有关于混沌（chaos）和分形（fractals）的研究，正在改变着科学工作者对决定性和随机性描述的认识。我的博士论文的课题是有关于分形理论及其在复合材料加工中的应用，在研读有关分形理论的文献过程中，我认为：分形是一种全新的数学理念，它描述的对象是我们面对的现实世界，而现实世界的本质可能是一种混沌的时空观。因此，本文将对混沌和分形方面的革命性发展作简要介绍，并就这方面的启示，简要论述一些自己的想法。

 

对于人类面对的客观世界，物理科学中有决定性（deterministic）和概率性（probabilistic）两种描述。在牛顿（Isaac Newton 1643—1727）创立古典力学之后到本世纪20年代为止，250年来决定论长期处于主导地位，基于概率论的统计描述，原则上只能视为一种科学表述的辅助手段而已。

在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿完整地表述了他的绝对时空观，运动三定律和万有引力定律，演绎推导出开普勒（Johnannes Kepler 1571—1630）的行星运动三定律。《原理》第三篇讨论了“宇宙系统”（实际上只是到火星为止的太阳系）。后来，在1799—1827年间出版的拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace 1749—1825）五卷《天体力学》中，应用牛顿力学于太阳系行星及其卫星的轨道计算，臻于非常精微的程度，拉普拉斯甚至认为，只要给定了起始条件，就可以预言整个太阳系的未来。拉普拉斯有一段非常有名的论述：“我们可以把目前的宇宙状态看作是宇宙过去的结果和将来的原因。如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动，对他来说，一切都是显然的，过去和未来都将呈现在他眼前。”这就是所谓的拉普拉斯宇宙方程式。我们称之为机械决定论，即应用牛顿发现的定律体系，可以精确的计算天体的运动，所以通过精确的物理定律，宇宙目前的状况原则上就全部“决定”了它以后的发展，这种机械决定论的观点，因为海王星的发现而达到顶点。

原来从1781年确认天王星之后，就发现它的实际轨道总是不规则的偏离计算结果。很多的科学家猜测，这可能是由于一颗更遥远的未知行星的挠动。法国天文学家勒威耶（Urbain-Jean-Joseph Le Virrier）运用天体力学精确地预言了新星的位置。1846年9月23日夜德国天文学家伽勒（Johann Gottfried Galle）就在勒威预言的位置一举发现了这一太阳系的第八大行星，奠定了决定论在科学界的统治地位。

然而，在19世纪末，科学家已经知道，描述三个或多个天体运动的方程组不可积分，更没有确定的解析解。理论上已经准确表述的东西，事实上还不一定能用已知的数学方法展示出来。“未知”还是现实的一部分。

就在机械决定论取得巨大成功的同时，蒸汽机和内燃机的发展使得人们对气体性质的研究成为紧迫的任务。人们使用压力、温度、体积这些宏观概念，寻求它们之间的经验规律，在大量实验事实的基础上建立了热力学的理论体系。流体力学的方程组，也是从类似的宏观变量建立的。然而，为了从大量原子分子运动和相互作用出发，推导气体的宏观性质或流体力学方程，那就必须引入这些粒子（实际上无一一测定）位置、速度分布的概率假设，并运用统计方法。所以，概率性观念同时也发展起来了。但是在那个时期概率性的认识论始终是处于从属地位的。

湍流（turbulent flow）是人们早已认识到的一种自然现象。在公元十一世纪，意大利画家乔尔乔内的名画中就出现过我们称之为“卡门涡街”的湍流现象的精细描绘。（“卡门涡街”是一种典型的湍流形式，因美国大科学家Von .Carmen首先给出它的数学表述而得名。）1883年法国人雷诺（Osborne Reynolds 1842—1912）引入无量纲的特征数（雷诺数）对圆管中液体流动进行定量研究开始，积累了各种物理和几何条件下平稳流动如何突然转变成湍流的观测资料。但流体力学的基本方程是基于光滑和连续假设的决定性偏微分方程组，他们怎么能描述似乎没有规则的湍流？湍流的发生机制和状态表述又是怎样的呢？

这样，在十九世纪的物理学里，除了那些后来那些导致相对论和量子力学的基本矛盾之外，还在不同层次上隐含着没有解决的，关于决定性和随机性去设的重大问题：不可积分的牛顿方程以及相关的运动图像，统计物理学的基础，湍流的发生机制和描述。然而，20世纪初相对论和量子力学的成功，接踵而来的令人眼花缭乱的技术发展，以及两次世界大战对军事技术的要求，吸引了绝大多数物理学家的注意力。上述那些艰难的根本性问题，因此而被留给数学家们去潜心研究。

20世纪40年代的数学家西格尔（C.L.Siegal）等人认为：不可积分的系统俯拾即是，多不胜数，而可积分可解的力学问题，却如凤毛麟角。传统的大学力学教科书并没有描述出牛顿力学的真面目。

但不可积分的力学系统的典型运动图像究竟是什么样的呢？这是非常困难的数学问题。直到KAM定理（由A.N.Kolomogorov在1954年提出，由V.I.Arnold和J.Moser在60年代初证明，因而得名）出现，这问题才有了实质性的进展。KAM定理可以粗略的表述为：在一定条件下，弱不可积系统的运动图像与可积系统相似。在这个时期，物理学家们已经可以应用电子计算机来进行数值计算，从而突破了解析方法的局限。科学家们对KAM定理的条件大作反面文章。他们发现，只要破坏定理所假设任何一个条件，运动都会变得无序和混乱。当然，这时运动所遵循的，仍然是决定性的牛顿力学方程式。也就是说，只要精确地从同一起始条件出发，得到的仍是同一个确定的函数。然而，只要初始条件有无论多微小的改变，其后的运动就会改变很多。这已经被数学严格证明的例子所说明，某些被牛顿力学所描述的运动，实际上可能同掷骰子所得的结果是一样的，是随机（random）和不可预测（unpredictable）的。

一个典型的不可积分的力学系统，通常兼有规则运动和随机运动的两种不同区域。随着某个参数（比如代表作用力强度的参数）的变化，随机区域可能逐渐扩大，最后完全取代规则运动的区域。我们甚至可以严格定义在规则运动区域中等于零，而在随机运动区域中大于零的特征量（称为Kolomogorov熵），来量化运动的随机程度。规则运动是“简单的”，随机运动是“复杂的”。有了Kolomogorov熵等特征量，就可以定量的区分“简单”和“复杂”运动了。

因此，决定性的牛顿力学从计算和预测的观点来看，实际上具有内在随机性（inherent randomness），这就是微观层次（即个别粒子，或所谓无内在自由度的个体层次）上的混沌运动。

 

现在我们回到宏观层次来看湍流问题。湍流现象普遍存在于行星和地球大气、海洋和江河、火箭尾流、锅炉燃烧室、乃至血液流动等自然现象之中。研究湍流的困难之处不仅仅在于流体运动有无穷多个自由度，而且湍流是经过一次或多次突然转变而形成的，而且在紊乱无规则的背景上往往又会出现大尺寸、颇为规则的结构和纹样，出现协调一致的运动。即使撇开湍流的空间结构不谈，决定性的流体力学方程怎么能允许貌似随机运动的紊乱的时间行为？

1963年，MIT的气象学家洛伦茨^[2]（E.N.Lorenz）在研究大气热对流问题时，将大气热对流的偏微分方程加上边界条件，简化为只剩三个变量的常微分方程组，放在电子计算机上运算，发现即使对这样一个经过极度简化的系统来说，大气状况起始值的细微变化，也足以使非周期的气象变化轨道全然改观。洛伦茨意识到，这种普遍存在的气象变化轨道的不稳定性，会使长期天气预报的希望幻灭。他将这称之为“蝴蝶效应”：南美亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶然扇动几次翅膀，所引起的微弱气流对地球大气的影响，随时间的增长可能并不减弱，而是两个星期后在美国德州引起一场大风暴。

1975年数学家茹厄尔（D.Ruelle）和塔肯斯(F.Takens)建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变由少数自由度决定，经过两三次突变，运动就转到了维数不高的奇异吸引子（strange attractor）上。这里所谓吸引子（attractor）是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极状态：它可能是平稳的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化，没有明显规则或次序的许多回转曲线，这就称之为奇异吸引子。奇异吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化及其敏感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。茹厄尔和塔肯斯当时并不知道奇异吸引子的实例，是另一位数学家约克（James Yorke）发现了洛伦茨的论文，在波尔茨曼（Ludwig.E.Boltzmann，1844—1906）之后90年把“混沌”（chaos）一词重新引入科学词汇。

约克绘制的洛伦茨吸引子是一条连续而光滑的轨道，它以看来相当随机的方式，在左右两翼中转圈。如果稍微改变一下轨道初值，左右跳动的顺序和次数就会完全不同。

对初值的敏感依赖性，是在奇异吸引子上的运动轨道的主要特征。在各种决定性的宏观方程中，由于能量耗散而使得有效的运动自由度减少，最终局限到低维的奇异吸引子上。这就是宏观层次上的混沌运动。

混沌运动还可以发生在比微分方程更为简单的模型中。

 

简单原因可能导致复杂后果，这是混沌研究所提供的一条重要信息。许多看起来杂乱无章、随机起伏的时间变化或空间图案，可能来自重复运用某种极简单而确定的基本单元或基本（elementary）作用。举例如下。

第一个例子是昆虫生长的虫口模型。假定成虫产卵后全部自然死亡，然后孵化出下一代，世代之间没有交迭。如果下一代虫口数简单比例于前一代虫口数，那么只要平均产卵数多于1，过不了多少代整个地球就会虫满为患。而在现实世界中，虫口过多，食物有限，他们就要为争食而咬斗，传染病也会因为接触增长而蔓延。咬斗和接触，都是涉及到两只虫子的事件。这类事件的总数比例于虫口的平方，而它对虫口变化产生负作用。这样就可以得到一个较为实际的虫口模型：

其中是第代虫口，是第代虫口。非线性项代表相互作用。这种模型是最简单的，但又同时考虑了有利和不利因素的，包括鼓励和约束两种作用的自我调控模型。它实际上只有一个独立参数，可以写成标准形式

有了方程式，我们可以很简单的计算虫口的变化：给定参数和初值，计算出，再用计算出，……舍弃最初100个点（它们代表虫口尚未达到稳定态的过渡期），再把其后的300个画出来，就得到了分岔图（bifurcation diagram）。横坐标是参数，纵坐标是。它反映出两大类不同虫口变化方式。在某些参数区域，只是在几个点之间周而复始地跳来跳去，有一个1、2、4、8……点的倍周期序列。不管初值如何改变，周期点的数值始终不变。这是对初值不敏感的周期变化区域。

在另一些参数值，在一段或几段确定的区域内似乎随机地跳动，稍为改变初值，所经历的具体数值就完全不同。这是对初值变化敏感的混沌区域。但即使在混沌区域之内，仍又是包含有更小的周期变化区域，在其中是对初值不敏感的。所以，这分岔图虽是由极简单的方程组得来，但它的结构则是极度复杂的。

第二个例子是简单的细胞自动机（cellular automation）：本世纪70年代，在欧美流行一种称为“生命游戏”的计算机小程序，它的实质是一种简单的细胞自动机。细胞自动机的原理非常简单。假设一个象棋盘一样的方格网，每个方格中放一个生命细胞，生命细胞只有两种状态：“生”或“死”。生成规则如下：

1．如果一个细胞周围有三个细胞为生（一个细胞周围有8个细胞），这个细胞为生；

2．如果一个细胞周围有两个细胞为生，则该细胞生死保持不变；

3．在其它情况下，该细胞为死；

以此规则进行迭代，在有限次迭代中可以得到非常复杂的图案，我们用计算机编制了计算机模拟程序，得到了非常有趣而复杂的结构。

许多高维的吸引子可以通过投影而形成类似的分岔图。其中的奥妙至今还未完全研究透彻。而二维和三维的细胞自动机，也已经成功地用于模拟流体运动和湍流了。

这两个例子，都是重复使用简单而确定的规则，得出复杂的时间演化或空间图案。反过来说，从貌似复杂的时间、空间或时空行为，也可能反溯到原始的简单的动力学规律。混沌研究的进展，不是把简单事物复杂化，而恰恰是为了寻求复杂现象的简单根源提出了新的观点和方法。

混沌不是无序和混乱。一提到有序，人们往往想到周期排列或对称形状。混沌更象是没有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含有无穷的内在层次性，层次之间存在自相似性（self-similarity）或不尽相似。在观察手段的分辨率不高时，只能看到某一层次的结构。提高分辨率之后，在原来不能识别之处又会出现更小尺度上的结构。《易乾凿度》里说“气似质具而未相离，谓之混沌”，“混沌”二字比英文chaos更能反映这种状态。

70年代以来，美国数学家B.B.Mandelbort^[3]创立了分形几何学，是更为接近自然现象的几何学，而且也正是混沌现象的几何学。在经典的Euclid几何学里，零维的点、一维的线、二维的面、三维的体和四维时空，这是大家所熟悉的几何现象。它们的维数（dimension）是整数。但从1919年以来，Hausdorff提出维数可以是分数即分数维的概念，并定义了分数维的Hausdorff测度。著名的实例有cantor集：取一线段三等分之，移去中段之后再等分余下的两段，然后继续移去相应的中段，这样反复下去，以至于无穷。就得到了cantor集，它是无穷多个点的集合。它的维数介于两个整数之间，可以算出来为。具有分数维的几何体称为分形（fractals），洛伦茨吸引子就是一种分形，其分形维数是2.06。而其他与混沌运动有关的图像也都是分形：混沌运动的高度无序、混乱性也反映在分形的无穷复杂性上。

混沌也不是噪声：这里的噪声指的是一切来自我们所着眼的物理系统以外的微小干挠，例如地基震动、气温变化、电压涨落等等。噪声的特征在于它是真正随机的，绝对无从预测。在现实世界中，混沌往往披着噪声的外衣出现。在我们还未曾懂得混沌现象之前，混沌不知多少次被误为噪声而忽略了。噪声在任何实际系统中都是不可避免的，而它对混沌研究是有极重要影响的；噪声可以诱发混沌；噪声限制了我们对混沌现象的无穷内部层次的探测深度。对混沌的观察，必须满足于有限而非无穷的分辨能力。在就要用到符号动力学的方法，符号动力学是在有限精度下描述复杂动力过程的严格方法。

重复使用简单确定的规则可能得出及其复杂的现象。这样做是可能先要经历一段过渡状态，然后复杂行为就稳定下来，运动的图像模式可能继续翻新，但基本性质不再变化。广义来说，这也是一种定态，这就是相变和临界现象理论中行之有效的重整化群方法。它对分析混沌现象也发挥了重要作用。分形几何、符号动力学和重整化群三位一体地构成混沌理论的数学框架。这套数学框架是离散、非连续、不稳定、不可微分的“有限分析”，迥异于传统的基于连续、光滑、稳定、可微分的牛顿的“无穷小”分析，它是更接近于现实世界的数学。

 

量子力学的建立是对机械决定论的严重挑战。坚持正统决定论的物理学家，如爱因斯坦，就始终不能接受量子力学的统计诠释，他的名言是：难道上帝还掷骰子吗？然而，量子力学的统计诠释主要涉及波函数与观测量的关系，量子力学的基本方程则是完全决定性的线性方程。那么究竟有没有量子混沌那样的现象呢？

本文讲的混沌，都发生在经典的非线性力学系统中，在微观层次上它是不可积分的牛顿方程和统计物理学的基础问题，在宏观层次上它是流体力学或类似方程的湍流问题。从数学上说，则多是初值问题的长时间行为，即给定初始时刻的状态，看时间趋于无穷长时间系统是否达到混沌吸引子。

最直接的量子混沌问题，是取一个确切有混沌行为的经典力学系统，通过熟知的数学规则把它量子化。近十年来的研究表明，这类量子化的系统中并没有混沌。

因此可以说：混沌是经典系统的典型行为，量子系统的典型行为不是混沌。这一差别的深远意义，还有待进一步研究。对此，我们提出值得思考的两点。

第一点是，德国物理学家波恩（Max Bohn）在1955年指出，如果用各自的自然时间尺度去衡量，微观世界远比宏观世界“长寿”^[4]。地球绕太阳的周期可以作为宏观世界的时间单位，所以，太阳系至今存在了大约10¹⁰年，也就是10¹⁰单位。另一方面，电子绕原子运动，每秒可以有10¹⁶或更多次的振动或回旋。所以，混沌运动似乎主要存在于“短命”的宏观现象中。

第二，我们对直接包含时间的量子力学其实所知甚少。在时间趋于无穷时量子力学和经典力学的对应问题，并没有完全解决。如果有真正的量子混沌，它是否应当没有经典对应？这问题本身还不清楚。

完全的决定论和纯粹的概率论，都隐含着承认某种“无穷”过程为前提。就决定论而言，他的准确轨道意味着可能以“无限”精度进行测量：有限的测量精度就不可能排除轨道含有随机成分。但是海森堡的测不准原理表明，无限精度的测量是不可能的。对概率论而言，有限长的随机数系列只能以有限精度通过随机性检验，只有“无限”长随机数可能用决定论的过程来产生。事实上，有限个随机数可能用决定论的过程来产生。所以，在有限性的前提条件下。决定性与概率性的描述就没有本质性的区别，决定论的动力学可以产生随机性的演化过程。

实际上，对于现实世界我们只能够进行有限的观测和描述。有限速度和有限“字长”的计算机，还有有限长的计算程序和计算步骤，还有有限的计算时间，从另一方面限制了我们的描述和分析能力。而这些决定了我们对所研究的对象只能达到有限认识的目标，这就是有限性原则。

世界是确定性的、还是非确定性的 ，这是一个问题。决定论还是概率论？二者的关系可能是非此非彼，也此也彼。也许，主张“绝对因果”或主张“绝对随机”都犯了走极端的错误。自然律的结构归根到底是一个黄金的十字架：横者为决定论，纵者为概率论，我们只有透过这两者的联合和交叉，才能够全面的理解大自然，理解我们面对的现实世界，更真实地反映宏观世界的观念应是基于有限性原则的混沌时空观。

 

[1]    奥马伽音. 鲁拜集. 黄克荪译, 台北: 启明书局, 1956.

[2]    Lorenz E. N. J Atmosph Sci, 1963 (20): 130-141

[3]    Mandelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco: Freeman, 1982