神奇维纳数的偶然发现

杨义先教授

北京邮电大学信息安全中心

伟大的数学家、《控制论》的创始人维纳，简直是一位难得的天才！他18岁就获得了哈佛大学哲学博士学位。在其博士论文答辩会上，主席看他一脸稚气，便好奇地询问其年龄。不料，维纳回答：“我今年岁数的立方是一个四位数，岁数的四次方是一个六位数，这两个数正好把0~9这十个数字全用上了，不重不漏……”。此言一出，满座皆惊！

老夫算了一下：18的立方=5832=A；18的四次方=104976=B，果然，把这两个数串起来后，得到AB=5832104976，它确实是“正好把0~9这十个数字全用上了，不重不漏”，即，它是0~9这十个数的一个置换。如果故事仅仅到此，那么，也就平淡无奇了。可是，老夫手痒，竟发现了如下两个惊人的秘密：

秘密1：维纳生于1894年11月26日，卒于1964年3月18日，即，若考虑月份因素的话，那么，维纳享年69岁。但是，69这个岁数也是一个非常神奇的数：69的平方是一个四位数4761，记为A；69的立方是一个六位数328509，记为B；把这两个数串起来后，得到AB=4761328509，它又是0~9这十个数的一个置换！真不可思议，难道维纳“69岁去世”也是天命所定？！要知道，他是在斯德哥尔摩讲学时，心脏病突然发作而逝世的。

秘密2：维纳生于19世纪，死于20世纪，横跨2个世纪。但是，2这个数也是一个非常神奇的数：2的2次方是4=A；2的29次方是536870912=B；即AB也是0~9这十个数的一个置换。

如果与上述18（维纳获博士学位的年龄）、69（维纳去世的年龄）和2（维纳跨越的世纪个数）类似的数很多，那么，维纳的“神奇指数”就会大打折扣了。但是，真像却完全出人意料！为了找到尽可能多的类似数，我们给出一个在保留“0~9这十个数的一个置换”条件下的最广泛的定义：

定义：如果某个正整数Z满足如下三个条件：1）Z的n次方是一个m位数（0<m<6，n都是正整数），记为A；2）Z的（n+k）次方是一个（10-m）位数（k≥1也是正整数），记为B；3）把AB这两个数串起来后，得到0~9这十个数的一个置换。那么，就称这个数Z为“（n，m，k）-维纳数”。

比如，维纳获博士学位的年龄18，就是一个“（3，4，1）-维纳数”；而维纳去世的年龄数69，就是一个“（2，4，1）-维纳数”；2就是一个“（2，1，27）-维纳数”。但是，经计算机穷举验证，却得出了一个令人意外结果：除了2、18和69这三个数之外，再也没有别的维纳数了！维纳一生的三个重要年龄都这么神奇，难道是天定的？！

感谢：本文的计算机验证由俺学生宋莹璇同学完成，2的玄机解释，由俺二姐杨琳琳大夫发现。特此致谢！