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1+1=2...2^{10} 教学手记
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1+1=2...2^{10} 教学手记
王永晖
http://www.docin.com/p-818237468.html 教学幻灯片又经过修改，但懒得编译和上传了，光单独将最后的教学手记奉上。
这些内容，实际上是初中知识，其中牵扯到的思想，又更进一步可算是大学的，初中老师，对于2⁰=1, 往往不解释，只说是定义。我们本节介绍的从定义出发的思维方式，也不在中小学课程里面，其中体现到的思想往往是到大学数学系才会接触到，普通理工科大学生也未必学习。
我们的教学探索发现，其实只要给孩子们做出清晰易懂的语言解释，那些抽象的数学公式，也能够被孩子们所理解，我们课堂上有4个孩子，至少3个孩子都表现出了相当的接受能力。
这些孩子们，每两周才上一次课，每次1小时左右。所以，每次来的时候，两周前学的东西，如果没有很好地理解的话，肯定就都忘掉了，遗忘是数学学习中的必要过程，重新回忆上次课程所学，这对他们的数学能力，也是一个挑战和检验。
对于老师，看看孩子们忘到什么程度，是一种很有趣的教学体会，看看他们迅速回忆到位的过程，又往往让人惊讶。
学习一个新的定义，并且按照这种定义去做题，这种经典的数学思维方式其实在中小学并不常见，很可能因为不是所有的孩子都能接受这种方式，但是，不能因为有人不能接受，就让能接受的孩子也不接触这种思维方式，所以我们这种探索还是很有意义的。
我们是按照加法、乘法的次序来复习算术概念，孩子们都能理解，加法和乘法都是变大的过程，乘法变大的速度更快而已。讲完乘法之后不是立刻去复习减法和除法，而是接着学2的次方，一方面是有一道孩子们自己发现的原始题目，可资利用，另一方面，对于2的次方，我们在学校课程前面教授，就可以看出孩子们更原始天真的反应，容易从"根"上进行教学。
其实，一个推一个的思想，即递推思想，是孩子们最开始学数学的原始反应，即扳指头运算，但他们经过几年的学校学习后，却反而可能忘记了这种思想方法，反而变成了死记硬背。所以，我们很有必要给他们重新讲述，重新认识，从而让他们理解到扳指头运算所蕴含的思想并不简单，其实就是孩子们人生第一次接触到的推理过程和证明。我们出的题目，如按定义证明2+3=5, 6+7=13, 本质上就是按扳指头似的方法进行运算。
数学的抽象思维方式，即证明式的思维方式，而不仅仅是计算，要不要教给小孩子们？我们觉得这是一个可以探索的问题，而不要先入为主地否定。既然小孩子们学会数数，要花很长的时间，然后再学加减乘除（就都相对容易了），那么，学习抽象的思维方式呢，是不是也可以让他们花相当的时间去熟悉。中小学数学中的定义并不多，这方面的训练也相对很少，所以2的次方给我们提供了一个非常好的教学资源，很稀缺，需要善加利用。
数学，一方面来源于现实世界，一方面也来源于内心。前者体现的教育思路是从物理和应用数学来进行引入，后者体现的思路，则是发现数学的内在之美，如本阶段教学主题所利用的1+1=2…, 即是如此，是小孩子们自己发现的数学之美，自己发现的数学火种，我们只不过是添柴加料。
从数学思想的教育过程来看，是不是小学就教小学的数学思想，中学就只教中学的数学思想，大学教大学的，研究生再教研究生的。我们觉得，那样就晚了，也是不可能的，第一，思想是很难划阶段的，第二，有些思想，如果孩子们在一定阶段悟不出来，那很可能一辈子也明白不了，虽然表面看着都是成年人，其实内在的思想差别很大。
譬如说抽象的思维方式，内心那种对严谨性的渴望与挑剔，如果在20岁之前还没有，我个人认为，基本上这个人以后也不太会有了，这可能是大脑发育规律，我手上没有数据，只能感性地说一说，只能算作经验性猜测。（这里要对普通家长所说，把话圆一下，也不能拔苗助长，急燥的性格使不得）
所以，思想上的教育，是要一以贯之的，我为什么特别反对当今的王财贵式国学背诵，就是他们强调，先背了再说，那些思想等到孩子们20岁再明白。这是甚为滑稽的事，却被社会上一些家长甚至教师所奉为经典。国学中的思想，也是人类的思想，普适的思想，既然重要，为什么要等到孩子们20岁才明白，岂不太晚，有很多人生的道理，要从孩子小时侯教起。
只不过，我们要采取合适的材料为依托，使用小孩子们所喜闻乐见的形式。最大的数学思想有四：递推，对称，求和，分权，其实我们都是可以在初等数学里面找到的，像最简单的"数指头"，就是递推思想，只不过常人日用而不知。
小学，中学，大学，研究生，载体可能不一样，但思想要贯通。这是我们在教育上的一点想法，像2的几次方这道题和概念，是非常好的一个教学资源，可惜中小学数学一般都没有好好利用，绕过去，所以我们在本阶段教学，可以尝试成为一个很好的课外教学主题，把我们的教学笔记作为原材料，再整理成更适合的课件，让那些能学得进去的孩子们试一试，感觉一下。
我们的探索也只是很局部的，因为工作坊的这些孩子毕竟还要上那种传统学校，只是周末补充式教育，但仅仅如此，孩子们也表现出一定的接受能力，说明这种抽象的思考方式，并非不可接受。关键是，授课教师，能不能用孩子们可以理解的语言，把数学公式解释出来，而不能光写公式，要公式和语言互相换，让孩子学习的是，这种换来换去的能力。
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