幼小数学教育来函反馈：先教数数，还是先教计算？

王永晖

我想问一个问题，是先教数数，比如数到30，还是先教加减法计算？

华德福通常的做法是，介绍数字1至10，没有计算，但有数数1,2,3,4,5,6，-----比如数到30.我教到6时，会教6以内的加减。我用三周的时间，教6以内的加减，每天约一个小时。

公立学校没有这个问题，上小学的孩子，现在都会数数了，所以上小学肯定就直接教加法了，甚至加法也有很多小朋友会了。

根据您的问题，还是应该先教数数，而且至少得数到100，不能只数到30，因为进位不全啊，至少要到100，才体现十进位制。

最关键的是让他们明白进位制的原理，我赞同华德福使用自然教具，而不需要使用蒙特梭利的数学教具。

比如，用石子数到十，十个小石子前面排个大石子，两个大石子就代表20个小石子，小孩子就能明白。到了100，那就是十个大石子，再用一个更大的石子表示。

用橡皮泥也可以，十个小橡皮泥球捏在一起，就是一个进位到十了。

我们学到1至5以内的加减。下周准备学习6和7，以及7以内的加减。

加减法，可能还是要注意到十进位的问题，孩子如果把十进位弄清楚了，加减法就没必要一次学一点，所以，数数在前，数数的时候，最终是要把十进位搞清楚，十进位搞清楚了，加减法就容易很多，老师负责的，只是告诉学生规范的符号系统。

我用三周的时间，教6以内的加减，每天约一个小时。

所以，数数很重要，不光是会数，“数数”的最后体悟是，明白了十进位制，然后再学加法，就容易多了，您的教学，没有进位制做基础来教加减，费的时间就会比较多。

我一直的观点，是小孩子们具有天生的数学计算天赋，我们能教会他们，但教不会猴子，就是这个原因，所以，教师需要负责的，只是在他们的数学直觉，和公认的规范符号体系之间，做个桥梁。像十进位制，就是一个符号体系，如果不明白，那加减法的教学就很难进行。

我们工作坊有一个会员，是在美国上华德福小学，假期回国参加我们的活动，孩子很聪明，但是因为华德福数学教学的问题，学得太慢。我暑假的时候，临时做的一堂数学课，就按照这种方法教她，集中火力到她身上，没想到，她妈妈当时急了，觉得我给孩子的压力太大，当着孩子的面，跟我表达反对态度。

她还当着孩子的面，把这个观点表述出来，要跟我打赌，她孩子其实没掌握，实际上，后来她发现，她孩子确实掌握了，因为本来这个孩子就很聪明，只是叫华德福这种数学教学方法给耽误了而已。

这里要解释一下下，她平常是非常柔和的人，也做过很长时间的幼小教育，平常跟我们家非常熟。但是她不了解数学的教学特点，她不相信， 我这一个小时，能把华德福几十个小时的教学，覆盖住，后来她思考之后，也跟我沟通清楚了。

我现在想来，原因在这里，对于我们数学家是显然的事情，可能对很多做幼小教育的人都不清楚，“数数”的教学结果是，孩子们明白了进位制，知道十个小石子，就是一个中石子，十个中石子，就是一个大石子，孩子们一旦发现规律，就能自己递推。

数学，不是一点一点学的， 不是先学会6以内的加减法，再学9以内，再学二十以内，起码对于我这样智力程度的，我回想起来，可能就是一通百通，但基础是，孩子们已经明白了进位制计数法。

数学一个是概念的引入，再一个还是练习，看来，华德福在国内国外，都非常轻视数学计算能力的训练，日本教育家阴山英男的观点是要练习到小学三年级，每天两张百格计算，就我的实践来看，我们工作坊这些孩子可能还要更长一些。

附记1. 实际上，会“数数”之后，孩子自然就会加法，譬如，我儿子因为一个契机，要算90+20元等于多少，才能买到一把弓箭，他就是算了快两个小时，就是靠计数算出来的，之所以时间长，是因为一个一个计数的时候，容易出错。

孩子自己就会算，哪用老师费那么大劲来教，如果进一步理解了进位制，那算起来就更容易了，那个时候，儿子其实已经知道了进位制，但是还不能够想到这种数数时碰上的概念，跟他面临的加法问题有关。

我这种教法，在孩子数数的时候，就让他们明白进位制（通过石子、泥巴），遇到我儿子这种教学契机，就可以把整个教学联在一起了，他用笨办法算完之后，就可以过几天后提醒他，还有聪明办法再想想看，从而体现了思考和推理的数学精神。

附记2. 我这种的教法顺序，跟传统的稍有不同，传统的是教10以内加减，再教20以内：

1. 学会数数，至少数到120，我当时选120是因为超过一百一点点，让孩子多体会一下。

2. 有些孩子在这个过程中会有困难，这些孩子其实很可能在数学上更有天赋，因为他们不是靠死记硬背。为解决他们困惑，要让孩子明白，十个小石子，就是一个中石子，十个中石子，就是一个大石子，孩子们一旦发现规律，就能自己递推。

3. 教个位数之内的加法，结果之数有可能会碰到进位制。

4. 下一步，不是教20以内的加法，而是教个位为零的两位数加法，孩子有可能用笨办法一个一个数出来，不用阻碍他们，这也是推理。最后再提醒他们，有聪明办法，从而让他们认识到，数数中碰到的进位制概念，在计算中也会出现，发现数学中的内在联系。

5. 两位数的加法，这时候使用进位制的通常算法，就是很自然的事了。所以，将计算分为20以内或多少以内的，并不太符合数学精神。实际上，会两位数的加法，就应该会任意位数的加法，一通百通。

6. 减法， 减法是加法的逆运算，会加法自然会减法，不过可以根据教育契机而视，孩子如果自己发现了减法，就正好告诉他们，所以，这个阶段有可能提前，教师要有耐心，不要急于告诉孩子减法，要把发现的机会，留给孩子们。

7. 减法，减法中还有一个退位运算，里面是锻炼逻辑推理能力的，有些孩子可能不善于掌握通用算法，但是喜欢用凑整的方法做出减法，答案也是对的，应该鼓励他们这种推理精神。

如果孩子们知道了5以内的加法，甚至实际上知道2以内的加法之后，即1+1=2，就已经明白了加法的原理，检验的方法恰恰是，给他们新的题做，比如7以内的加法，是“问”而不是再“教”一遍，如果他们不会，说明他们其实没有真正掌握原来的1+1=2是什么意思，只是形式上的死记硬背。如果教师感觉孩子们是知道加法的意思的，那就让他们花时间思考，思考的结果如果是正确的，不就确证，他们已经掌握了加法的原理么，要给他们时间，帮助他们保持注意力。

孩子是一通百通，不过有可能算法并不是最优的，甚至非常笨，但是结果是对的，教师们所做的，就是继续引导他们找到最优最快的算法，也就是平常所见的通用算法，在找的过程中，孩子们还会意识数学中的内在联系。

所以，我们不把“数数/进位制”、“加法”、“减法” 混在一起教，就是为了给孩子思考的机会，发现的机会， 孩子在“数数”的过程中，有可能自己发现“加法”，在学习加法的过程中，有可能自己发现“减法”，这才能体会数学的推理过程，发展过程。

看来，我这儿的总结，能形成一个新的教学规范了，这是我原先没有意识到的事，沟通还是有益于进步。

我们工作坊，下一回要讲到“乘法”，我们的讲法，跟大陆马上要出版《汉声数学图画书》有不谋而合之处 ，虽叫汉声，实际上是美国译著，感兴趣的，可去工作坊新浪博客查阅我们的教学记录。

附注.（20180924） 现在认识到，小学数学教材，在个位数学习阶段，将加减法与数数混在一起教，是有相当大的合理性的，既符合心理学，譬如孩子们容易认识1-4之间的个位数，又可锻炼数学思维，5-9则可通过加法来递推出来。所以，本文关于数数数到100要先于计算的论断，是当时的认识还很不清楚，属于严重的错漏之处。

此处不再详述，进一步地想法，请参考我们博客上将来推出的活动与文章。