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幼小阶段数学教育的真功夫 博文版
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自己在数学上，也跋涉这么多年了，在晨兴中心数学高手们的环境中熏染多年。根据他们的工作态度，往回推，认识到幼小阶段数学教育的真功夫，在于：
A1. 对数学的集中注意力。如果是孩子，只要有，肯定就是内发的，孩子不会装假，靠打靠拔苗，是弄不出来这种注意力的。
A2. 对数学的敏感度，即知道哪里不懂的能力。
如果两点具足，这样的孩子在数学上肯定能走很远。我成为老师后，发现很多孩子学不好数学，都可以归为这两点，原来在一开始，他们就没上道。
A2. 对数学的敏感度，即知道哪里不懂的能力。
如果两点具足，这样的孩子在数学上肯定能走很远。我成为老师后，发现很多孩子学不好数学，都可以归为这两点，原来在一开始，他们就没上道。
具体的案例内容，时间关系就不说了，总之，不能为了教会孩子们一点具体的知识，不适当操作，反而打掉孩子的 A1, A2 能力。
当然即使作为数学工作者，已经上道之人，层次亦有更为细致的区分，一个门槛过后，方知后面还有下一个门槛，真是天外有天，人外有人，再拼搏十年试验吧。
回到幼小教育，以此来看，可以推出：
B1. 心算能力是重要的，倘若心算不好，什么东西都要算半天，就不可能把精神放在真正的推理上，小孩子性子急啊。一般来说，小孩子在11岁才开始对数学推理有敏感性，数学推理中还是需要大量的算功，之前没有把算功练过去，一个简单的消去法都做得累，还怎么谈后面的推理和理性思维呢。
所以，学数学应该从心算开始，但是奇技淫巧般的各种速算法和珠心算则不必了，因为实用价值不高，而且容易跟A2矛盾，很多速算法的原理，孩子未必能真懂。这里，推荐阴山英男的方法：百格计算，相当于中国传统的九九乘法表的变形。
数学家传记证明了“心算重要”这个观念，当然也有些特例，但我估计，那些特例之人，当属性子特别平稳扎实之人，从而仍符合A1原理，又靠天性，在A2上有卓越的能力。
B2. 孩子笨，见了题目，说自己不知道，不仅是诚实，这种孩子可教。相反的一些孩子，见了题目，随口说出答案，乱猜乱答，违反A2，缺少了数学敏感度，就很难教他们真正学会一个东西。
先说B2，当孩子在数学上表现出“笨”的时候，我们最重要的不是给他们答案，最简单、最基本的做法是，承认这种“笨”，容忍这种“笨”，就是承认数学上有未知的东西。急于让孩子知道答案，急于让孩子变聪明，反而有可能降低了孩子在数学上的敏感度。
笨孩子，如果遇见聪明老师/宽容家长，可能最终会学得最好。聪明老师的一个重要教法是，帮助孩子们发现他不知道的“地方”，具体在哪里，如有可能，把它分解为数个小问题。如果幸遇天才学生，自己就能把不会的地方找出来，分解出来，学生有了如此高的敏感度，老师才能往深里教啊。当然，怎么指点，就得靠专业知识水平，而不是所谓的教学教法。
家长宽容，不逼孩子，就是不逼他们死记硬背，孩子若挂心于A1，即使无聪明老师，也有可能靠天性突破，孩子能学会数学，是本性具足，我们不会试图去教一个大猩猩学数学。
因而培养A1-数学方面的集中注意力才是最重要的，甚至可以为此降低数学内容的难度，不要过难，难得大学生都想不出来（很多小学奥数题目是这样的），那对孩子当然不好了。 只要孩子愿意做简单的题，只要他不厌，就让他继续做，而不是马上跳到更难的题目阶段，急于求成的家长实际上是在打扰孩子，而不自知。
小孩子题目做不出来时，最简单的一个方法是，教师或家长，看着他的眼睛，自己也保持着困惑不解的神态和眼神，这样，就可以维持住他的集中注意力，也许就多这么一会儿的时间，孩子自己就能把问题解决了。
数学上的东西，跟其他教育原理一样，重点不一定在于内容，更在于“心意”，全凭“心意”练功夫。如果不激发起孩子的求知欲，什么样的“辅导性方法”都是白搭的。
任何“辅导性”的教学方法，都应该以此为基础，其背后的原理除了成人和少儿都得遵守的A1+A2外，还牵扯到的少儿教育原则是：
C1. 孩子是通过模仿来学习的。
C2. 孩子是通过操练来思考的。
C3. 孩子的成长顺序应该是身、心、脑。
所以，我们不要替代孩子们解答问题，不要急于从逻辑理智上去帮他们解决问题，而是以身作则，让他们模仿，模仿我们面对数学难题时，困惑不解、钻研不休的那种神态/心态。
当然，做到 A1+A2 很不容易，需要很高的精气神，所以“数学家”难当。我博文推荐的张寿武访谈，其中讲到一个中国旅美年轻学者，得了国际数论大奖，我之所以推荐，即是此意：
做数学不容易，把数学做到国际水平更不容易，一个中国的农村孩子，能跟吃面包奶酪绿树洋房中长大的洋人拼，走到这步，更是不容易。
畅想未来，希望更多的数学小天才们，能在我们一代代建立起的良好环境里，生根长大。
附注1. 可以想见，不管是公立学校，还是商业培训学校，都很难真正按此操作。A1、A2,层次较高，就不说了，即使比较具体的B1、B2，也很难被他们真正执行。
比如B1-心算，公立学校的老师费不起那个时间，哪敢推动孩子们天天练一遍百格计算。商业培训学校呢，这种东西又太简单，这么简单的东西，怎么好卖出价钱呢，奇技淫巧才能有价码（普通家长们若是能知其理，就不会花钱让孩子走上歧途了，我以前博文中，曾讲述过自己的研究生在北京某Nasdaq上市教育培训学校任教的经历，我根本不相信那种方法能让孩子们学懂数学）。
还是家长们自己先做起来吧，尤其是科学网上的科学家们，若能找到合适的机制，打开乐善之门，则众智可期。
附注2. 集成以往的一些幼小数学教育的认识于下:
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我猜想，数学学习，应该渡过“去人格化”这一关口。具体解释以后会专文叙述，目前可参看我博客上的那个哲学研讲班的笔记博文。大概意思是，在数学教学中，不要引入过多的生命型人格，小猫小狗啊，这只是“花活”，不仅于真正的数学思维能力无关，相反，如果我的猜想正确，它们还会阻碍孩子们迈入数学的门槛。
某些新式教学方法，用“故事”讲数学，用“游戏”玩数学，不能光图热闹，如果不涉及
{(C1×C2×C3)} ^ {(A1+B1)×(A2+B2)}，
有可能跟数学之路背道而驰。
学数学，为什么一定要笑呢？一定要貌似有趣呢？只有习惯于“普通”，习惯于所谓的“枯燥”，才有可能真正迈入数学的门槛，真正地甘之如饴。
如果孩子还不能习惯这种“枯燥”，那就慢慢等待吧，把数学搞成“热闹”，孩子就能对数学开始产生“注意力”吗，极大的存疑啊。
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慢慢等待之时，需要家长们对孩子的信心。一些现代心理学实验已经发现，算术的基本概念，被证明天然地存在于孩子的头脑里，至于抽象化的思维方式，也在不少敏感的孩子身上自发地表露。
一些“新式”数学教育手法，其实与这种现代心理学实验的认识不同，更侧重于教，侧重于对算术的理性解释，而忽略了C1-操练。实际上，所谓的理性解释，老师所需要做的，只不过是把孩子们这种天生的算术认知习得，对应于公认的数学表达符号而已，太过了就不好了。表面上看，这有点机械化，实际上孩子们学会数学的过程就是这样，搞太多的花样，反而有可能适得其反。小学数学更像是智力体操，不需要太多的哲学化的理解。
我孩子，自己就知道1和1是2，我所要教他的只是，将“和”换成“+”，“是”换成“=”而已，符号对应而已，并不需要过多的理性解释。
更复杂一点的例子，我在“太好了，儿子变笨了”写道，大义是，
一些孩子会在"数数"的时候，错都出现在39、49这些地方，相应的数学概念通称是“进位制”。一个办法就是，暂时放弃，不要拔苗，只要孩子自己不急，就让他停留在更简单的练习阶段。等他感兴趣的时候，再帮助他把“进位制”中的数学表达符号弄清楚：
Step 1. 让他明白20就是两个10，30就是三个10（实际上，两个10就叫20，三个10就叫30），可以借用道具，10个小石子，就可以换一个大石子，两份10个小石子，能换几个大石子，如果孩子能答出来，现在只需要告诉他，两个10，就叫20即可。
Step 2. 9后面是10，这个孩子会非常清楚，19后面为什么是20，可能并不是很清楚，只是记下来的，结果到了更高的39、49，就推不出来了。 告诉孩子，49就是4个大石头+9个小石头，再加1个小石头，那是几个大石头，如果孩子能答出来，说明他已经到达了进位制的天性认识，只是尚未联系到具体表达符号而已。
道理弄通之后，传统的数数和背九九表，仍然是必须的，孩子需要大量的操练，只懂道理，不进行操练，就无法巩固孩子继续进步的基础。
不管是使用石子，还是使用手指头，背后都蕴含着孩子天生的“推理”能力，通过石子、手指头外化出来而已，大人之所以可以很快地算数，只不过是把这种推理能力，变成公知常识，记下来而已。
等孩子经过大量练习，对这些“推理”非常熟悉之后，他们也会乐于将其变成“公知常识”记下来，那时候自然也就算得快了。
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小孩子一般在小学四年级之后，才练习奥数型题目，是跟他们的身心发展节奏有关的，很多数学家传记也言明了11岁开始的数学兴趣。其实，理性思维的精神，并不是11岁突然冒出来的，11岁前有11岁前的理智生活。
这是因为，不仅数学语言中有理性思维的精神，自然语言和艺术语言（音乐）中也有理性思维的精神。比如，历史和地理，实际上就是理性思维的绝佳材料，正好是小学生阶段可以深入的部分，所以，即使孩子没有到达数学的理性思维阶段（一般是11岁之后），但是，很可能他已经进入自然语言的理性思维初期阶段了。新式教育，如果只知其一，不知其二，漠视孩子的这种理智需求，走另外一个极端，会一样带来惨重的教训。
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11岁前的自然语言的理性思维，跟11岁之后的数学语言的理性思维，有什么不同之处呢？
人的心理认识模式，往往是"从整体到部分"，这已经被专门地叫做格式塔心理学，在“自然语言”即汉语、英语学习中，可以完全照搬。但是，数学学习，是无法完全遵循这个格式塔心理学的，这也是数学学习的难点所在之一。
数学的一般教学规律，从简单到复杂，从细节到整体，是无法跳过的阶段。
先经过了传统的“简单到复杂，细节到整体”的第一阶段之后，这时候，就可以使用格式塔心理学，再重来一次，第二阶段就可以按"从整体到部分"的走法。
所以，数学学习，分为两个阶段，缺一不可。某些激进的教育工作者，忽视第一个阶段，只走第二个阶段，而传统教育，在不够资质的老师手里，就有可能只走第一个阶段，而不再走第二个阶段。两者当然都是错的，但是在效果上，激进派产生的损失会更大。
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