招募实践：分级教学思想下的初中代数课件制备与实践

主持人：王永晖 首都师范大学数学系教授

教师组： 硕士生 杨学成 许彦泓  周明宇 张璇

我们这个教学研究项目，目的是为了新式学校提供一种新的教学方案。当然条件所致，我们的人力有限，故而设定在初中代数这个相对更容易落实的范围，另一方面，即使在初中代数这个范围内，因为人员水平，我们也只能是做到一定的探水性工作，譬如，我们的分级教学思想的可行性评估，尤其是课堂讲授时间，是否能够像我们预期的那样，大幅度的精简，研究生教师组，将至少达成这个程度的实践工作。

这个过程中，需要参与的学生、家长们深度合作。我们这个项目前期参与的学生，必然是比较优秀的那一类，虽然在本项目中学的是初中代数，但很可能这些学生是小学高年级学籍，这些学生的优秀，也就使得我们这个项目，具有更大的弹性和鲁棒容错率。至于进一步的优化，从而适应于更广大的学生层面，肯定就不是目前这几位研究生小团队力所能及的了，我们需要事先就认识到我们能够达到的程度，这样才能真正务实而尽力地去做。

我们的教学方案，希望达成的目的是什么呢？就是在我们目前可以想象、可以接触到的各种方案中，我们致力于我们的方案，是最容易让学生跳级的。

教育体系的国策：跳级的战略意义

我们曾在这篇文章中，给予跳级最高的意义，大概意思是，国家决策机关是可以把这个指标，作为抓手的，用来衡量哪个教育方案更为优秀，以及哪些学校更加突出。

当然，单纯指标肯定是不够的，我们假定在通常的意义下，满足一些大家对教育的通常预设的前提下，譬如教育不能竭泽而渔，不能搞榨油式教学战术的前提下，可以把跳级作为一个教改的很好抓手。

当然，我们这个小项目，只是这个大想法下的小试验，船小好掉头，因此，我们在实验的时候，就不像统编教材那样，有那么多的顾虑。我们就将自己定位为课件，利用更为流畅的网络载体进行传播和交流。

关于跳级的社会意义，已经是全国政协委员级别的人士，历年在考虑的问题，最早是诺贝尔奖得主莫言，之后每届政协委员，都会提出相关的提案。我们作为教育界一线人士，认可他们的初衷，也准备为他们想法的落实，提供一些技术支撑。

首先，他们政协提案的想法，还相对过于原始，采用一刀切的方案，将12学年制一刀切地变为10年学年。

我们的技术方案，因为采取了更为精巧的设计，从而可以避免一刀切的做法，致力于落实个性化学习的思想，从而达成的效果，不是学生统一地都提前两年毕业，而是量才为出，优秀学生可以更容易地跳级，从而更早地毕业，而且，据我们这种设计，很可能产生的结果是，中学6年中具有跳级经验的学生比例，将会很大，很可能初期几年实践中就会超过20％，这还是我们根据教学经验的一种保守估计。

因为同学们太爱往前学了，这是人性，大学生们抢先修课修学分，这已经是一个全国很普遍的现象了。

跳级一方面具有社会意义，为国家节省巨大的资源，增加更大的人力，多快好省，这正是政协委员们提案的初衷。另一个方面，从学生层面上来看，更加符合个性化学习节奏，影响更大的是，学生们每个学期，都会看到大比例的同学跳级现象，这对学生们大群体的集体学习动力来说，是一个巨大的影响。

这种动力上的影响，来源于学生能够亲眼看到，亲身体会到的班级流动、上升现象，这将比枯燥的考试卷面分数，强的太多！

传统的考试卷面成绩，对学生的动力推动，还是太局限了！

我们的解决方案，致力于技术上的改进，在机制上重新设计教学进度方法，从而避免了传统教学方式中难于跳级的痛点。

我们的方案，取名为“分级”，是为了区别于目前流行的“分层教学”，后者的意思是指，将不同学习潜力的学生，分为不同的班级，使用不同难度的教学。

我们设计的方案，因为机制上的精巧构思，不同学习潜力的学生，实际上是可以混在同一个班级的，即，这个班级的课堂教学，对于同学们来说，是广谱一致的，只不过，区别是在课堂下面，有的学生做作业快，有的学生做的慢，做的快的学生，就容易跳级了。

具体来说，我们的分级教学方案如下，我们要将课堂教授内容，跟课下作业部分，做一个清晰的分割。我们的课堂教授内容，在我们的学识研磨之下，将精简为这样的程度，一个学年分为3个学期，初中三年，实算有9个学期，但是初中三年的数学课堂内容，实际上只用3个学期时间，就能讲完一遍，即一个学年的课堂内容，精简设计之后，实际上只对应到一个学期的课堂课时。

这样设计的妙处在哪里呢？

学生的课下作业，每个单元分为a、b、c共3个部分，由易到难，由浅到深划分。数学天资极高的同学，是非常有可能在一个学期，就把这a、b、c三级作业全部做完的，那么，他就可以在下一学期跳级。

还有相当多的同学，虽然做不到仅学一个学期就跳级，但是，第一个学期的时候，很可能把a、b两级作业，已经做出来很多了，那么就有相当大的可能，在第二个学期结束的时候，就把a、b、c三级作业都做完，那么第三个学期就可以跳级了。

普通程度的学生，那就是正常地一个学年学完一级就行了，但是，在同学们的互赶促进下，相当多的同学，将因此产生巨大的学习主动性，从而在三年9个学期的学习中，很可能的是，有非常大比例的同学，至少跳过1级。

对于跳级的同学来讲，这个时候，我们的课堂环节设计，就显示出优势了，这也是我们这种新的教学体系，需要新式的教学课件/资源的重要原因。

对于跳级的同学来讲，他跳入的下一级，不管他是在一个学年的哪一个学期跳级的，这位同学面临的课堂，都是在这一级从头来讲的，所以，跳级不跳知识，跳级的学生，还是平滑过渡来学习知识的。不像目前的传统教学，跳级难度很大，导致近些年来，跳级现象很少见，因为跳级本身，意味着需要跳过很多知识，旧班和新班之间有很大的知识间隔。

对于没有跳级的学生来讲，这些同学因为作业没有全部覆盖，所以不能跳级，这是数学学科的特点，不能光学了知识，必须还要具备相应的解题能力。那么，他们在新的学期，又在课堂上重复一遍上学期的课堂内容，这样会不会枯燥呢。

实际上，中小学教学一个非常重要的现象，就是大量的重复，如果不是因为这种大量的重复，学生们早就很快学完了全部知识了。这种重复，在教学上是非常必要的，那些不需要重复次数太多的优秀学生，毕竟还是少数，而且，即使是这些资优学生，他们之所以表面上看不需要重复那么多次，实际情况往往是，他们小时候就很早地开始进行自我训练，早已经进行过大量的重复性训练了，主动性很强，其训练量往往会超出普通老师家长们的想象力。

重复是非常必要的，只不过，我们这种教学框架，这种设计产生的是周期跨度较大的重复，而不是传统教学常见的那种，琐碎式短期重复。这种周期跨度较大，一个学期之后才进行的重复，更加考验学生的思维能力，使得他们想数学的时候，更不容易落入死记硬背的俗套，更容易使用到我们所说的华罗庚教学法，我们命名为忆筛式学习。

数学教育从全世界看，就两大主流方法：Moore教学法； 华罗庚教学法

https://www.wolai.com/vn6WBkPC4ScwgL3EGkRjrd#aHEPy63HAP7moWmMHEGp9a 

我们这种周期跨度较大的重复，还可以使得课堂教学的组织形式更加灵活。譬如，第1个学期，往往是教师示范主讲，但是第2个学期的时候，就不一定是教师来主讲了，而是班上那些较好同学，他们主动上台来讲。

这又是激发学生学习主动性的一个好办法！而且，对于这个类级的学生来讲，这么做，往往也是必要的，不是走形式，他们既然无法做到最优秀那级学生一个学期做完所有习题，说明能力上还是有欠缺，需要老师通过学生研讲的方式，帮助学生查遗补缺，这是比作业批改方式，更为深入的反馈检查机制。

用一个生动的比喻，我们将课堂教授部分，变成了一个循环播放电影院，三个学期都重头播放一遍，每个学期循环一次。

由上可见，我们这种分级教学方案，不仅仅适用于初中代数范围，实际上，我们希望是适用于中学所有6年课程的，只不过因为我们人力有限，暂且限制到一个小范围里面，更容易实现而已。

要再次强调一下的是，我们这样设计的课堂教学部分，以及课下习题作业部分，对于学生们来说，是广谱一致的，大家学的东西，都是一样的，不同的仅仅在于学习进度而已。

这就是“双基”的意思，基础知识，基本能力。针对于那些进度很快的学生，他们把初中三年课堂都学完了怎么办，在剩下的时间里面，可以根据学生的发展情况，或者再做一些d级综合题，难度更高，不适合分发在每个学期每个学年中，而更适合放在整体学完之后。另外一个选择，则是继续往下学，这样就会导致，一定比例的高中生，在高中学业结束的时候，已经学过了大学程度的数学内容，从而可以在上大学之后，在相应课程上申请提前考核与免修。

现在，国家在大学层面上，大力提倡“拔尖”的理念和做法，这已经作为各个大学本科生教学的重中之重，各个著名大学都有自己的拔尖项目班，用来作为国家教育部整体拔尖计划的某个子项目。

中学层面上，尚未有这方面的国家级推动，导致中学和大学呈现出越来越大的脱节现象，大学越来越要求“拔尖”，中学按兵不动甚至后退。

下面是研究生教师组，跟我商量之后的落实方案。

课下作业分为ABC三个等级。A级类似中考中常出现的一些经典题，学生只要理解了课堂所学知识就可以直接进行解答；B级习题就需要学生对所学知识进行转化、变形，才能做对。这一级习题的数量应该设置的较多。因为从一般情况来看，优秀和较差的学生只是总体学生中的两个较小部分，处于中等水平的学生是大部分，所以中等水平的习题也要设置的相应较多。对于c级习题则需要学生灵活运用所学知识才能进行解答，还可以进一步理解为，其中相当一部分是课堂教学内容的一种深化，本质上相当于是数学的主干部分，本来是应该放在课堂讲授的，但是，因为中学的教学广谱化趋势，不再适合放到课堂上来进行，但是，仍然应该作为习题要求，学生们最终还是要学到，学会，只不过在教学进度上，因为放入到习题范围，从而可以有更大的个人适应性而已。

初中代数的课堂所用课时，如下计算。

先统合计算初中的所有数学，即，代数与几何合算，初中阶段三学年，每学年三学期，一学期10周，1周数学课是4小时学时，每学期共40小时学时。

考虑到代数部分在初中数学中所占的比例。所以预计在初一初二每学期的10周中拿出4周进行教学，也就是说每学期用在代数上的教学时间为16小时，初三是两周共8小时，因此，初中三年的代数课程单纯一轮的课堂时间为40小时，对于普通学生来讲，重复三轮之后的课堂总时间为120小时，相当多的优秀学生的课堂时间将介于40小时和120小时之间，多余出来的课堂时间就可以在初三时集中用于学生的自主学习兴趣活动。

教学大纲分为两种方案，第一种方案，是更接近于目前的常规学校的教材，第二种方案，则更加体现进我们对数学的理解，我们的研究生教师组，在课件制作和实践时，将更偏重于第二种方案，第一种方案将只是参考，用于定位和查遗补缺。

------教学大纲 方案1 ----------------------------------------

初一学年

第一周

第1学时：1.1负数的引入、1.2用数轴上的点表示有理数

第2学时：1.3相反数和绝对值、1.4有理数的加法

第3学时：1.5有理数的减法、1.6有理数加减法的混合运算

第4学时：复习与巩固

第二周

第1学时：1.7有理数的乘法、1.8有理数的除法

第2学时：1.9有理数的乘方、1.10有理数的混合运算(1)

第3学时：1.11有理数的混合运算(2)、1.12数的近似和科学记数法

第4学时：复习巩固

第三周

第1学时：2.1字母表示数、2.2同类项与合并同类项

第2学时：2.3等式与方程、2.4等式的基本性质

第3学时：2.5一元一次方程、2.6列方程解应用问题

第4学时：复习巩固

第四周

第1学时：3.1不等式、3.2不等式的基本性质

第2学时：3.3不等式的解集、3.4一元一次不等式及其解法

第3学时：3.5一元一次不等式组及其解法、3.6一元一次不等式的应用

第4学时：复习巩固

初二学年

第一周

第1学时：4.1二元一次方程和它的解、4.2二元一次方程组和它的解

第2学时：4.3用代入消元法解二元一次方程组、4.4用加减消元法解二元一次方程组

第3学时：4.5二元一次方程组、4.6二元一次方程组的应用

第4学时：复习巩固

第二周

第1学时：5.1整式的加减法、5.2幂的运算

第2学时：5.3整式的乘法、5.4乘法公式

第3学时：5.5整式的除法

第4学时：复习巩固

第三周

第1学时：6.1因式分解

第2学时：6.2提公因式法

第3学时：6.3公式法

第4学时：复习巩固

第四周

第1学时：7.1分式、7.2分式的基本性质

第2学时：7.3分式的乘除法

第3学时：7.4分式的加减法、7.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用

第4学时：复习巩固

初三学年

第一周

第1学时：8.1平方根、8.2立方根

第2学时：8.3无理数与实数、8.4二次根式及其性质

第3学时：8.5二次根式的乘除法、8.6二次根式的加减法

第4学时：复习巩固

第二周

第1学时：9.1一元二次方程

第2学时：9.2一元二次方程的解法

第3学时：9.3列方程解应用问题

第4学时：复习巩固

------教学大纲 方案2 ----------------------------------------

初一学年

运算律及其相关证明（包含了传统的有理数部分，相当于是这块儿数学内容的主干核心，从而更突出了这块儿数学内容上的本质。这部分的课件，实际上是小进初代数抽象推理探索营的一个简化版）

线性方程（最高到三元一次方程组，将线性方程组合在一起教学，而不是像目前教材一样分割，这样可以更有效率地集成课时，而不是把宝贵的课堂时间，消耗在同学们已经在小学非常熟悉的容易题目上面）

初二学年

因式分解（整式 分式  根式）

线性不等式（1. 此处必须引入坐标轴才能讲解清晰，从而也就包含了相应线性方程的坐标轴解释.  2. 此处就可以涉及到最简单的线性最优化应用题，值得引入到初中代数内容之中）

初三学年

一元二次方程与函数 （此处引入函数概念及其坐标轴图像表示法，即，坐标轴表示法，在线性不等式引入之时，只引入坐标轴，并不同时引入函数，而是再把函数往后放到此处才介绍，从而分解了教学难度，逐次引入新的概念和方法。）

三角函数（其课时可以计在大纲40学时之外）

参考教材：除了国家现行的标准教材和地方优秀教材之外。我们还将参考

1. 80年代教材，当时也是凝结了相当多数学界数学教育界的精华成果。

2. 可汗学院的课件。

3a. AoPS网站的两本代数学教材，尤其是第1本，因为第2本难度较深，接近于高中水平了。

3b. AoPS网站Alcumus题库的对应初中代数部分。

4. 新加坡教材的讲法。

5. Gelfand教材中的初中代数部分。

我们当然知道，手头上也有项武义主编教材的电子版。但是，我们的课件风格，将更倾向于可汗学院风格，即学生针对面更加广谱，而不是把大学数学的内容，下放到中学，甚至初中，学生在我们的体系中，还是该到什么时候就学什么，只不过各人速度不同而已。

硕士生教师编组方案，因为正好有4位研究生，按照2人成一小组，正好形成如下的课件制作和教学小分队。数字代表教师编号。

正好每个同学，都会参与制作每个年级的课件一次，只不过，每次的分组搭档同学轮换而已。

招募合作意愿的家长说明。

我们团队的优势在于，有数学系比较纯正的教师团队，硕士生也是从数学系本科一直学上来的，相对来说比较正规。

不过，因为我们正在初始积累阶段，我们也不敢保证，硕士生就一定能很快地做好这件事情，所以，我们允许参与合作的家长们，具有相当大程度的自由自主教学权，即，欢迎家长们参加我们这个教学课件制作的过程，但是，我们并不强求家长一定使用我们的课件和理解方式，家长们完全可以优中选优，自由决定最终的教学实现方式，如果家长们自己构思的、或选择的更合理，我们也希望硕士生教师们，可以认真吸收和采纳。

所以，我们这个项目，跟家长之间的关系，属于双赢，大家各取所需，家长们急切需要好的教学材料和理念，我们可以在微信群答疑解惑，而不仅仅是按部就班地编制课件；我们需要学生，来真正落实我们的想法，而不是纸上谈兵，得到反馈从而改进，做出点儿真东西真贡献，而不是走个形式。

联系人：两位女硕士生，任选其一即可，她们会将您加入我们的研讨微信群之中

张璇：微信号 xxxzzz_11

许彦泓：微信号 xyh17743631021