实际的机器学习算法通常需要实现一个目标指标，但该目标指标经常是为实现优化目标而得到的解或微分方程（差分方程、微分方程组）的解，该解经常无法准确求出但能证明其存在性。若该解能表示成一个无穷级数和的形式，能证明该级数收敛但无法求出其和，此时，可以通过级数理论中的级数和的估计定理来控制误差的上界。

    为了控制实际误差小于等于上界，应该用多少项的部分和来估计才能做到呢？根据估计定理可以求出项数，但有时求出的项数n非常大时，得到代表这些项的数据所占用的计算资源太大，有时甚至在短时间内无法做到。这就需要减少实现误差上界的项数。如何才能做到呢？深化级数的误差估计理论，找到多个可选择的上界函数是一个途径。通常的结论是，误差上界估计函数所需的项数构成越多（意味着解项数的方程构成越复杂），实现误差目标所需的项数有减少趋势。但具体减少程度多大？不同问题的答案是不同的。

    上面所说的内容中蕴含了一个非常有意思的解决思路，常人不容易理解，感觉骨骼惊奇。具体概括为：明明知道解存在，但是求不出精确解，但满足一定条件下，可以求出给定误差要求的估计值！！厉害不厉害？？

误差由精确值和估计值的差异计算得到，明明精确值不知道，但却能控制误差，误差你怎么算出来的？？神仙变出来的？？？

   其实关键是，控制误差仅仅需要控制一个最大误差，所需要的估计值也仅仅需要在最大误差范围内即可。误差小了，那就更好了？