引潮位

对于一个二体问题，地球和月球绕它们的质心作圆轨道运动，月球对地球质心的引力维持着地球的轨道运动。同时，月球对地球任意一点也有引力作用。而月球对地球任意一点与对地球质心的引力之差就称为引潮力，它可用一个矢量表示。由于引力是一种保守力，因此引潮力也是保守力，所以有一个标量与引潮力相对应，这个标量的梯度就是引潮力，这个标量就称为引潮位。

   设O为地球质心，P为月球质心（由于天体之间的距离较远，因此月球可以看成质点），A为地球上的任意一点，OA的距离为r，AP的距离为l，OP的距离为r₀，A和P的地心夹角为 $\vartheta$ （也叫地心天顶距），那么月球对A点的引力位和引力分别为

$V_A=\frac{GM_m}{l},f_A=\frac{GM_m}{l^3}\vec{l}$

其中，G是万有引力常数，M_m是月球质量。月球对地球质心的引力位和引力分别为

$V_O=\frac{GM_m}{r_0},f_O=\frac{GM_m}{r_0^3}\vec{r_0}$

所以月球对地球的引潮力为

$f^T=\frac{GM_m}{l^3}\vec{l}-\frac{GM_m}{r_0^3}\vec{r_0}$

用W表示引潮位，x，y表示A点坐标，则W的梯度就是 $f^T$ ，即

$\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{GM_m(r_0-x)}{[(r_0-x)^2+y^2]^\frac{3}{2}}-\frac{GM_m}{r_0^2}$

$\frac{\partial W}{\partial y}=-\frac{GM_my}{[(r_0-x)^2+y^2)]^\frac{3}{2}}$

由上面第一个等式对x积分可得

$W=\frac{GM_m}{[(r_0-x)^2+y^2)]^\frac{1}{2}}-\frac{GM_m}{r_0^2}x+F(y)$

其中， $F(y)$ 是待确定的函数。由上面第二个等式对y积分可得
$W=\frac{GM_m}{[(r_0-x)^2+y^2)]^\frac{1}{2}}+F{}'(x)$

$F{}'(x)$ 也是待确定的函数。显然，由这两个等式积分获得的引潮位应该相等，所以

$F{}'(x)=-\frac{GM_m}{r_0^2}+F(y)$

显然，当A点位于O点(x=0,y=0)时，W=0，由此可以确定

$F(y)=-\frac{GM_m}{r_0}$

因此，最终A点的引潮位即为

$W=\frac{GM_m}{[(r0-x)^2+y^2)]^\frac{1}{2}}-\frac{GM_m}{r_0^2}x-\frac{GM_m}{r_0}$

即

$W=\frac{GM_m}{l}-\frac{GM_m}{r_0}(1+\frac{r}{r_0}cos\vartheta )$

可以将月球对A点的引力位展开为球谐函数级数，

$V_A=\frac{GM_m}{r_0}\sum_{n=0}^{infinity}(\frac{r}{r_0})^nP_n(cos\vartheta )$

所以引潮位为

$W=\frac{GM_m}{r_0}\sum_{n=2}^{infinity}\frac{r}{r_0}P_n(cos\vartheta )$

可以看出，月球对A点的引潮位即为月球对A点引力位扣除0阶项和1阶项之后的剩余部分。

   我们也可以从另一个角度来看引潮位。从月球对A点的引力位可以看出，对于0阶项，由于它是一个常数（与地球上任意点的坐标无关），因此其对应的引力为0，所以不会引起地球的潮汐形变；对于1阶项，用A点坐标（余纬 $\theta$ 和经度 $\lambda$ ）和月球坐标（余赤纬 $\delta$ 和赤经 $\lambda _m$ ）表示 $cos(\vartheta )$ ，即

$cos(\vartheta )=cos(\theta )cos(\delta )+sin(\theta )sin(\delta )cos(\lambda -\lambda _m)$

所以

$W_1=\frac{GM_m}{r_0^2}r[cos(\theta )cos(\delta )+sin(\theta )cos(\lambda )sin(\delta )cos(\lambda _m)+sin(\theta )sin(\lambda )sin(\delta )sin(\lambda _m)]$

根据球坐标与直角坐标的转换关系

$\left\{\begin{matrix}x=rsin(\theta )cos(\lambda ) \\ y=rsin(\theta )sin(\lambda ) \\z=rcos(\theta ) \end{matrix}\right.$

转换到直角坐标系下，有

$W_1=\frac{GM_m}{r_0^2}[zcos(\delta )+xsin(\delta )cos(\lambda _m)+ysin(\delta )sin(\lambda _m)]$

对x, y, z求偏导数后可以发现1阶的引力是与A点坐标（此时为转换到直角坐标系下的x，y，z）无关的，只与月球的位置有关。也就是说，月亮对地球任意一点的1阶引力是大小相等，方向相同的，因此它使地球作平动而不产生变形。这个引力正是维持地球轨道运动的力。所以能够引起地球变形的引潮位是从2阶项开始的引力位。

对于太阳或其他天体的引潮位，也有类似的公式。所以只要知道A点的坐标，天体的位置，我们就可以计算A点的引潮位，进而计算地球表面或内部的各种潮汐量，如重力、位移、倾斜等。