替代Matlab的开源软件有很多，但替代Mathematica的还是第一次听说。

这篇介绍的是韦德公式，不要与韦达定理混了，虽然这两个结果都是同一个人得到的。

特奥多鲁斯螺旋也称为平方根螺旋，爱因斯坦螺旋，或毕达哥拉斯螺旋。

计算似乎无所不能，宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”，也逃不脱逻辑设定的界限。第一位发现这一点的，便是图灵。继续阅读：计算的极限（十）：无限绵延的层级；计算的极限（十一）：黄金时代

这位中学老师有幸得到了一个3D打印机。他决定带学生做一些项目。等幂等积定理是一个好的开始。

陶哲轩今年讲研究生的概率理论。他会怎么讲呢？延伸阅读：积分与期望值，积测度和独立。

这是美国数学会的一篇文章。其实更有意思的是作者放在网上的那个。

Knuth有一篇论文发表在美国数学月刊上，论文的题目叫《厕纸问题》，论文的内容是关于厕所里卫生纸的使用，开始发过去的时候，编辑回信说学术论文里不能有太多的笑话，因为他每节的标题里包含了太多的“粪便学”词语。后来Knuth不得不修改了每节的标题，但是论文的题目他再也不肯改了，他回信骗编辑说，这个论文的内容他在很多学术会议上做过报告，所以改成别的题目别人会不太容易找到。

持续时间为0的10天，即公元1582年10月5日至14日，明天醒来时已是10月15日。原来是被杰出的耶稣会数学家克利斯多弗·克拉维斯

韦达跳越（Vieta jumping）是一个处理数论的证明技巧。通常是藉韦达定理，来对根进行无穷递降法。韦达跳越在国际奥林匹克数学竞赛（IMO）里是一个相对较新的数论解题技巧，在1988年IMO第一次出了这类的题目，且被认为是当年最难的题目。范例： a 和 b 是正整数，且  ab 整除 a^2 +  b^2 + 1. 试证  3ab= a^2 + b^2 + 1.

一位数学家声程解决了一个最重大问题之一，但问题是没人能确定他是否正确。

你能用两个数和一个函数产生出具有美感的且对称的曲线吗？更多阅读：其他数学文章

这个标题不太容易翻译。陶哲轩最近听到了一个新奇的矩阵算子，叫作“Sweep Operator”。这个算子在数值线性代数和统计学里有应用。这个算子还有一个名字：“gyration”，陶在评论里给出了综述文章的连接。

有人想做图论的难题，热心人提供了不少。

课上发生了一件奇怪的事情：老师让学生批改另一个学生的卷子。但她没小心把一个学生自己的卷子发给了那个学生。这样一个事件的概率是多少？

“爱情与数学的礼记”是一部电影。如何让一个非数学家知道，数学可以像诗词、音乐和绘画一样美呢？一位导演问自己。他想要数学印到每一个人的身上。於是有了这部电影。西方的导演就是不一样。

作者跟一群心理学的学生想知道自然界分形的图像会如何反映到脑子里。於是他们写了一个程序来实验。

作者认为自己发现了一个新的实数的性质。他希望找一个合作人。几年前，他看到了一篇文章，说998001的的倒数正好是从000到997这个数列三个三个地一起放到小数点后。就是说，1/998001 = 0.000001002003004…。这应该不是一个巧合。他决定深究下去。他发现了什么呢？相关阅读：隐藏在普通除法里的斐波那契序列。

给两个分数a/b和c/d，要找这两个数中间的一个分数。怎么找？看看(a+c)/(b+d)。

美国本土有四个时区。这样美国人看太阳升起的时间大约是一样的。而中国只有一个时区。於是新疆的居民看日出的时间就会很奇怪。这种奇怪的时间在别的国家里也有。有多奇怪呢？我们可以定量出来。用颜色表示，越奇怪就越红。看看多少奇怪的时间吧。

在图论的数学领域里，一个笼子是一个正规的图，它在边上具有尽可能少的顶点。一个（r,g）笼就是说每一个顶点都正好有r个邻居，而且最短的环路是g。Balaban 10-cage是第一个被发现的(3，10)笼。相关阅读：>哈里斯图。

数学化学(Mathematical Chemistry)中的哲学问题。

在前期工作的基础上，提出强而有力的证据，进一步论述了在现有微积分基础理论中，贝克莱悖论没有、也根本不可能如很多人所认为并声称的那样被消除，而只是在若干繁复、生僻的概念、定义、步骤之下被掩盖。基於此认识，把先前提出的唯一可以彻底解决此类矛盾、并且根本无涉极限、潜无穷、无穷小概念的导数的全新定义，推广到微分、积分领域，以彻底解决、澄清数学分析基础理论中的一些疑难问题。可以看出，如想真正消除微积分基础理论、导数求导、微分、积分理论中的固有矛盾，笔者前期及本文提出的理论解释──特别是关于导数的新定义──就不能不是必需的。显然，分析理论中的矛盾、悖论即消，可使整个理论非常明确并大为简化。同时，正是由於现有的、仅仅致力于“掩盖”分析理论中固有的矛盾、悖论的做法本身的窘境，而使中外学者甚感困扰的微积分基础理论的教学困难，也必将由於理论中矛盾的彻底澄清而变得极其简单、干净。

尽管牛顿和莱布尼茨首先创立了微积分，但理论其基础尚不稳固，还有许多问题亟待修补与完备。 首先是法国的达朗贝尔(d'Alembert, 1717-1783)提出将微积分的基础归结为极限，但他缺乏实质性的成果。严密的工作是从捷克的波尔察诺、德国的魏尔斯特拉斯数学家开始。在基础方面最后一个需要解决的问题是实数理论，在这方面德国的康托尔和戴德金分别给出相互等价，但方式不同的实数定义， 正是这些实数理论为微积分理论的严密性打下了坚实的基础。

随机矩阵始于50年前的微观物理，被用来描述原子核的能级。然而随著时间的推移，它开始在各个方面浮现。从通货膨胀率到固体性质，都出现了它的身影。一些科学家开始思索这些现象的背后是否蕴含著某些不为人知的共通模式。所有的这些，起源于物理学家将未知转变为优势的成功探索。

海尔，2014年菲尔兹奖得主之一。这位英国教授在颁奖前，并非最热门的人选。然而，他当选了，给他的评语是“对随机微分方程的有突出贡献，尤其是为一类方程创立的理论。”这对海尔教授来讲是一个惊喜吧。海尔描述：随机偏微分方程（简称SPDE）是用来描述，在含有随机因素的情况下，一个系统在一定时间和空间内的演化 。

黄金三角形：从黄金矩形（短边/长边=黄金分割数），连接该矩形左上角和右下角作对角线，然后从右上角向Y '点（对边上的黄金分割点）作一线段与该对角线相交（可证明该条线段垂直于对角线），这样就把矩形分成了三个不同的部分，在理论上完成了黄金分割，下一步就可以将所要拍摄的景物大致按照这三个区域去安排即可。

学好数学需要天赋的观点，是造成这么多“数学创伤”的主要原因。一旦孩子形成“自己不是学数学的料”的想法，他们的人生就步入下行轨迹，他们的职业选择立刻大幅缩减。

如果只是单纯地纠结于数学是被发明还是被发现的这个问题，或许会忽视另一个更为纠结复杂的答案：两者都起著关键作用。我推想，将这两方面因素结合起来，应该能解释数学的魅力。发明与发现并非势不两立；虽然消除它们之间的对立并不能完全解释数学的神奇效能，但鉴于这个问题实在是太深奥，即使仅仅是朝著解决问题的方向迈出一小步，也算是有所进展了。

介绍Cantor 理论的具体内容。Cantor把比例数的基本列的等价类定义为实数（的表示）。将比例数和比例数列的一切已知的性质完全推广到实数范围，并且证明了在实数范围内，基本列一定收敛。继续阅读：怪物终於回归常识 | 把怪物回归常识（6）；用十进数表示实数的直接论述 | 把怪物回归常识（7）。

其实在LOGO背后有很深的数学意义哦。

作者中科大2004 年本科毕业，博士是计算机专业。1. 为什么要深入数学的世界；2. 集合论：现代数学的共同基础；3. 分析：在极限基础上建立的宏伟大厦；4. 代数：一个抽象的世界；5. 分析与代数结合。

据说在１６６９年，牛顿在剑桥大学升为数学教授。当时学校资金紧张，教职工薪水已欠数月。为解决此问题，牛顿潜心研究创立了微积分，将一门名叫“微积分”的新科目设为全校的必修课，并规定不及格者来年必须缴费重修直到通过。很快教师们的工资发了下来。

布尔巴基学派的工作，是对现代数学的主要思想进行分类和概括。他们强调数学的抽象结构和整体上的统一性。以此为出发点，他们编写出版了《数学原本》这套巨著。首卷于1939年出版，到70年代中期，共出版了近40卷。它涉及现代数学的大部分领域，将数学知识按结构的观点重新组织，形成了全新的体系。

费马大定理从提出到证明的过程，就是一部不折不扣的惊险小说。一个读者，在自己看过的书空白处留下附注。除了他自己，还有谁会关注呢？但是，法国人费马死后，他在一本《算术》书上所写的注记并没有随之湮没。其长子意识到那些草草的字迹也许有价值，就用五年时间整理，然后印出一个特殊的《算术》版本，载有他父亲所做的边注，那里面包含了一系列的定理。

数学即是诗，诗即是数学。因此，李尚志常常用诗来描述数学。比如，对三角函数，他用“东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣”来描述。

要是人群中做一个小范围调查，问大家的幸运数字，答案肯定五花八门，3啊，6啊，8啊，12啊，365啊肯定不一而足。要是有个人面露微笑报出一个“153”来，你也不用太过吃惊，只是可以在心底确认一下：哦，这位是基督徒。为什么这么说呢？理由很简单，因为153是圣经数啊。But，why？事情是这个样子的。那是个风平浪静的夜晚，正是打鱼的好时光。彼得约了几个小夥伴，一起去打鱼。那晚的收获不尽如人意，天快亮的时候，耶稣站在岸上对他们说：“你们把网撒在船的右边，就必得著。”虽然彼得对自己的打鱼技术很自负，但还是听从了耶稣的吩咐，“他们便撒下网去，竟拉不上来了，因为鱼甚多”。多到什么程度呢？彼得“把网拉到岸上，那网满是大鱼，共一百五十三条；鱼虽然这么多，网却没有破。”这则有趣的故事，出现在圣经《新约全书》中的《约翰福音》的第21章里。这“153”后来便被称为“圣经数”。

美国摄影师Richard Silver在几年里走访了75个国家，220多座城市的教堂，并且采用180度垂直的方式捕捉教堂内部的全景图像，每张照片由6到10张单独的照片拼合而成。不用抬头就可以饱览全世界的教堂内部绚丽而震撼的穹顶设计，看完之后，有没有一种刚刚从后仰状态中直立起来的眩晕感？

文学家对事物有不同的感受，由此产生不同的吟唱，一个“柳”，温庭筠有“柳丝长，春雨细”；李白有“风吹柳花满座香，吴姬压酒劝客尝”；晏几道有“舞低杨柳楼心月，歌尽桃花扇底风”。在数学领域，何尝不是如此。数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。丘成桐举例：勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明帮助人们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上多个方向的发展。

初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出所有的根以及它们所具有的性质。那么一次代数方程是否都有求解公式？本文主要从基本的一元1、2次方程入手，并借助拉格朗日方法、韦达定理、杨辉三角等性质，对较为复杂的一元3、4次方程进行了研究学习，且进一步对一元n(n≥5)次方程的问题进行了探讨。

本文主要介绍发散级数在非柯西意义下的求和问题，并将会特别考虑格兰迪级数的求和。通过格兰迪级数在其他意义下的求和，来说明柯西关于级数收敛的定义并非是绝对的。加加减减的艺术（二）：柯西不是上帝；加加减减的艺术（三）：一些常用的权及求和方式；；加加减减的艺术（四）：欧拉的技巧；加加减减的艺术（五）：零不代表没有！；

1975年，一位妈妈Marjorie Rice在她儿子订阅的科学美国人杂志上读到，世界上只有8个已知的五边行可以拼出一个平面来。尽管她没有高中以上的数学背景，但她还是发现了一个新的。到1977年，她一共发清b了四个。科学美国人杂志上有一个趣味数学专栏。这个专栏把这位妈妈变成了一个业余数学家。

尽管埃舍尔绘画中的数学是众所周知的，但其深度却少有人涉及。他大概是自文艺复兴以来唯一一位将数学如此深入地画出来。而且他追求对数学的理解完全是为了在艺术上表现出来。本文带你看一看他是怎样创作的。

想一想，你能否将一张纸折叠起来，然后一剪刀把它剪出一个正方形？三角形？六边形？结论可能有些意外呢。美国人在谈空间时，不会用“spaces”。但数学家Evelyn Lamb却有一个系列叫作“ A Few of My Favorite Spaces”。看看数学家们是如何创造出新的空间的。最后。“Hook” (胡克) 不是人，是一个游戏。

数学有些神秘，数学有很多传说。但传说是否都是准确的？作者在推特上询问，得到了许多提示。有人举了高斯从1加到100的故事，有了举了根号2的故事，…看来数学史学家们可以忙活一阵子了。

许多问题都可以归到在不确定因素条件下的一系列决策。由於有大量的应用，整个领域有许多名字，比如动态规划、随机优化控制、随机规划、模型预测控制等等。在每一个名字下都有自己的习惯、符号和应用。本文希望把它们统一起来。

人们认为四元数空有漂亮的数学结构，没有什么实际用途，不过是数学史上又一个无足轻重的脚注罢了。直到计算机时代，四元数终於找到了自己的位置。还有最密堆积，3个世纪后在信道中相遇。概率论：从赌桌上的硬道理到保险业的发展。

给一个平面的迷宫，可以按照一定的算法，保证你走出来。到到三维就不一定了。另外，当有多个途径时，如何优化？

数学家喜欢谈“漂亮的结果”。这是什么意思？数学家的脑子里有没有一个特殊的区域非常活跃？有科学家做了一项实验。

“的士数”是最小的能以n个不同的方法表示成两个正立方数之和的数。截止现时，只找到6个的士数。

哈哈哈，这课要逆天了，简直就是用单口相声讲物理和数学好吗？以网络语言解读知识，还附送记忆技巧，最短的时间满足学生（zha）的真实学习需求。

• 集合-1

• 函数-1

• 电容器1

• 三角恒等变换-1

大脑中有一个特定的区域能让人们估计数量级，让他们对数和量有一种直觉。每个人的这个系统在敏感性上具有差异，这就影响到他们的数学学习。

为了保存“宏伟定理”长达15000页的证明，几位年老的数学家正在与死神赛跑。全世界能够理解这些证明的人所剩无几，他们害怕在年轻一代数学家接班之前就会离开人世。

我爱你，就像爱数学。在我每次拿了情理之中但我要假装出乎意料的低分后，我已经不做那种把卷子揉了再弄回来展平的虚伪之事了，褶皱是很嘲弄人的。我翘著腿思绪神飞的听著试卷讲评，从赞美最高分到挖苦最低分，从鸡和兔挤在一个神秘的笼子里到抛物线又抛到了一个神秘的国度，我从披荆斩棘地模仿签名到无所谓的双手一摊──这是我最神秘的爱。

谁说数学是泄5c燥的？在数学里，有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理，不但深受数学家们的喜爱，在数学迷。谁说数学是枯燥的？在数学里，有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理，不但深受数学家们的喜爱，在数学迷的圈子里也广为流传。

他扫描了一些花瓶作为模板，然后在软件中对表面上的各个点进行参数化，利用各种公式使其表面进行变形。有的公式控制它的比例，有的控制它的粗糙度，还有控制它的扭曲度的。随著这些参数的综合作用，很快，一件件洋溢著自然之美的作品产生了。

对著你迷惘，写下N个次方，我为你痴狂，不求荡气回肠，只求算一场，算到最后受了伤，结果那么长。

这是一篇写给八年级新生的文章，旨在告诉同学们，学习数学除了“算”、“证”，还应该学会欣赏数学，欣赏数学之美。这也正是当下中学生在数学学习上所欠缺的，我想不仅是八年级的同学，其他任何年级的同学也都应该学会欣赏数学，欣赏数学之美，只有带著欣赏的眼光学习，你才能真正体会数学的乐趣。

MIT 报告，在某种条件下，他们的算法可以预测人的行为，超过了人的预测。

YouTube 上一些很不错的数学频道。可能需要翻墙。

有时候，生态方面的数据完全不合理。在不列颠哥伦比亚省的弗雷泽河产卵的鲑鱼就是一个好的例子。科学家自1948年以来就在跟踪鲑鱼的行为。首先，鲑鱼数量似乎与海洋温度呈负相关。但在1970年代中期，一些奇怪的事情发生了：海洋温度和鱼的数量不再那么相关。鲑鱼种群出现随机波动。什么原因呢？

刚学矩阵乘法的人可能会发现，它与以前数字的乘法有很大的不同。也许这个博客可以帮你一下。

我们平时在地球上观察不到万有引力。於是美国宇航员为我们在国际空间站里做了一个实验。当然这个实验不是重力场，而是电磁场。但原理是一样的。如果能翻墙的话，一定要看一下原视频。

美国理论物理学家2004年诺贝尔物理学奖获得者弗朗克·韦尔切克写了一篇对物理学的展望。物理学的学生可以读一下。没人翻译一下？

压缩感知专家、斯坦福统计教授David Donoho针对媒体关于大数据科学的炒作，以统计学家角度写了一篇批判性文章《数据科学50年》。文章认为“大”不是关键，关键是在整个科学领域推广数据分析。作者分析了数据科学上下50年，讨论了与统计学的异同，最后给出了自己的数据科学定义。

从2013年开始，山东省聊城市嘉明第一实验小学就尝试进行数学教学改革，他们招收了两个班作为试点，对这两个班的学生推迟学习数学课的时间，取消了一二年级的数学课，而补充朗诵、国学、书法等课程，从三年级开始，学生才开始接受普通数学课程，实践至今，首届实验班的学生已经正式的开始上数学课，经过一个多月时间的学习，根据学校和部分家长反映，暂时还没有发现这两个班的孩子对课程有什么不适应。目前，学校已有24个班取消了数学课。校长称，逻辑性强的数学课程并不适合低年级的学生。

设 L₁ 和 L₂ 是空间中两异面直线. 设在标准直角坐标系下直线 L₁ 过坐标为 a 的点, 以单位向量 v 为直线方向; 直线 L₂ 过坐标为 b 的点, 以单位向量 w 为直线方向.   (1). 证明: 存在唯一点 P∈ L₁ 和 Q∈ L₂ 使得两点连线 PQ 同时垂直于 L₁ 和 L₂.   (2). 求 P 点和 Q 点坐标 (用 a,b,v,w 表示).  

柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。这个问题是基於一个现实生活中的事例：当时东普鲁士柯尼斯堡（今日俄罗斯加里宁格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍？这是一个美国大学生数学史科的一个研究报告。作为一个例子，它展示了学生如何用第二手资料研究数学史。

有一位数学家在去年赢得了世界上数学领域的最高奖──菲尔兹奖，他名叫阿图尔·阿维拉。假如你没有听说过，我也不会责怪你。除了巴西以外的地区，媒体都在关注一位和他同时获奖的另外一位数学家米尔扎哈妮(Maryam Mirzakhani)──她是首次获得该奖的女性。虽然看在这位数学家是第一个获得这个奖项的巴西人以及拉丁美洲人的份上，他本应该占据本地各大新闻的头条，但是各个报纸却在报导另外一个事件：一位巴西总统候选人的飞机坠毁了。阿维拉，这位被大家称为拥有巴西最聪明数学大脑的数学家，就这样被大众忽略了。

亚洲方面，中国大学表现抢眼。前十名中，来自中国的大学占据了其中八把交椅。其中内地七所，香港一所。另外两个名额被韩国和日本的两所大学占据。北京师范大学排第29名。

纽约时报网站仿照芝加哥大学的四位学者的关于学生家长“数学焦虑症”现象研究内容，设计了10个关于数学问题，用于测试你是否有“数学焦虑症”。原文中的的有一些问题，我们稍稍做了修改，以符合我们中国人的生活习惯。

一位澳大利亚的学生利用人工智能从数千星系中找出最激烈最凌乱的星系。

今年是写过101部科普书的加德纳诞生101周年。他的书绝大多数是趣味数学的。这里是他最早提出的一些问题，以及后来发展出来的更多问题。

世界在我们大脑里的印记并不是图像化的：大脑所知道的外部世界只是一串混沌的电子脉冲，它从中构作出一个结构化的实体：这就是我们对所见所闻的感知。大脑创造结构的这个过程与大脑的语言部分发生联系，语言部分可以产生想法，而这些想法是能够被你有意识的心智感知和控制的。数学从这里开始了。

我一直觉得，像音乐一样，数学也是一门语言。为了系统地学习它，有必要一小块一小块地慢慢吸收，最终达到浑然天成的效果②。从某种意义上说，数学又像古代汉语──非常典雅而优美。听一个精彩的数学讲座就好比听一场精彩的歌剧。万事齐全，一切都趋向问题的中心，我享受数学！

我们的主题是数学类读物，主要是初中以前的数学类读物。中文：1.阶梯数学；2. 何秋光儿童数学思维训练游戏；3.数学绘本；4.数学帮帮忙；5. 走进奇妙的数学世界。英文：1，新加坡数学；2，Envision Math ；3，Saxon Math (Grades K - 12)；4，Beast academy；5，Math Mammoth；6，Everyday Mathematics；6，Math Connects (Grades Pre-K - 5)。

上个世纪在自然科学方面（不仅仅是物理学）有两个重大发现：量子力学与相对论。量子力学与相对论第一个重要应用是在核能方面，1945年首颗原子弹爆炸成功，随后有氢弹、中子弹的成功研制。在这个过程中，物理学尤其是量子物理不经意跟计算机科学联系在一起了。在原子弹理论计算过程中，需要大量的计算，当时在冯诺伊曼的架构下，形成了现代通用的计算机雏形。随后对於量子物理学家和理论物理学家来说，他们希望能够把相对论和量子力学综合起来，来探索宇宙的起源。在对大统一的理论检验过程中，需要有大型的粒子加速器，这个地方每天都产生大量的数据。当时我还是本科生，做理论物理的研究，需要通过电话线把数据传输到全世界各个地方进行处理。从某种意义上这构造了因特网雏形，最后形成了今天的互联网的概念。

有很多好玩的益智游戏被大家称道，像《愤怒的小鸟》、《神奇的阿力》(物理类)，网上也有很多攻略。惊喜的是最近发现一款数学几何类的游戏：欧几里得2，尺规作图游戏，规则很简单：利用游戏栏下方提供的工具，用最少的步骤完成尺规作图。

历史上最著名的案例要数 1964 年夏天发生在美国洛杉矶的一起劫案。一天中午，一位老妇人从杂货店买了东西推著小车回家，途经一条小巷时，突然被一位冲过来的年轻女子推倒，等老妇人醒过神来，发现自己身上的钱包已被偷走，女贼也早跑了很远。虽然老妇人没有看清罪犯是什么样子，可小巷周围的不少住户都曾与这位女子擦肩而过，并且看到她在街头跳上一辆车逃离现场。

徐瑞云考上浙江大学数学系，师从著名数学家苏步青和陈建功。毕业后，她先在数学系担任助教，后与丈夫获得亨伯特奖学金，同赴德国留学。徐瑞云的导师是著名数学家卡拉西奥多里。

研究的头一两年是最为困难的。有那么多的东西要学习，甚至有一些小问题你都无法解决，这样你就会非常怀疑自己证明新定理的能力。在我从事研究的第二年，我顺利度过了这一艰难 的时期。塞尔 (Jean-Pierre Serre) 也许是我们这一代数学家中最杰出的一位，就是他也曾经跟我 讲过，他在一段时间里认真地想过是否要放弃数学。

本讲从圆周长的测量，介绍了微积分的起源。在阿基米德、刘徽的割圆术中，发现圆周长可以通过正多边形的弦长或切线长的总和不断逼近。然而割圆术得不到精确值，永远只有近似值，成为千古谜题。相关阅读：微积分闪电战（1） | 微积分基於无限的概念，林群：微积分闪电战（3）| 曲边求长和山坡求高。

一、英才选拔之ABC：A．U盘不是英才；B．低水平的神；C．保护幼苗。二、英才培养之ZBC：课程Z：太极剑；课程B：金刚经；课程C:苛政猛于虎。三、尝试与经验。

我们来看说明丢勒所从事的工作是怎样与数学相关，充满了一种数学色彩，这对他的艺术和其他创作的帮助是无法计量的。丢勒对圆上一定点在这圆沿著另一圆的圆周滚动时的位置进行跟踪而生成了外摆线，但由於缺少代数基础，他没有分析这曲线。同样地，他从螺旋空间曲线的投影产生出一些螺线，但没有对它们作数学研究。

数学之美是抽象的，简洁的，内在的，是逻辑形式与结构的完美。然而，正是这种以简洁与形式完美为目标的追求，使数学成为人类艺术发展的激素。几千年来，一些抽象的数学概念，始终是艺术创作永不枯竭的美的源泉。

《Hex FRVR》这个游戏，本质上是俄罗斯方块的六边形版本。当然，方块并不是往下掉落，而是需要你移动一些四联六边形图案，放到游戏的棋盘上，如果棋盘的某一排被填满了，这一排就能被消掉……

数学的美体现在方方面面，也许美在她是探求世间现象规律的出发点，也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合，也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受，也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍，也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。而美的数学在自古崇尚诗书传世的中国竟也浸染著扑鼻的书香。中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴，为中国的数学染上了一层夺目的别样颜色，这就是数学的文采。

这里所说的“数学写作”包括数学小论文、数学日记、数学周记、数学作文、数学反思小文章等形式。引导学生“通过写作来学习”是不少一线教师喜欢开展的一项有意义的活动。但过往的研究对通过数学写作来指导学生学习的阐释并不多见。本文结合学生的一些数学写作，对数学写作在指导学生学会思维、学会表达、学会欣赏、学会积累(经验)等方面的问题提供研讨。

数学的学习与研究不仅需要观察、思考，也需要表达,这里的表达包括口头表达、书面表达、图形表达、符号表达等。如案例1中小樊同学就展示了优秀的书面表达和图形表达能力。而学生在图2下写出的“发现”可看成是简洁而深刻的符号表达。现在，再结合一篇学生的数学写作，阐释如何指导学生就错题进行反思、“究错”并进行书面表达。

《友谊之微积分》是一本关于人生导师的书。它讲述了一对师生之间因对微积分的热爱而延续了三十年的友谊，淡而隽永。

1，《从一到无穷大》；2，《思考的乐趣》+《浴缸里的惊叹》；3，《数学之美》；4，《无言的宇宙》；5，《天才引导的历程》；

《圣经”启示录》里的故事告诉我们，666这个数字是个邪恶的数字，因为它是魔鬼撒旦的印记(也叫兽的印记)。现在，我们要开始施放一个数学“魔法”，将这个魔鬼印记转变了。

吴宝珠对数学的喜爱源自于父母的影响，他从初中开始做了许多数学练习并喜欢上数学。1988年，吴宝珠读11年级，他去澳大利亚参加了第29届国际奥林匹克数学竞赛。这是他第一次参赛。金牌是以42分的满分取得的。一年后的1989年，吴宝珠再次参加奥数竞赛并又一次获得金牌。但这一次，他对於竞赛实际上已经不再抱有兴趣，只是在学校的要求之下才去参赛。实际上，自从上次得金牌之后，他就对数学竞赛失去了兴趣。相关阅读：科学奇人：吴宝珠 。

关于ab规律：一定的基本单位以一定的规律重复，这就是规律。数学也是从1到9的数学重复规律。理解了规律的概念会有助于理解数学的体系。本书中出现的ab规律和aabb规律是规律类型中最基本的。

美国高中都有数学俱乐部，完全是学生自己组织。看看他们都干些什么。

【舌尖上的几何体】当你看到这些几何锥形与晶体表面的反射折射形成缤纷的”立面效果”，你还以为是棒冰？当你看到这组名为度假时间的模具创作出的各种不同食物组合的“迷你建筑”，你是否还有更多的期待？当你看到极具几何美感的巧克力，你是否相信结构促进口感。

《数学辩证法》主要内容： 空间和时间的新定义；芝诺悖论的破解；实无穷与潜无穷的数学表达式；自然数1的定义，自然数的有限性；有理数的意义，有理数的有限性；无理数的意义，无理数的无限性；实数的意义，实数的无限性；虚数的意义；复数的意义；负负得正的证明；数学与哲学的关系；哲学的概念的数学表达；向量的意义；光的波粒二象性；特徵值与特徵向量的现实意义；数学的本质与未来。

流行观点“NP是可计算的”，所持的理由是：因为“NP问题实例”存在著指数时间算法精确求解，所以“NP问题（NP）”存在指数时间算法精确求解，故NP是可计算。我们已从计算复杂性理论与可计算性理论相分离的现状、NDTM（nondeterministic Turing machine）与不确定性的关系、对“多项式时间”的误解等角度，解读了此流行观点导致NP的“不确定性”消失，致“P versus NP”成为世纪难题。这里，我们再从“问题”与“实例”的角度进一步解读。

数学名言大全。

在一个周五晚上，甲和朋友乙决定去夜店High一把。但是他们兴奋过头，忘记了约定的具体时间，只记得是在十二点到一点之间。假设他们随机地选择到达夜店的时间，并且都会在店门口等另一个人十分钟（如果在此期间对方并未出现，他就会离开）。那么，他们当晚能见面的概率是多大呢？

小概率事件（Small probability event）是个概率论（当然不限於概率论）里面的概念，大概是指在一次或多次实验中，那些发生的频数极小的事件；异常值（Outlier）是个统计学的概念，应该就是指那些严重偏于整体的观测值，所以异常值又被翻译为离群值。

物理宇宙学是一门年轻的科学。尽管从远古时代开始，人们就对茫茫宇宙充满了猜测和幻想，但是将我们这个浩瀚宏大独一无二（？）的宇宙作为一个物理系统来研究，继而形成了一门现代科学，却只是近100年左右的事情。这个推动力来自理论和实验两个方面：爱因斯坦的广义相对论和哈勃的天文观测结果。

对悖论的一般解释是，因为其中有“自指”的结构，导致“自我否定”，即自相矛盾。我们先对“自我否定”一说略作分析：通过“我在说谎”与“我在说真话”对照，我们看到二者的本质区别，“我在说谎”是悖论，但这是语言表达否定了表达自身，而不是否定自己（自杀）；而“我在说真话”不是悖论，是语言表达肯定表达自身。也就是说，是不是悖论并不在於语言表达的形式比较上，日常语言表达形式“我在说谎”可“真”可“假”，都可“说”。“假”是真值，与“否定”的逻辑性质并不完全相同，但常常混淆。悖论不在於表达形式的真值上，而在於表达自身的逻辑关系，即逻辑自我否定──不可说。继续阅读：解读“我在说谎”悖论（3） 。

Tetgen 可以用来产生四面体网并且遵守格德洛内规则，四面体网格对有限元和有限体积法是非常有用的。这个算法在当前研究领域具有领先水平。

康托1874年在他有关集合论的第一篇论文中提出的“无穷集合”概念，引起数学界的极大关注，震撼了学术界。康托并且导出了关于数的本质的新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，因此，希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”为了更好地解释无限集合与有限集合的区别，希尔伯特在他1924年1月的一次演讲中，举了一个有趣的具有无穷多个房间的“希尔伯特旅馆”的例子。另有：托里拆利小号悖论。

电影《解决吾先生》里讲述了一支党和政府领导下的人民警察队伍，怎么样在不采用酷刑逼供的前提下，通过技侦手段、心理战和胆略经验，成功地从有相当犯罪经验的犯罪分子手中解救了两名“按计划将被杀害”的人质。尽管犯罪分子有充分的反侦经验，包括交通车辆和通讯手段的隐蔽化，但是他们的犯罪模式中存在两个重大的缺陷。

看到一本巴塞罗那大学的博士论文，正文前头引用了Kolmogorov的一段话：In fact, all epistemological value of the theory of probability is based onthis: The large-scale random phenomena in their collective action createstrict, non-random regularity. 这是对概率论和随机性的深度概括。原话出自BV Gnedenko & AN Kolmogorov的经典课本Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables，有钟开莱（KL Chung）先生的英译本（Addison-Wesley, 1954, 1968）。那句话的前面还有一句，更具体强调了极限定理的意义：In reality, however, the epistemological value of the theory of probabilityis revealed only by limit theorems. Moreover, without limit theorems it is impossible to understand the real content of the primary concept of all oursciences ─ the concept of probability.

中国地面国际交换站累年各月平均降水量与地面水汽压的相关研究表明，正相关且判定系数R² ≥ 0.8的站占总数76%；正相关且判定系数R² ≥ 0.5的站占总数90%。部分站相关程度极好；相关程度很低甚至负相关的站如伊宁，明显受到了其它因素的干扰影响。中国平均降水量与地面水汽压的关系类似于中国平均降水量与空中水汽含量的关系，两种关系相互印证。相关阅读：《中国各地平均降水量与空中水汽含量的相关研究》值得发表吗？

图灵的“论可计算数及其在判定问题上的应用”（On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem)是1936年的工作，而他的博士论文“基於系数的逻辑系统”（Systems of Logic Based on Ordinals）是1938年完成的。前者可以说是计算机理论中的“圣经”，但后者却给理论和认知带来了很大的困惑，我们膂b为这种结果主要是由於对图灵论文的误解造成的。

当L.Collatz还是以个学生时，他问道：由a_n+1 = a_n/2 (当a_n为偶数时)和a_n+1 = 3a_n +1  (当a_n为奇数时)定义的序列，除了圈4，2，1，4，...以外，是否都是树型结构的(它的含义是指从任何一个整数开始，都有一个使a_n = 1)?这一猜想已对所有a ≤ 2×10¹²和许多大数做了检验，当然，到现在为止，所检验的数早已超过这里的了。Eliahou证明了非平凡的圈的周期至少是17087915。如果用3n - 1代替3n + 1 (如果我们允扛5c取负整数的话)，那么很有可能任何序列都以下面几个圈中的一个作为结束：{1,2}，{5,14,7,20,10”d 或者 Mb17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 271, 136, 68, 34}。这一结论对所有a < 10⁸为真。

没有数字的思维是模糊的，没有符号的逻辑是迟缓的。正是数字和符号使我们的思维逻辑层次分明、清晰快捷。我们应用最多的应当是加、减、乘、除这4种运算，现在使用符号“＋、－、×、÷”来表示四则运算，似乎已是自然而然的事情，然而其演化过程却历经了数千年。

1、不能任给成三个有理数，两两之和大於第三数就可构成三角形。2、圆先于直线，直话非礼，可以全部圆形成稳定结构的宇宙。3、圆内接三角形是宇宙间所有三角形。4、高等数学的积分不少圆周率，是宇宙不离开圆形。5、无限不会相当然有，人力所达即是长生不老，即是有限。

小生所求者，并非推翻老夫子的等概率假说，仅是在强相互作用系统中，使熵的概念更为清晰可用而已，进而祈望对於热力学非平衡系统有清晰准确的熵定义。小生所做的工作，仅是夫子的工作的延伸和推广。若今生有幸，能将湍流纳入热力学架构而处理，小生定前往Duino吊唁。

陈先生上来就温和地批评清华大学：“偌大的清华，居然没有人讲代数拓扑。”然后，陈先生在黑板上用粉笔画了个三角形，转身问大家“三角形内角和等於多少？”“一百八十度！”大家齐声回答。陈先生於是又问：”那么外角和呢？”“三百六十度！”大家又答道。“很好！外角和比内角和好，因为它可以推广到曲线情形。”陈先生在黑板上画了个封闭曲线，“切向量绕曲线一周，旋转了三百六十度。”陈先生又在黑板上画了个弯曲的曲面片，“起始点边界切向量绕边界一周平行移动，也旋转三百六十度。”由此，陈先生开始解释homology，exterior differential，de Rham cohomology，connection， curvature， characteristic class。

计算共形几何是计算机科学和纯粹数学之间的交叉学科，其目的是将现代几何，经典几何的概念和定理转化为计算机算法，为工程实践服务；同时，用组合离散的方法给出经典几何定理的构造性证明，换言之，用计算机算法语言从头构建经典的共形几何理论，从而绕过了历史上传统的逻辑链条。

“道可道，非常道。名可名，非常名。”中国古典智慧一直将科学保留在玄学状态，强调“只可意会，不可言传”的意境，依赖学子的“悟性”。古代哲学的概念无法直接复制和操作，“运用之妙，存乎一心”；现代数学恰恰相反，她竭尽全力将抽象晦涩的理念用明晰确切的语言，毫无歧义地表述出来，并且能够设计出通用普适的算法，使得一切理论结果都可以在计算机上操作，复制。代数拓扑就是将“妙不可言”的拓扑，用代数来“可言”，甚至“可算”。

这是现代拓扑学之父庞加莱（Henry Poincare）曾经深入思考过的问题。如上图所示，小猫曲面具有一个环柄，具有三维的“洞”。那么，这个“洞”是因为曲面嵌入在三维欧式空间中所产生的吗？换言之，这个“洞”是曲面和三维空间的相对关系，还是曲面自身内蕴的特性？

现代科技颠覆著经典的几何拓扑学习方法，最为有效的途径是阅读思考，设计算法，编程调试，观察结果，从动手实践中掌握理论。您可以一边运行演示程序，一边阅读理论解释，视觉直观将会令您迅速精通同伦群组合算法的要义。

一个拓扑空间中从基点出发的所有道路同伦等价类构成的空间就是万有覆盖空间; 将道路同伦类映到道路终点的映射就是投影映射。万有覆盖空间的基本群平庸（单连通），但是其对称群（保投影的自同胚群）却同构于底空间的基本群。底流形间的映射可以被升腾为覆盖流形间的映射，例如底空间的环路可以被提升为覆盖空间中的道路，这极大地简化了拓扑复杂度。万有覆盖空间的应用，使得我们对许多拓扑问题有了更为深刻的洞察，更为简洁凝练的语言，和更为强有力的手法。可谓，只有站得更高，才能看得更远。

布劳威尔不动点定理可以直观地解释如下。假设我们有一杯咖啡，我们缓慢均匀地将它搅拌，使得没有湍流和气泡产生。然后令咖啡徐缓地静止下来。我们可以断言，至少有一个分子，它在搅动前的位置和它在静止后的位置重合。有另一个解释更加广为人知。设想在桌面上有一张纸，成标准的长方形。我们将其揉皱成一团，将纸团扔在长方形内。那么，纸上至少有一点，它在纸团上的位置的垂直投影等於它在揉皱前的初始位置。

由庞加莱猜测，我们知道：相对於曲面而言，同伦群和同调群保留了相同的信息，因此彼此等价；对於三流形而言，同伦群反映的信息远远多于同调群，同伦群强于同调群。但是，同伦群本身为非阿贝尔群（非交换群），判定两个非阿贝尔群是否同构是非常繁难的问题。相反，同调群是同伦群的阿贝尔化，阿贝尔群的计算只需要线性代数。因此，同调论在大数据分析和物联网领域被广泛应用。

代数拓扑的目的是将拓扑范畴的问题转换成代数范畴的问题，用代数方法加以解决。最为基本的问题之一就是判断两个拓扑空间是否同胚。在理想情形下，我们为每一个空间配上一系列群结构，如果这些群彼此同构，则空间拓扑同胚。但是，目前代数拓扑的方法还没有到达这一程度。同调群同构只能推出空间伦型等价。伦型等价远远弱于拓扑等价。

求解方程一直是数学发展的一个源动力，通常求解方程等价于求算子的不动点。如果算子的作用域的拓扑比较复杂，并且算子有扰动，不动点的行为分析就非常有挑战性。关于不动点有三个层次的问题，深刻程度有所差异，所使用的工具也截然不同。第一个层次是不动点的存在性问题，其解答是莱夫希茨（Lefschetz）理论，所用工具是同调论（请看前面有关讨论【大数据拓扑分析的基础-同调理论】）；第二个层次是不动点几何个数的下界，其答案是尼尔森（Nielsen）理论，所用工具是同伦论（请看前面有关讨论【庞加莱的洞察-同伦群的概念】）；第三个层次是下界是否可以达到，所用工具已经超出代数拓扑，而是瑟斯顿的曲面自映射分类理论，属於几何拓扑，与微分几何和共形几何紧密相连。

代数拓扑是一门玄妙的学问，上同调理论更是妙中之妙，众妙之门。相比于下同调，上同调更加抽象。这里我们用场论直观解释上同调的基本思想，然后阐述德拉姆上同调的概念，并用单纯上同调介绍计算方法。作为应用，我们考虑同痕判定问题。如图1所示，一个抽象的亏格为二的曲面在三维欧式空间中有两个实现（嵌入），左边的嵌入简单直接，环柄没有打结，右边的嵌入相对复杂，两个环柄都是扭结。因此其中的一个曲面无法渐变成另外一个，并且在形变过程中不出现自相交。这意味著这两个嵌入彼此不同痕。我们的目的是：如果不用人眼观察，如何设计计算机算法来自动判别？吴文俊先生出神入化的杰作-吴示痕类给出了算法层面的解答。

在过去的几十年，计算机科技彻底地颠覆了人类社会的所有方面，这一切都是基於集成电路技术发展的摩尔定律：集成电路上可容纳的晶体管数目，约每隔24个月便会增加一倍。由於物理规律的制约，人们预计摩尔定律将于2015年终止。目前，人们寄希望于拓扑绝缘体理论和技术的发展，希望拓扑绝缘体能够力挽狂澜，拯救摩尔定律。凝聚态物理中的拓扑绝缘体理论是基於陈省身示性类的。恰如黎曼发明了黎曼几何，多年之后被爱因斯坦用于表达广义相对论；陈先生发展了陈类理论，多年之后成为拓扑绝缘体的理论根基。历史一再证明，数学家对於纯粹美学价值的追求，最终导致最具实用价值的技术，从而从根本上促进了生产力的发展，提升了人类文明。

历史上，庞加莱问了如下的问题：如果一只具有高度智慧的蚂蚁从出生起就一直生活在一张曲面上，他（她）没有任何三维的概念， 那么这只蚂蚁如何判定这张曲面是否存在“孔洞”？换言之，蚂蚁如何理解这张曲面的拓扑？为此庞加莱发明了代数拓扑，用同伦群的概念完美地加以解决。后来，爱因斯坦的小女儿问他“为什么你那么有名？”爱因斯坦给她讲了蚂蚁的故事，然后说“别的蚂蚁都以为这张曲面是平直的，只有我这只蚂蚁看出来空间是弯曲的。” 今天，我们漫谈如何用活动标架法来发现曲面的内蕴几何。

人类主要的思维活动由大脑所主宰。大脑的几何形状和人的智力水平之间的关系一直是饶有兴趣的话题。如何用严密的方法定量或定性地证实或证伪大脑皮层的几何特徵和智力水平间的相关性是一个非常具有挑战性的问题。大脑皮层曲面的几何复杂性是这一挑战性的原因之一。如图所示的两个大脑皮层曲面，我们能够通过考察它们复杂的几何来判定哪一个更聪明吗？

近些年来，计算机技术飞速发展。在实际算法中，绝大多数光滑曲面都被多面体曲面（离散曲面）所逼近。经典的理论应该被推广到离散情形。能否将经典单值化定理推广到离散情形，这一问题具有根本的重要性。最近，几名中国数学家成功地建立了离散曲面单值化的理论，并且基於这一理论发展了一系列的算法，应用到医学和工程领域。

数学入诗是数学诗吗？2 什么是数学诗；3 数学诗的运用。

陈省身先生曾经说过，基本的几何规律具有很强的普适性，它们在光滑流形和离散流形上都成立，例如高斯-博内定理，流形光滑性条件是否本质上必要，这一点值得商榷。数十年后，依随三维扫描技术的蓬勃发展，离散几何理论有了巨大的突破。几何逼近论日益成熟，使得我们可以用连续的高斯-博内定理来证明离散的定理，反之亦然。这里，我们介绍法丛理论，它将连续和离散的曲面几何有机地统一起来，在同一个理论框架下讨论曲率测度，从而给出曲面陈类的离散几何证明。

1. 数学学习过程中你会遇到种种困难，遇到不理解的定理，不会做的问题，简直是太正常了。这时候你不骄不躁，保持快乐的心情，就是在训练“情商”。 2. 数学不是自己一个人在学，是你解决完数学题目之后给别人看。此过然b中你的写作能力就得到了训练。

在引力理论中，对於包含物质和引力场的体系，存在如下两类能动张量密度守恒定律即，一、Lorentz 及 Levi-Civita守恒定律，二、爱因斯坦守恒定律。

斯坦福统计教授David Donoho针对媒体的大数据炒作，说明数据科学与统计学的不同。作者是压缩感知方面的专家，还是范剑青教授的导师，文章值得一读。他对现代数理统计学的深远贡献：他开创了在有噪声情况的最优统计估计算法；而他又建立了在大数据中实现稀疏表示和复原的高效率技巧。

印象比较深的一堂课，就是上周五下午的一次课，2学时就讲了3页PPT，核心内容就1页PPT。

变函数的一个典型特徵是常常需要用集合论的语言描述函数的性质，并懂得两种不同语言之间如何进行相互转换。如果学生学会了函数论语言与集合论语言的相互转换，就再也不会感到实变函数莫测高深了。

老师终於给已是二年级的嘟嘟布置了这学期以来第一次数学家庭作业。几道应用题，最后一道才涉及到减法。三个队，甲、乙、丙送披萨，甲、乙两队的披萨数已知，总的披萨数也已知，问丙要送多少块披萨。用我们大人的眼光，这数学题当然一眼就知道答案，但对嘟嘟却并非如此。教小孩的好处是，你有一次很好的机会体会原汁原味的原创思维，前提是，做老师的或做家长的思维要足够开放，心情要足够的放松。

概率论与数理统计的主要期刊，我搜索了一下，这个网站提到的2014年度概率统计的SCI期刊已有66种至多。

以前觉得利用各种语义形式化表达方法，比如概念格，把概念的语义给分解开，让计算机明白概念的意义，这样就能够进行一些智能化处理，原来这种方式并不是正确的路子。

现代社会中，汽车，船舶和航空制造业，乃至整个机械工业都是基於样条理论的。随著加工曲面的拓扑和几何日趋复杂，样条构造方法需要被推广到流形情形。在过去的数十年间，将样条理论自然地推广到流形上一直是几何建模领域的中心课题。但是，无论学者和工程师如何殚精竭虑，巧思妙想，曲面上的样条构造总是无法避免一些光滑性变差的奇异点。陈类理论指出这些努力是徒劳的，样条理论的基本构造决定了其内在不可避免的缺陷。

物理上，调和映射极小化弹性形变势能，因而物理意义明确；偏微分方程理论证明了调和映照的存在性，唯一性，正则性，稳定性和光滑性；有限元方法保证了离散解到连续解的收敛性；数值计算方法的共轭梯度法保证了调和映照计算的高效性；微分几何保证了调和映射的共形不变性和微分同胚性。因此，调和映照简单直观，理论完备，在工程实践中被广泛应用。

"纳维-斯托克斯方程"是流体力学中非常有名的方程。武际可老师在《1920年以前力学发展史上的100篇重要文献》名下列出了纳维与斯托克斯的重要文献，未提及圣维南（Saint-Venant）1843年发表的《流体动力学研究》。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，现在都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。）不过，还是犯了一个明显的史实错误，将其他正式文献已指出的“早于斯托克斯两年公开发表成果的圣维南（1843）”与斯托克斯的发表时间都称作1845年。可以假想，如果圣维南不是由於反对掀起国内战争，而在法国名誉遭受重创，出现在武际可老师《1920年以前力学发展史上的100篇重要文献》中可能就不仅是斯托克斯而是圣维南与斯托克斯两者并列了。

高中阶段的学习，高考状元们的一个经验是搞好“错题本”，那么根据我的教学法，这个是非常对的，可惜很多同学们执行力不强，没真正做到。

满满187页的ppt，适用于数学建模比赛或学术论文写作时查找文献，内容包括：0，前言；1，中文资料；2，英文资料；3，获取与免费下载技巧；4，习题。

《数学之美》由吴军所著。1.乔姆斯基（Noam Chomsky 有史以来最伟大的语言学家）提出“形式语言”以后，人们更坚定了利用语法规则的办法进行文字处理的信念。2.首先成功利用数学方法解决自然语言处理问题的是语音和语言处理大师贾里尼克 (Fred Jelinek)。当时贾里尼克在 IBM 公司做学术休假 (Sabbatical Leave)，领导了一批杰出的科学家利用大型计算机来处理人类语言问题。统计语言模型就是在那个时候提出的。3.复杂的语音识别问题通过隐含马尔可夫模型能非常简单地被表述、解决，让我不由由衷地感叹数学模型之妙。4.八十年代李开复博士坚持采用隐含马尔可夫模型的框架， 成功地开发了世界上第一个大词汇量连续语音识别系统 Sphinx。

中国终於诞生了第一个诺贝尔科学家，不想随之而来的关于中医科学论的争论却不绝于耳。国人认为屠呦呦得奖是中医的成就，国外专家则声称青蒿素的提取与中医学无关。事实上，关于中医是否科学论的争执也不是一天两天了。反方最大的理由是，中医一直以《黄帝内经》等古籍为理论基础，哪怕数千年人类文明发展以后，中医理论依然无法超越古人的认识论。从这点看中医似乎更像宗教，与不断前进推陈出新的科学精神相悖。相较而言，西医把人看作各器官零件的组合系统，微观精确考量各种指标。西医这种量化系统属於自然科学的架构。所以有人说中西医关键的区别是，中医的思维模式是语文式的，而西医的系统思维是数学化的，数学度量的系统分析显然更胜一筹。

几位教师说，录音矫正法颇有效，当听到自说自录的声音，第一感觉是：“这是我的声音吗？”，“我会有那么多口禅吗？”， 真的是“不录不知道，一听自己笑”。经过一段时间的自我矫正，老师们口头表达大有进步，有的口头禅已得到矫正。但有一位老师说，听录音后，发现自己每两三句话，就重复半句，难听死了，矫正挺难，问有没有妙法来纠正这种“讲话重尾”的毛病？