德国波恩大学数学家 Norbert Blum 在预印本网站发表的声称证明 P!= NP 的论文引发了广泛关注，全世界的数学家和计算机科学家都绞尽脑汁想搞清楚 Blum 是否真的证明了著名的 P/NP 问题。Blum 的证明是基於另一名数学家 Alexander Razborov 发表的论文，而 Razborov 据称已经在 Blum 的证明中发现了错误，而他的证明方法也被其他数学家认为是有缺陷的。现在，Blum 更新了他的论文，承认证明存在错误，他表示将会详细解释错误，但这需要一些时间。

小学数学不学方程组，也很少用方程，所以很多题目难解。比如著名的鸡兔同笼问题。到了中学，问题简单了，只需要列二元方程组即可。小学算术解法为什么难？中学方程解法为什么简单？一方面是因为在算术解法中，你得面对未知问题，而方程（组）解法中你已经把结果设出来了，可以看做是已知的。更重要的是，在算术解法中，每一步你都得有合理的目的，你得注意每一步的意义，而方程（组）解法中，每一步不必考虑背后的意义，你只要按照等式基本性质进行变形就能得到结果。这才是方程（组）解法的威力。

UCLA 的物理学家在《Physical Review Letters》期刊上发表了两篇论文，提出了原始黑洞的新理论。原始黑洞是指宇宙最早形成的一批黑洞，但天体物理学家对原始黑洞是在创世大爆炸发生不到一秒时间内形成还是最早一批恒星死亡期间形成的存在长期争议。UCLA 物理学家提出了一种新理论认为原始黑洞是大爆炸发生后不久在恒星还没有闪烁前形成的。他们还提出，原始黑洞帮助形成了自然界中的许多重元素。他们认为在大爆炸时宇宙存在一种均衡的能量场，这种能量场被认为存在於遥远的过去。由於宇宙的暴涨，能量场将被分成一个个簇，引力导致簇之间互相吸引和合并，这些成长中的簇中的部分小断片因为密度足够大而形成了黑洞。论文还提出，使用天文观测搜索这些原始黑洞是可能的。

上个月有一篇文章说：古代巴比伦粘土片的数学奥秘解决了。有人甚至说，巴比伦人发明了三角学。在这篇新文章中，我想帮助将事实与猜测和彻底的废话分开。

很多人喜欢超速。我们可以理解他们急于到达目的地的心情。但到底他们能节省多少时间呢？让我们来算一算吧。算过之后，你觉得同意作者的模型吗？

任意复函数，输入进去，就可以立即看到它的图像。有兴趣试一试吗？

用彩色反转（或其他颜色对称）创建图像的现有技术产生的结果看起来不那么自然。我们通过使用具有适当的复数傅里叶级数的域著色算法和具有不同程度的天然存在的颜色对称性的照片来产生具有近似颜色对称性的图像。该技术产生的颜色对称性看起来比以前生产的结晶度更少，但也许更具艺术性。

你如何用原本做不同的事情？原本是公共文本，广为人知，共享。我们想要一个挑战，能使我们继续在科学中应用艺术的那种。相关阅读：One of the world抯 most influential math texts is getting a beautiful, minimalist edition

一套手写的讲义。在现在的年代，也许算是珍贵的了。

在二十世纪初，L.E.J. Brouwer开创了一种新的数学哲学，被称为直觉主义。我们挑战“二元”观点，即数学或者是可构造的，或者不是。

在范畴论中，米田引理断言一个对象 X 的性质由它所表示的函子 Hom (X,-) 或 Hom (-,X) 决定。这里给出四个解释。

我们给出望月新一巧妙的Inter-universal Teichmuller theory及其对Diophantine不等式的影响的调查。相关阅读：Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’

直觉上很简单：珍惜动物的高价格可以造成动物种群的灭绝。这里只是用数学来证明一下。

MPSolve 是一个寻找多项式零点的软件包。

机器学习理论是一个与数据迭代学习统计，概率，计算机科学和算法方面相关的领域，可以用来构建智能应用程序。尽管机器和深度学习有很大的可能性，但是对於很多这些技术的彻底的数学理解对於很好地掌握算法的内部运算和获得良好的结果是必要的。

分布式互联网素数搜索PrimeGrid已经发现了一个新的最大的广义费马素数。该发现于8月29日进行，并于9月2日公布之前进行了再证实。PrimeGrid使用分布式计算方法，并使用与其网络连接的志愿者计算机捐赠的备用计算机时间。

大象螺旋镶贴。 黄色的大象根据黄金数量变大。相关阅读：Fractal Tilings

我知道本博里有环论专家和环论史专家。有想玩一下的吗？

哥德尔不完备定理是开脑洞的定理。简而言之，它们显示了数学的固有局限性。

核密度估计（kernel density estimation）是在概率论中用来估计未知的密度函数，属於非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。相关阅读：Kernel density estimation using different bandwidths

我知道所有的实数都是复数，我是问真正的非实复数。比如，±1±i作为最小的高斯素数可以被认为是著名的。还有吗？（注：高斯整数是实数和虚数部分都是整数的复数。所有高斯整数组成了一个整域，写作 Z[ i ]，是个不可以转成有序环的欧几里德域。)

我对面刚好是会议邀请来的主要嘉宾、哈佛大学教授杜维明。这一点不容怀疑，因为那是我第一次面对哈佛教授，我还记得我与杜先生就某个问题发生激辩。这一点也帮助我推测那次会议是在北师大，因杜教授80年代曾在那里访学。我个人担心的是，杜先生近年来在中国大陆兼职和头衔过多，分散了精力，例如，北大人文高等研究院院长、长江商学院人文委员会主席、浙大马一浮人文研究中心主任，不一而足。当然，这与大陆高校对自己培养的人才信心不足、信任度有限不无关系。

当2016年到来的时候，我收到了很多有关2016的有趣的数学公式。但是当2017新年到来之际，我发现类似的公式都消失了。人们必须用2016 + 1代替2017才能重复2016年新年的精彩。原因很简单：2017是一个素数。不过，人们似乎并不想这样轻易地放弃。於是，网友们又发现了更多的新奇事实。原来2017也奇妙。

Victoria Skye制作了一个图片，她说自己时常还被它欺骗。她把它命名为“咖啡馆墙幻想” (Cafe Wall Illusion)？看上去这些咖啡馆是再一条斜的街道上，但其实是直的。

这四道题分别为：1，谢丽尔的生日 (Cheryl's Birthday)。我们以前介绍过的。2，一百名囚犯和一个灯泡 (One Hundred Prisoners and a Light Bulb)。3，盲人的猜测 (A Blind Guess)。4，阿比的生日 (Abby's Birthday)。

Excel数据分析包具有从时间序列数据h_n计算复系数H_n的傅立叶分析程序。该程序要求时间序列数据中的样本数为2的幂，即N = 2 ^{m Excel功能没有很好的记录，但它是直接使用。}

一位被Google开除了的工程师提醒我们，妇女再多个数学领域 (包括物理、计算机和工程学) 里没有足够的代表性。代表性不足的原因被激烈辩论，入门障碍和考试成绩中的性别差异被广泛讨论为根本原因。但新的数据分析强调了另一个因素在差距中的重要性：信心。

如果你能上twitter，并且对数学感兴趣的话，看看这个。否则就算了吧。twitter是美国人的微博。相关连接：A listing of "Mathematicians' Favorite Twitter Feeds," to enjoy and stimulate the mind and soul

Perfectoid可以翻译成完美形？这是什么概念？它对数论和代数几何的影响是什么？

与婴儿谈论数字的父母可以提高孩子对数学概念的理解。

有时候我们说数学是关于识别和描述模式的。令人惊讶的是，看似不同的领域有类似的模式。在这一栏中，我们将会看到有理缠结 (rational tangles)，它是在拓扑中的节理论中的有用的基石。并且看看这些缠节如何用数论思想来描述。

喜欢做题的网友应该常看这个网站。

使用数学建模，普林斯顿大学和哈佛研究人员探索如何安全地释放转了基因的物种。

比较一下，跟现在的难度差距多大？

数值优化是机器学习的核心技术之一。 对於许多问题，很难直接找出最佳解决方案，但设置损失函数比较容易，以确定解决方案的有效性 - 然后将该函数的参数最小化以找到解决方案。作者用Javascript写了一些程序。有些很复杂呢。

在数学里，点群 (Point Group) 是指固定一点不动之几何对称（等距同构）的群。点群存在於任一维度的欧几里得空间中。一个离散之二维点群有时会被称为蔷薇图案群（rosette group），且被用来描述装饰品的对称性。三维点群则大量地被使用于化学之中，尤其是在描述一个分子和形成共价键之分子轨道的对称性，且在一些文献中亦会被称成分子点群。在每一个维度里都有著无限多个离散点群。但晶体局限定理说只存在有限多个和平移对称相容的离散点群。在一维里有2个，二维里有10个，三维里则有32个，这些点群称做晶体点群。延伸阅读：三维空间中德点群。相关阅读：The Crystallographic Space Groups in Geometric Algebra，Point Groups and Space Groups in Geometric Algebra。

无氧运动是强度足够引起乳酸形成的体能锻炼。无氧运动被非耐力运动的运动员用于增强力量、速度和能力，而被健美运动员用于打造肌肉量。利用无氧运动发展的那套肌肉能量系统与有氧运动发展出来的系统是不一样的，良好的无氧供能系统使得人在短时间、高强度活动中具备更好的表现力，持续时间仅几秒钟到两分钟。本文运用最优控制理论和数值模拟做出定量分析。

Wolfram|Alpha在今年秋季开学前公布了一些新的功能。为了帮助学生们理解解题过程，这个软件提供一步一步题解。

鸽巢原理，又名狄利克雷抽屉原理、鸽笼原理。其中一种简单的表述法为：“若有n个笼子和n+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少2只鸽子。”另一种为：“若有n个笼子和kn+1只鸽子，所有的鸽子都被关在鸽笼里，那么至少有一个笼子有至少k+1只鸽子。”本文以一个看似无关的问题开始：“你有黑色和蓝色袜子各10只放在抽屉里。为了确保你能有一对袜子，你需要拉出的最小袜子数量是多少？”

我们从小学都记得：2² = 4或6² = 36.现在考虑数字5。5虽然可以平方，但它本身不是一个平方数。 太糟了！然而，也许5可能是下一个最好的数。 我们可以找到一种把5写成两个数的平方和的方法吗？

20种证明够多的了吧？但还是有人说这篇不全

每个颜色都是一个正弦曲线。点击进去还有更多。

人类可以凭直觉认知4以内的数；但是到计算时则需要语言。那么双语的人用什么语言呢？

第三世纪印度手稿上的一个黑点已被牛津大学确定为首次记录使用数学符号为零，比以前提前500年。膜拜一下吧。

地球在过去 5.4 亿年中经历了五次物种大灭绝事件，其中 2.5 亿年的一次事件导致 95% 的物种灭绝。发表在《Science Advances》的一篇论文发现，向海洋中人为加入的碳数量到达一定的阈值将会触发新的灭绝事件。这个阈值是 3100 亿吨。联合国政府间气候变化专门委员会预测，地球在 2100 年前将达到这个数字，从此将跨入未知领域。过去的大灭绝事件的时间跨度在数千年甚至数百万年，而我们正经历的周期变化最多持续了几百年。许多专家认为我们已经在经历第六次物种大灭绝，其余则是一个科学问题。

数学家 John Conway 在 1970 年发明了著名的零玩家游戏规则“Conway 生命游戏”，Conway 生命游戏具有图灵完备性，允许模拟任何其它生命游戏规则系统。2013 年，有用户在编程问答社区 StackExchange 的 Programming Puzzles & Code Golf 栏目发起挑战，要求使用 Conway 生命游戏规则构建细胞自动机创造出可玩的俄罗斯方块游戏。4 年之后有人终於给出了答案。作者称，参与者有多达 7 人，寻找解决方法历尽了一年半时间，他们一开始以为这只是一个简单的任务，最后却变成了奥德赛史诗。他们甚至为生命游戏数学宇宙创造了自己的汇编语言 QFTASM (Quest for Tetris Assembly)，设计了自己的处理器架构以及被称为 COGOL 的高级语言。他们的代码公布在 GitHub，发布了一个 Web 版的 QFTASM 解释器允许用户在线运行代码。

最初接触到拉格朗日乘子是求函数的条件极值，当时只是感觉这个算法比较巧妙，可无法从直观上去分析它的原理，感觉它的背后一定有一段故事。后来从图书馆里了解了它本质上属於最优化问题，也进一步了解了它的证明、 KKT 条件以及朗格朗日对偶。但还是无法对其最基本最重要的由来问题找到一个解释，看李天岩老师的一篇文章《回首来时路》，里面的一句话让我印象深刻──“非常遗憾的是，极多数重要 论文的作者都不会轻易把他们脑子里真正的重点用力写出来。你必须自己去问这些问题，自己去追寻它的答案。”拉格朗日乘子，是我能与这段话产生共鸣的数学思想之一。我觉得我需要自己去寻找答案。

来自俄罗斯和意大利的一组研究人员进行了一项研究，为平面运动产生了比以前更为精确的不可压缩的Navier-Stokes方程数值解的方案。研究的细节可以在“Applied Mathematics and Computation journal”杂志上找到。

二叉树 (binary tree) 的一个很有意思的应用。

当并发线程竞争使用同一个资源时，它们互相之间会发生冲突，我们可以把这种情况简单描述如下：两个或更多的线程在它们的运行过程中需要访问一个资源，每个进程并不知道其他线程的存在，并且每一个线程也不受其他线程的影响。每个线程都不影响它所使用的资源的状态，这类资源包括I/O设备、存储器、处理器时间和时钟。竞争线程间没有任何信息交换，但是一个线程的执行可能会影响到竞争线程的行为。特别是如果两个线程都期望访问同一个资源，操作系统把这个资源分配给一个线程，另一个就必须等待。因此，被拒绝访问的线程速度就会变慢。一种极端情况是，被阻塞的线程永远不能访问这个资源，因此一直不能成功地终止。Dijkstra提出了两个线程互斥的算法，由德国数学家Dekker实现。它避免了线程互相谦让的问题，算法效率可以得到提高。

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【网友评论1】读了施瓦兹小传，不错。对施前辈的“广义函数”做个注：实际上这个玩意儿并不好使。比如在解决那个百万奖级的“证明NS方程有唯一解”的问题时，大家知道该方程总有施氏所说的“广义函数”解～～但这种东东就是不好描述。大家要的是真正意义上的“函数”解，即大部分“空-时”的点上都能定义一个实数值的东西。所以，我做个模仿：施氏“广义函数”有点像他的“共产主义”梦，大美而空旷无边。但实际上呢，我等凡人还是愿意生活在真实的“函数空间”里～～在“时-空”的任何一点上，能感觉到了“值”有多少。【网友评论2】不太赞同以上观点。偏微分方程的古典解的存在性很困难。所以现代偏微分方程的研究方法通常是先扩大函数空间，即证明存在广义函数解。(因为空间扩大了，解的光滑性要求低了，所以容易些)，然后提高广义解的光滑性，即正则性问题。广义函数的意义在第一步。不能因为第二步出不来抹杀其功绩。找到解总是有意义的。

我们为什么要学数学？根本原因有三个：计算、 应用、最后一个，很不幸的从时间分配来看也是最少的，激发灵感。

10月份的Notices of the AMS重点推荐了由美国数学学会（AMS）和美国数学协会（MAA）联合举办的数学会议。这数学联合会议（Joint Mathematics Meeting)是世界上最大规模的数学会议，即将2018年1月在美国加利福尼亚州圣地亚哥市召开。数学联合会议(Joint Mathematics Meeting)有议程全面丰富，有课程，展览，颁奖等环节。这期的Notices of the AMS介绍了会议议程，美国数学学会的短课程，注册细节等详细信息。

微元体应该算是力学中最为“诡异”的概念了。研究物体上一点处的受力情况，实际上并不是取了一个点，而是在该点处取了一个微元体，通过微元体面上的应力来刻画该点处的受力情况，如图所示。这样就引出一个近乎“诡辩”的概念，“点”在数学上的定义为只占据空间位置，而没有大小和形状。而我们在分析一点处的受力情况时，就换成了既有大小、又有形状微元体。我们不禁要问：图1所示的六面体微元体中有8个点，一点处的受力情况应该是哪个点？

计算作为生活中必备技能在中西方其实都是认可的，随著计算难度的增加，大家都想发明一种计算工具来代替人。在计算器的起步阶段，中西方的思路也基本一样，就是用具体的物件如（小棍）来表示数字，摆摆弄弄，互相比量来计算，即“算筹”，而使用算筹的时代，也叫“筹算”时代。筹算需要一套数字计数系统相辅助，以作为计算的规则。即现在所谓的“进制”。

我现在已经是老年人，老年人爱絮叨，古语说“不听老人言，吃亏在眼前”，可见对老年人的“废话”自古就有不同的看法。也正因为古语为我壮胆，所以敝帚自珍，我把这些博文，集起来，兴许对年轻人会有点用。如果用不上，就当作老年人之间的唠嗑和聊天看待好了。

2017年9月6日早晨 7:30 （7:30 am, September 6, 2017），模糊理论创始人拉特飞·扎德（Lotfi A. Zadeh）先生不幸逝世。享年96岁。

我相信，在刚刚过去的昨天，Zadeh先生才停止了他的思考。Zadeh的一生是思考的一生，创新的一生，奋斗的一生。他所创造的学术纪录也许无人能及：总引用次数：179311，单篇最高引用次数71093次。他影响了世界上无数的人，改变了世界上很多理论、观点和产业。相信听到他仙逝的消息，世界上有无数的人都和我一样：眼含热泪、胸怀感激、心怀悲痛。

应用统计主要是针对某个或者某一组数据进行详细的分析和解读，直至在某个学科领域得出有意义的结论。这类论文历史上有很多发表在顶级期刊美国统计协会杂志（Journal of the American Statistical Association JASA）的案例研究部分（Case Studies），还有英国王家统计学会杂志的 A, C 系列（Journal of the Royal Statistical Society Series A Statistics in Society JRSSA; Series C Applied Statistics JRSSC），以及国际数理统计学会最近几年开始发行的高影响因子期刊应用统计年刊（Annals of Applied Statistics），此外还有医学中的统计（Statistics in Medicine）,生物计量学（Biometrics）等高影响期刊。虽然我罗列了这些期刊，很惭愧本人却没有在这些期刊上发表过论文，只是大致了解它们的性质与读者群。继续阅读：统计学科普: 统计学是什么？，统计学科普 2: 统计学是否数学，统计学科普 3: 数学要证明。

@ J.D. Murray在Mathematical Biology（第一卷）的最后特立一章说“分形的滥用”（Abuse of Fractals），称之为uninformed proselytising and inappropriate use，本来不懂却像怀著宗教情怀一样去用它。类似的，突变论（catastrophe theory）也被滥用了。过分热心的（overzelous）数学实践者们给交叉学科带来了很多毒害。

朋友的孩子介绍，数学老师讲这道题目的时候，也没有提出 什么好的方法，就是靠尝试写出具体的分数，才得出 答案。於是，朋友向我求援：能否有一个什么好的方法，清晰地解答这道题目？

我认为熵表示可能是统一各种最优控制方法，特别是将自适应和预测控制统一起来的可行途径，甚至更广泛的平行控制也可以纳入熵表示的框架之中。特别是跟随副导师Robert F. McNaughton教授上完自动机、形式语言和理论计算机课程之后，更感到控制熵与信息熵、计算复杂性之间有著深刻的内在关联，再加上学习控制和机器学习（当时称为“学习机器”，learning machines）方法，或许能够创出一条从最优控制的数学理论到最优控制的智能方法之新路。这三十余年来未熄的“梦”想，就是驱动创作本书的原始动机。

莱布尼兹曾经有两个梦想： 1. 创建一种“普遍语言”使得任何问题都可以用这种语言表述； 2. 找到一种"判定方法"以解决所有可以在“普遍语言”中所表述的问题。 这两个问题是上百年来数理逻辑、数学哲学和数学基础问题的核心、实质。对前一个问题的回答就是自弗雷格、罗素开始，经公理集合论运动的最终结果：以一阶谓词逻辑为语言所形式化阐述的集合论，现在已经成为数学的普遍语言，现代逻辑学、特别是将符号逻辑应用于数学领域所产生的数理逻辑，其最重要的目标就是为整个数学提供一个严格精确的语言。而第二个问题则是现代哲学和计算机科学最关注的问题之一：是否可以解决用这个“普遍语言”所形式化描述的所有问题？这个问题就是所谓“可判定性问题”。对这个问题的研究最终导致了理论计算机科学的诞生：阿隆佐丘奇和阿兰图灵分别以各自的方式对这个问题做出了否定的回答。

量子现象之所以令人迷惑，是因为它们与我们日常生活中能用经典牛顿理论能解释的现象大不相同。实际上，科学最初是来源于人类感官对世界上发生的现象的认识，这些现象以及人类本身，都是宏观的，物理学家也正是在此基础上，建立了牛顿经典力学以及经典电磁理论。然而，量子力学所描述的微观世界，可以说完全丧失了人类感官的直接观测性，比如说，你能感觉到电流，但无法“直接”感知一个电子、质子，你能看到各种颜色的光，但看不到一个一个的光子。至於夸克等更深层次的概念，与我们感官的关系就更远了。也就是说，微观世界之小，使得人类已经不可能直观体验，只能用某些实验方法间接地测量，用抽象的数学手段想象似地加以描绘。因此，我们并没有理由要求微观现象遵循我们常见的规律，也没有理由试图用理解经典现象的方式来理解量子理论对世界的诠释。

看见一本The Classic Works of Isaac Newton，当然以为是牛顿科学著作精选，打开一看，却无图公式，大目录只两行。显然是两本书──那个力学的牛顿也写这样的书？还真是的，出版于1728年（雍正六年，老牛去世后一年）。我们只听过老牛是捡贝壳不吃饭的科学家，却不知他还是史学家，或许也是炼丹家、宗教家和金融家──如果做过领导或写过几行字的就是家的话。

N步能达丰富性计算,即N能达域R_r,N的体积计算，可以采用博文“The volume computing of a special polyhedron in n-dimensions space”的直接计算，或者采用博文“线性离散系统的能控丰富性的一个简化计算式”的递推计算。相关阅读：一个拟范德蒙矩阵的行列式值估计

《生态社会人口论》不仅是试图用单一的数学公式去解释过去几千年的人类发展历史，而是要统一解释从200万年前人类从动物超脱出来，一直到今天信息化社会的整个人类历史发展过程的规律！

杨乐院士以《数学、应用、创新》为题，从传统数学上的“数量关系”和“空间形式”到数学在现实生活中的应用，深刻阐述了数学的重要性以及数学对人才培养的作用。杨乐院士希望同学们培养对数学浓厚的兴趣，树立远大志向，持之以恒，努力为国家数学研究做出积极贡献。李忠教授以《数学的新黄金时代》为题，论述了计算机在数学领域的利用以及数学与计算机的相关联性，并就四色问题、NP问题、黎曼猜想等用计算机解决的问题或与计算机有关的数学问题进行论证。

做研究的最后结果，可能会归结为一篇文章，但还存在著其他几种形式。即使果真完全如此，文章也只是研究的一个结果。大量的研究的具体工作未必表现在文章之中，而是在研究的过程之中。所以，现在我们讨论数学教育研究的一系列方法，首先需要端正看法，要从正面面对“研究”，面对它的过程、步骤、结果，等等，当然，也要了解、理解和掌握它们背后的意义、性质。

细杆一端直立於曲线顶点是不稳定平衡；而两端支承于壁面在重心高度达到极小值时稳定平衡；据此可利用中学数学知识给出统一说明，并确定细杆稳定平衡时重心轨迹。从图3看到，细杆较短可在光滑圆锥曲线内水平地稳定平衡；而其较长则要通过焦点而斜靠在壁面才能稳定──平正而居重心高呢。

手工计算时代需要基於数据精度考虑具体的计算方式，放大、缩小和求平均，就是技巧之一。(1)  Basel问题；(2) 割圆术；(3)  此情可待成追忆。继续阅读：两道中学数学题的解答

很多时候，我们需要计算一个无穷级数之和。比如，历史上著名的Basel问题是要计算级数 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 +  ... 之和。这个问题之所以叫巴塞尔问题，是因为来自巴塞尔的约翰-伯努利和雅克比-伯努利为之苦恼了很久，尔后解决之的数学家欧拉也来自巴塞尔。欧拉解决这个问题时，雅克比-伯努利已经死了，约翰-伯努利为之深表遗憾。作业：计算Leibniz级数的和1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... 准确的结果是pi/4。这是Leibniz很得意的发现，但是他没有用这个级数计算圆周率，为什么？你现在是否有办法？

我们用余弦相似度来定义用户出行轨迹的相似性，用“是否是好友”、“是否有共同好友”、“共同好友的个数”以及“共同好友的多样性（以共同好友网络中连通子图的个数来度量）”这四个指标来描述好友之间的社交网络接近性。统计结果显示，相比非好友，好友之间的平均轨迹相似性要高的多，而有共同好友则会进一步提升彼此的相似性。出乎意料的是，在相关系数、概率分布和假设检验等多种统计工具的支撑下，我们发现共同好友的数量并不会对用户之间的轨迹相似性产生积极作用，反而是那些共同好友的多样性更强的用户有著更高的轨迹相似性（具体分析方法请见文献）。也就是说，共同好友的来源多样性在影响好友之间的轨迹相似性上有著比数量更为重要的作用。我们进一步使用其它相似性指标重复实验，验证了结果的鲁棒性。

数学界公认的影响力最大的期刊有四种，分别是《数学年刊》Annals of Mathematics，《数学新进展》Inventiones Mathematicae，Acta Mathematica以及《美国数学会杂志》（Journal Of The AmericanMathematical Society）。这些数学期刊影响因子并不很高，文章被引半衰期也很长，一般大於10年。但是数学家能在这些期刊上发表文章仍然是一件非常骄傲的事情。

24年前曾为“实用人才班”、“自学考试辅导班”讲授高等数学课程多次。因而也就看了多种教材，写出一些笔记。贴出一篇，敬请大家批评。