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谈G.K.Batchelor教授的一个思想 精选

已有 12243 次阅读 2009-9-12 19:41 |个人分类:温景嵩文库|系统分类:科研笔记| 物理, 思想, 应用数学

把物理思想注入于数学之中

——谈数学与物理学之间的关系

 

温景嵩

2009814开始写于南开园)

 

1.  这是George Keith Batchelor教授的思想——To inject physics into mathematics

2.  他是剑桥大学1959年创办的应用数学与理论物理系的创办人和系主任,闻名世界的国际理论物理大师霍金教授就是Batchelor的这个系于60年代1966年培养出来的。虽然Batchelor是当代国际流体力学大师,但是在他所发表的流体力学划时代名著《流体力学导论》上,他所使用的学衔却是Professor of Applied Mathematics,而不是Professor of Fluid Mechanics

3.  应用数学教授Batchelor对应用数学所下的定义如下:

 

(1)       初看起来应用数学的含意可以表述为:你所遇到的物理问题中的未知变量可以用一个微分方程来描述,然后你就要采用某一种数学技巧来求解,这就是应用数学的意义。

(2)       然而上面的表述包含有一个很大的缺点,那就是在上述的表述中它没有提到物理思想,而这正是问题的根本。于是,Batchelor就给出了他自己的应用数学的定义:要把物理思想注入于数学之中,才能解决问题。这构成了应用数学的灵魂。

 

4.  以下讲一讲我自己学习Batchelor这个思想的体会:由于一般物理问题所遇到的微分方程求解难度非常大,其难度远远超过了现有的数学技巧所能解决的范围,所以应用数学家就只能根据他所面对的某一个特定问题自身的物理特点来化解数学难点,简化方程从而得到这个特定问题的解。这就是把物理思想注入于数学之中来解决问题的真实含义。

 

5.  有三种办法把物理思想注入于数学之中来化解数学难点:

 

(1)       引进特定的物理模型来化解数学难点;

(2)       引进各种近似来化解数学难点;

(3)       引进各种变换来化解数学难点。

 

6.  下面我们从粘性流体力学的例子讲起。把牛顿力学第二定律应用于不可压缩粘性流体这样的连续介质就会得到著名的Navier-Stokes方程如下:

      

7.这是一个非线性的时空四维的二阶的偏微分方程。到现在还没有一种数学方法能够求到这一方程的普遍的严格解。流体力学家就只能按照某一个特定的物理问题自身的特点来开辟求各种特定问题近似解的道路。首先是把此方程无量纲化,从而得到一个无量纲的Navier-Stokes方程和一个无量纲的动力相似参数——雷诺数Re

                

           

8.  低雷诺数流,Re<1, Stokes近似,粘性流——线性化了的Stokes方程

 

9.  Stokes小球解的物理模型——化时空四维问题为轴对称的两维问题

 

          无界空间

          静止背景

          球形物体

          定常的运动速度

              球极座标系,原点放在球心,极轴与定常速度重合,边界条件的确定

 

 

  

 

 

 

10.    得到严格的运动小球引起的Stokes扰动流场的解析解

 

                  

从而得到介质对小球的精确的Stokes阻力公式,

              

 

进而得到了小球的Stokes沉降公式,两千年来自亚里士多德之后第一次定量地解决了物体在重力作用下的做低雷诺数沉降问题。

               

 

11.    高雷诺数下的无粘性近似,Re>1Euler方程

 

         

 

 

12.    达朗贝尔之谜,Prandtl的边界层近似

 

边界是半无界的平板——化空间三维为空间两维

背景流场是与平板平形的定常均匀流——化解掉时间一维

背景压力场也是定常均匀的——化解掉压力梯度项

Prandtl的边界层近似——在平板边界上有一个很薄的粘性边界层,在其中有一个很强的垂直速度梯度,因而使垂直方向的粘应力不可忽略,不管雷诺数是如何之大——由此则应在边界层中建立一个新的边界层方程,在其中粘性应力项被部分地(铅垂方向)恢复,结果得到边界层方程如下:

 

    

 

                 Prandtl的边界层方程

             

                 这里取直角座标系,原点放在平板前缘,y = 0 的平面与平板重合

 

13.    Blausius关于两维自变量的相似变换——化偏微分方程为常微分方程

  

             

流函数与两维速度场——因不可压缩与两维条件,两个未知速度分量uv可由一个流函数来表示:

       

流函数中关于未知函数f Blausius的非线性三阶常微分方程

       

数值求解f 的非线性三阶常微分方程后所得到的边界层中速度u的分布图

      

 

14.    湍流——流体力学中的世纪难题

 

(1)       是超临界的高雷诺数流动,非比一般的高度非线性问题;

(2)       虽是高雷诺数流动但弱粘性却处处不可忽略——非微扰问题;

(3)       三维流动——不可降维的难点;

(4)       流场的不规则性,随机性——额外增加的新难点。

 

15.    为克服此新难点,引入概率论的方法求统计矩,先求一阶矩平均流场,雷诺对湍流速度场的分解:

 

              

 

湍流平均速度场的雷诺方程,新难点的产生:方程不闭合

 

        

不闭合的未知变量——雷诺应力

          

 

16.    Prandtl的混合长理论——类比物理学中的分子运动论以闭合雷诺方程中的未知变      量雷诺应力

 

平面均匀(沿流向均匀)的平面流的物理模型以化解仍然存在于雷诺方程中的非线性难点——混合长随高度而线性增加的物理假定——平均风场的对数分布律

 

17.    KellerFriedmann的湍流速度场空间两点二阶相关矩——三维难点大暴露——G.I.Taylor的均匀各向同性理论的提出以化解三维难点——Karman-Howarth方程的建立——湍能耗散律

 

           

 

18.    均匀各向同性理论的局限性——Kolmogorov的局地均匀各向同性理论——结构函数

            

                  

 

19.    均匀各向同性理论的另一局限性,方程仍不闭合——Kolmogorov的湍流的物理模型——相似参数湍能耗散率——量纲分析法,结构函数的2/3定律

 

                

一维湍谱的—5/3定律

                 

 

20.    Kolmogorov的湍流理论的伟大成就和问题——湍流的间歇性对Kolmogorov的湍流的物理模型提出的挑战——新的探索

 

21.    G.I.Taylor对无粘性的三维涡量场实奇点的猜想(1937)——Frisch的推广到湍流间歇性问题(具粘性的三维涡量场复奇点的猜想)(1980)

 

                      涡度定义    

 

Kelvin定理   

 

湍流场中涡度的自维持

 

G.I.Taylor对无粘性的三维涡量场实奇点的猜想

 

                      涡度拟能的计算公式

              

                      速度场的富氏变换的计算公式

              

                      G.I.Taylor手算——算至时间t4次方(1937

 

                      van Dyke计算机计算——算至时间t8次方(1975

 

                      Frisch等人引入物理学中相变理论里的奇点分析技术+计算机——算至时间t44次方(1980

 

22.    Frisch等人的初步成功——进一步论证失败于计算机的功能不够,虽然他们是美国最大计算机的最大用户

 

23.    关于湍流间歇性的探索至今仍在继续之中——未来成功的关键仍然在于一个适当的物理思想+一个强大的计算机

 

24.    应该承认到目前为止Navier-Stokes方程的普遍的严格解仍没有找到,覆盖在这一方程下面的全部自然现象,就仍然是个谜。而Navier-Stokes方程所能解释的自然现象又仅仅是自然界大海洋中小小的一个水滴。这是一个伟大的谜。对它而言,我们人类是太渺小了。

 

25.    还应该承认,照我们人类目前所确定的从一个一个特定的物理对象去破解这个谜,这条路子也仍然具有相对普遍的重大意义。从小球的Stokes沉降公式到Batchelor的胶体多粒子体系的沉降;从Kolmogorov的局地均匀各向同性理论到现代激光大气工程的发展;从Prandtl的边界层近似到现代航空航天器的研制,人类向宇宙开始了伟大的进军。所有这些给了我们一个信心:自然界这个伟大的谜是可以化整为零,逐步破解逐步逼近的。

 

2009822草稿完成于南开园)

2009911定稿完成于南开园)

(注:本文全部图与公式的输入工作都由朱珍华完成)



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